4 2021年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 综上所述,符合题意的整数 m 的个数为 5 个. 26. (1) 证明:∵ 在四边形 ABCD 中,AD∥BC, ∠ABC = 90°,DH⊥BC, ∴ 四边形 ABHD 是矩形, ∴ AB=DH= 2 3 ,∠DHB= ∠DHC= 90°, ∵ 在 Rt△PQM 中,∠Q= 90°,∠QPM= 30°, PM= 4 3 , ∴ QM= 1 2 PM= 2 3 , ∴ QM=DH, 在△PQM 和△CHD 中, ∠QPM= ∠C= 30°, ∠PQM= ∠CHD= 90°, QM=HD, { ∴ △PQM≌△CHD(AAS); (2)解:①如解图①,PQ 扫过的面积 = 平行四边形 AQQ′ D 的面积+扇形 DQ′Q″的面积. 设 QQ′交 AM 于点 T. ∵ AQ= 3QM= 6,QT⊥AM, ∴ AT=AQ·cos30° = 3 3 , ∴ PQ 扫过的面积= 3×3 3 +50π ×62 360 = 9 3 +5π; 第 26 题解图① 　 　 　 第 26 题解图② ②当 PM 运动到与 DH 重合时,如解图②,连接 DK. ∵ BH=AD= 3,BK= 9-4 3 , ∴ KH=BH-BK= 3-(9-4 3 )= 4 3 -6, ∴ CK=KH+CH=KH+ 3DH= 4 3 -6+6 = 4 3 , ∵ CD= 2DH= 4 3 , ∴ CD=CK, ∴ ∠CKD= 1 2 ×(180°-30°)= 75°, ∴ ∠KDH= 90°-∠CKD= 15°, ∴ ∠QDK= ∠QDM-∠KDH= 30°-15° = 15°, ∴ 点 K 在△PQM 区域(含边界) 内的时长为4 3 -6 1 + 15 5 = (4 3 -3)s; ③CF = 60 -12d 9-d . 【解法提示】如题图③,在 Rt△CDH 中,DH= 2 3 ,∠C = 30°,∴ CH = 3 DH = 6,∵ BH = 3, BE= d, ∴ EH = | 3 - d | , ∵ DH = 2 3 , ∠DHE = 90°, ∴ DE2 =EH2 + DH2 = ( 3 - d) 2 + ( 2 3 ) 2 , ∵ ∠DEF = ∠CED,∠EDF= ∠C= 30°,∴ △DEF∽△CED,∴ DE CE = EF ED ,∴ DE2 = EF·EC,∴ (3-d) 2 + 12 = EF·(9-d), ∴ EF = d 2 -6d+21 9-d , ∴ CF = BC - BE - EF = 9 - d - d2 -6d+21 9-d = 60-12d 9-d . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. 2021 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. A　 2. D　 3. B　 4. A　 5. C　 6. A　 7. A　 8. C　 9. B 10. B　 【解析】设正六边形 ABCDEF 的边长为 x,过 E 作 第 10 题解图 FD 的垂线, 垂足为 M, 连接 AC, 如 解 图. ∵ FE = ED, ∴ ∠EFD= ∠EDF,∴ ∠EDF = 1 2 ( 180° - ∠FED ) = 30°, ∴ ∠CDF= 120°-∠EDF = 90°. 同理∠AFD = ∠FAC = ∠ACD = 90°, ∴ 四 边 形 AFDC 为 矩 形,∵ S△AFO = 1 2 FO·AF,S△CDO = 1 2 OD·CD,在正六 边形 ABCDEF 中,AF = CD,∴ S△AFO +S△CDO = 1 2 FO· AF+ 1 2 OD·CD= 1 2 (FO+OD) ·AF = 1 2 FD·AF = 10,∴ FD·AF = 20,∵ DM = DE·cos30° = 　 3 2 x,DF = 2DM= 　 3 x,EM = DE· sin30° = x 2 ,∴ S正六边形ABCDEF = S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC =AF·FD+2S△EFD = x· 　 3 x+2× 1 2 ×　 3 x· 1 2 x = 　 3 x2 + 　 3 2 x2 = 3 2 　 3 x2 = 3 2 ( AF· FD)= 30. 11. C　 【解析】-6 与 6 两点间的线段的长度 = 6-( -6) = 12,六等分后每个等分线段的长度 = 12÷ 6 = 2,∴ a1 , a2 ,a3 ,a4 ,a5 表示的数为- 4,- 2,0,2,4,A 选项,a3 = 0,故该选项错误;B 选项, | - 4 | ≠2,故该选项错误; C 选项,-4+( - 2) + 0 + 2 + 4 = 0,故该选项正确;D 选 项,-2+4 = 2>0,故该选项错误. 12. B　 【解析】如解图,连接 OP1 ,OP2 ,P1P2 ,∵ 点 P 关于 直线 l,m 的对称点分别是点 P1 ,P2 , ∴ OP1 = OP = 2. 8,∵ OP1 -OP2 <P1P2 <OP1 +OP2 ,∴ 0<P1P2 <5. 6. 第 12 题解图 13. B　 【解析】∵ 证法 1 按照定理证明的一般步骤,从已 知出发经过严谨的推理论证,得出结论的正确,具有 一般性,无需再证明其他形状的三角形,∴ A 的说法 不正确,不符合题意;∴ B 的说法正确,符合题意;∵ 定 理的证明必须经过严谨的推理论证,不能用特殊情形 来说明,∴ C 的说法不正确,不符合题意;∵ 定理的证 明必须经过严谨的推理论证,与测量次数的多少无 关,∴ D 的说法不正确,不符合题意.综上,B 的说法正确. 14. D　 【解析】根据题意得班级总人数为 5÷10% = 50(人), (16÷ 50) × 100% = 32%,则喜欢红色的人数是 50 × 28% = 14(人),50-16-5-14 = 15(人),∵ 柱的高度从 高到低排列,∴ 题图②中“(　 )”应填的颜色是红色. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 15. C　 【解析】A 选项,当 c = -2 时,分式无意义,故该选 项不符合题意;B 选项,当 c= 0 时,A= 1 2 ,故该选项不 符合 题 意; C 选 项, 1 +c 2+c - 1 2 = 2+2c 2(2+c) - 2+c 2(2+c) = c 2(2+c) ,∵ c < - 2, ∴ 2 + c < 0, c < 0, ∴ 2 ( 2 + c) < 0, ∴ c 2(2+c) >0,∴ A> 1 2 ,故该选项符合题意;D 选项,当 c<0 时,∵ 2(2+c)的正负无法确定,∴ A 与 1 2 的大小 也就无法确定,故该选项不符合题意. 第 16 题解图 16. D 　 【解析 】 如 解 图, 连 接 EM, EN,MF, NF, ∵ OM = ON, OE = OF,∴ 四边形 MENF 是平行四边 形,∵ EF =MN,∴ 四边形 MENF 是 矩形, 故 Ⅰ 正 确; 要 使 S扇形FOM = S扇形AOB,则∠MOF 必等于∠AOB. 当 点 P 在直线 MN 左侧时,有一个 ∠MOF= 40°,当点 P 在直线 MN 右侧时,也有一个 ∠MOF= 40°,这样的点 P 不唯一,故Ⅱ错误. 17. (1)a2 +b2 ;(2)4　 【解析】(1)由图可知:一块甲种纸 片面积为 a2 ,一块乙种纸片的面积为 b2 ,一块丙种纸 片的面积为 ab,∴ 取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为 a2 +b2 ;(2)设取丙种纸片 x 块才能用它们拼成一个新 的正方形( x≥ 0), ∴ a2 + 4b2 + xab 是一个完全平方 式,∴ x 为 4. 第 18 题解图 18. 减少,10　 【解析】延长 EF,交 CD 于点 G,如解图. ∵ ∠ACB = 180° - 50° - 60° = 70°, ∴ ∠ECD = ∠ACB = 70°. ∵ ∠DGF = ∠DCE + ∠E, ∴ ∠DGF= 70° + 30° = 100°. ∵ 要 使 ∠EFD = 110°, 且 ∠EFD= ∠DGF + ∠D, ∴ 调整后 ∠D = 10°. ∵ 图中 ∠D= 20°,∴ ∠D 应减少 10°. 19. (1) (4,15);(2) 4　 【解析】 (1) a = 15 时,y = 15,由 y= 60 x , y= 15, { 解得 x= 4,y= 15,{ ∴ 交点坐标为 ( 4, 15); ( 2) 由 y= 60 x , y= -1. 2, { 解得 x= -50,y= -1. 2,{ ∴ A(-50,-1. 2), 由 x= 60 x , y= -1. 5, { 解得 x= -40,y= -1. 5.{ ∴ B( -40,-1. 5),为能看 到 m 在 A(-50,-1. 2)和 B(-40,-1. 5)之间的一整段 图象,需要将题图①中坐标系的单位长度至少变为原 来的 1 4 ,∴ 整数 k= 4. 20.解:(1)Q= 4m+10n; (2)当 m= 5×104 ,n= 3×103 时, Q = 4×5×104 +10×3×103 = 2. 3×105 . 21.解:(1)由已知,得 101 = 3x, 解得 x= 101 3 , ∵ x= 101 3 不是整数,∴ 淇淇说法不正确; (2)由题意,得(101-x)-x≥28, 解得 x≤73 2 . ∵ x 是整数, ∴ A 品牌球最多有 36 个. 22.解:(1)∵ 当嘉淇走到道口 A 时,有直行,左转,右转 3 种等可能的结果,只有向右转为北方向, ∴ P(嘉淇向北走)= 1 3 ; (2)补全树状图如解图, 第 22 题解图 由图可知,所有等可能结果共有 9 种,其中朝向: 东 2 种,西 3 种,南 2 种,北 2 种, ∴ P(向西)= 3 9 = 1 3 ,P(向东)= P(向南)= P(向北)= 2 9 . ∵ 3 9 > 2 9 , ∴ 嘉淇向西参观的概率较大. 23.解:(1)设 OA 的函数解析式为 h= ks. 由题意得 AO 为第一象限的角平分线, ∵ 点 A 的纵坐标为 4, ∴ 点 A 的横坐标也为 4, ∴ A(4,4),将 A(4,4)代入解析式得,4 = 4k, ∴ k= 1,∴ OA 的函数解析式为 h= s. 2 号机爬升速度为 3 2 km / min; (2)由题意,得 B(7,4),C(10,3) . 设 BC 的函数解析式为 h=as+b, 把 B、C 坐标分别代入得 4 = 7a+b, 3 = 10a+b,{ 解得 a= - 1 3 , b= 19 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ BC 的函数解析式为 h= - 1 3 s+19 3 . 把 h= 0 代入 h= - 1 3 s+19 3 中,解得 s= 19, ∴ 预计 2 号机着陆点的坐标为(19,0); (3)OA:当 h= 2 时,2 = s, BC:当 h= 2 时,2 = - 1 3 s+19 3 , 解得 s= 13, ∴ 两机距离 PQ不超过 3 km 的时长为13 -2 3 = 11 3 (min). 24.解:(1)如解图,连接 OA7 ,OA11 ,由圆周被 12 等分,得 每份对应的圆心角是 30°, ∴ 劣弧 A7A11 ( 所对圆心角∠A7OA11 = 120°, ∴ 劣弧 A7A11 ( 的长为 120π×6 180 = 4π. ∵ 4π>12,∴ 劣弧 A7A11 ( 更长; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 (2)垂直. 理由:如解图,连接 OA1 , ∵ A1A7 ( 是半圆弧,∴ A1A7 就是☉O 的直径, ∴ ∠A7A11A1 = 90°,即 A7A11 ⊥PA1 ; (3)∵ PA7 是☉O 的切线, ∴ ∠PA7O= 90°, 由(1)知∠A7OA11 = 120°, ∴ ∠A7A1A11 = 60°,∴ ∠P= 30°, ∴ PA1 = 2A7A1 = 24, ∴ PA7 = 　 PA21 -A1A 2 7 = 　 242 -122 = 12 3 . 第 24 题解图 25.解:(1)当 y=0 时,-x2+4x+12=0,解得 x1 =-2,x2 =6, 由题意知点 A 为 L 与 x 轴的左交点, ∴ 点 A 的横坐标为-2, 第 25 题解图 ∴ y 轴如解图所示, 点 P 落在台阶 T4 上; (2)由题意,设 C 的解析式 为 y= -(x-h) 2 +11, 由(1) 得,点 P 落在 T4 上 (5,7)处, ∴ 把 x= 5,y= 7 代入, 得 7 = - ( 5 - h) 2 + 11,解得 h1 = 7,h2 = 3, 由题意 h>5,取 h= 7, ∴ C 的解析式为 y= -(x-7) 2 +11, ∴ C 的对称轴为直线 x= 7, ∵ 6<7<7. 5,∴ 该对称轴与 T5 有交点; (3)对于 y= -(x-7) 2 +11,当点 P 落在 B,D 处时,其横 坐标 x>7, 当 y= 2 时,2 = -(x-7) 2 +11,解得 x= 4 或 10,取 x= 10; 当 y = 0 时, 0 = - ( x - 7) 2 + 11, 解得 x = 7 + 11 或 7- 11 ,取 x= 7+ 　 11 ; ∴ 点 B 横坐标的最大值比最小值大( 7 + 　 11 + 1) - 10 = 　 11 -2. 26.论证　 证明:∵ AD∥BC, ∴ ∠A= ∠B,∠D= ∠C,而 AD=BC, ∴ △AOD≌△BOC, ∴ AO=BO= 1 2 AB= 10; 发现　 解:如解图①,当 A,C,B 三点共线时,△ADC 是 等边三角形, 图① 此时∠ADC= 60°. 如解图②,当 A,B,C 三点不共线时,取 AB 的中心点 O,连接 OD,有 AD= AO =OD =BO =BC =CD = 10,即四 边形 BCDO 为菱形,从而 CD∥AB. ∴ ∠ADC= 180°-60° = 120°, ∴ ∠ADC 的度数可能是 60°或 120°; 尝试　 解:∵ BM≤BC+CM, ∴ 当 B,C,D 三点共线时,BM 最大为 15. 如解图③,作 DH⊥AB,MN⊥AB,BG⊥AD,垂足分别是 点 H,N,G. ∵ BD = BC + CD = 20 = AB, ∴ AG = GD = 1 2 AD = 5, ∴ BG= 　 AB2 -AG2 = 5 15 . 由 S△ABD = 1 2 AD·BG= 1 2 AB·DH, 得 DH=AD·BG AB = 5 15 2 . 由 Rt△BMN∽Rt△BDH,得BM BD =MN DH ,即15 20 = MN 5 15 2 , ∴ MN= 15 15 8 ,∴ 点 M 到 AB 的距离为15 15 8 ; 拓展　 解:①BP= 20d 2 300+d2 ;②5 +　 7 8 . 图② 图③ 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5. 2020 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. D　 2. D　 3. C　 4. D　 5. B　 6. B　 7. D　 8. A　 9. B 10. B　 11. A　 12. A　 13. C　 14. A 15. C　 【解析】当 b = 5 时,令 x(4-x) = 5,整理得 x2 -4x+ 5 = 0,Δ= (-4) 2 -4×5 = -4<0,因此点 P 的个数为 0,甲 的说法正确;当 b= 4 时,令 x(4-x)= 4,整理得 x2 -4x+ 4 = 0,Δ= (-4) 2 -4×4 = 0,因此点 P 有 1 个,乙的说法 正确;当 b= 3 时,令 x( 4 - x) = 3,整理得 x2 - 4x+ 3 = 0,Δ= (-4) 2 -4×3 = 4>0,因此点 P 有 2 个,丙的说法 不正确. 16. B　 【解析】根据题意,设三个正方形的边长从小到大 分别为 a、b、c,由勾股定理,得 a2 +b2 = c2 ,A. ∵ 1+ 4 = 5,∴ 两直角边分别为 1 和 2,∴ 面积为 1 2 × 1× 2 = 1; B. ∵ 2+3 = 5,∴ 两直角边分别为 2 和 3 ,则面积为 1 2 × 2 × 3 = 6 2 ; C. ∵ 3 + 4 ≠ 5, ∴ 不符合题意; D. ∵ 2+2 = 4,∴ 两直角边分别为 2 和 2 ,则面积为 1 2 × 2 × 2 = 1. ∵ 6 2 >1,∴ 选项 B 正确. 17. 6　 18. 12 19. (1) - 16; ( 2) 5; ( 3) 7 　 【解析】 ( 1) 由图象可知 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 13　 　 4 2021 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分. 1~ 10 小题各 3 分,11~ 16 小题各 2 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 如图,已知四条线段 a, b, c, d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上,请借助直尺判断该线 段是 (　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a B. b C. c D. d 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 2. 不 ∙ 一定相等的一组是 (　 D　 ) A. a+b 与 b+a B. 3a 与 a+a+a C. a3 与 a·a·a D. 3(a+b) 与 3a+b 3. 已知 a>b, 则一定有-4a□-4b,“□”中应填的符号是 (　 B　 ) A. > B. < C. ≥ D. = 4. 与 32 -22 -12 结果相同的是 (　 A　 ) A. 3-2+1 B. 3+2-1 C. 3+2+1 D. 3-2-1 5. 能与-( 3 4 - 6 5 )相加得 0 的是 (　 C　 ) A. - 3 4 - 6 5 B. 6 5 + 3 4 C. - 6 5 + 3 4 D. - 3 4 + 6 5 6. 一个骰子相对两面的点数之和为 7,它的展开图如图,下列判断正确的是 (　 A　 ) A. A 代表 B. B 代表 C. C 代表 D. B 代表 7. 如图①,▱ABCD 中, AD>AB,∠ABC 为锐角. 要在对角线 BD 上找点 N,M,使四边形 ANCM 为平行四边 形,现有图②中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案 (　 A　 ) 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋取 BD 中点 O,作 BN=NO,OM=MD 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋作 AN⊥BD 于 N, CM⊥BD 于 M 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋作 AN,CM 分别平 分∠BAD,∠BCD 第 7 题图① 第 7 题图② A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 8. 如图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图②所示,此时液面 AB= (　 C　 ) A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm 第 8 题图 　 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 9. 若3 3取 1. 442,计算3 3 -3 33 -98 33的结果是 (　 B　 ) A. -100 B. -144. 2 C. 144. 2 D. -0. 014 42 10. 如图, 点 O 为正六边形 ABCDEF 对角线 FD 上一点,S△AFO = 8,S△CDO = 2, 则 S正六边形ABCDEF 的值是 (　 B　 ) A. 20 B. 30 C. 40 D. 随点 O 位置而变化 11. 如图,将数轴上-6 与 6 两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为 a1, a2, a3,a4,a5,则下列 正确的是 (　 C　 ) A. a3 >0 B. | a1 | = | a4 | C. a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = 0 D. a2 +a5 <0 12. 如图,直线 l,m 相交于点 O. P 为这两直线外一点,且 OP= 2. 8. 若点 P 关于直线 l, m 的对称点分别是 点 P1,P2,则 P1,P2 之间的距离可能∙∙ 是 (　 B　 ) A. 0 B. 5 C. 6 D. 7 第 12 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 13 题图 13. 定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠ACD 是△ABC 的外角. 求证:∠ACD= ∠A+∠B. 证法 1:如图, ∵ ∠A+∠B+∠ACB = 180° (三角 形内角和定理), 又∵ ∠ACD+ ∠ACB = 180° (平角 定义), ∴ ∠ACD + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB(等量代换) . ∴ ∠ACD=∠A+∠B (等式性质). 证法 2:如图, ∵ ∠A= 76°,∠B= 59° , 且∠ACD= 135° (量角器测量 所得), 又∵ 135° = 76°+59° (计算所 得), ∴ ∠ACD= ∠A+∠B (等量代 换) . 下列说法正确的是 (　 B　 ) A. 证法 1 还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整 B. 证法 1 用严谨的推理证明了该定理 C. 证法 2 用特殊到一般法证明了该定理 D. 证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 14　 14. 小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色,并绘制了不完整的扇形图①及条形图②(柱的高度从高到 低排列) . 条形图不小心被撕了一块,图②中“(　 )”应填的颜色是 (　 D　 ) A. 蓝 B. 粉 C. 黄 D. 红 图① 　 　 　 　 　 图② 第 14 题图 　 　 第 16 题图 15. 由(1 +c 2+c - 1 2 )值的正负可以比较 A= 1 +c 2+c 与 1 2 的大小,下列正确的是 (　 C　 ) A. 当 c= -2 时,A= 1 2 B. 当 c= 0 时,A≠ 1 2 C. 当 c<-2 时,A> 1 2 D. 当 c<0 时,A< 1 2 16. 如图, 等腰△AOB 中, 顶角∠AOB= 40°,用尺规按①到④的步骤操作: ①以 O 为圆心,OA 为半径画圆; ②在☉O 上任取一点 P(不与点 A, B 重合), 连接 AP; ③作 AB 的垂直平分线与☉O 交于 M, N; ④作 AP 的垂直平分线与☉O 交于 E,F. 结论Ⅰ:顺次连接 M, E, N, F 四点必能得到矩形; 结论Ⅱ: ☉O 上只有唯一的点 P,使得 S扇形FOM =S扇形AOB . 对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是 (　 D　 ) A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题(本大题有 3 个小题,每小题有 2 个空,每空 2 分,共 12 分) 17. 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片(边长如图) . (1)取甲、乙纸片各 1 块,其面积和为 ; (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片 1 块,再取乙纸片 4 块,还需取丙纸片 块. 第 17 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 18 题图 18. 如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与 BD 的交点为 C,且∠A,∠B,∠E 保持不变. 为了舒适,需 调整∠D 的大小,使∠EFD= 110°,则图中∠D 应 (填“增加”或“减少”) 度. 19. 用绘图软件绘制双曲线 m:y= 60 x 与动直线 l:y=a,且交于一点,如图①为 a= 8 时的视窗情形. 图① 　 　 　 　 　 　 图② 第 19 题图 (1)当 a= 15 时,l 与 m 的交点坐标为 ; (2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点 O 始终在视窗中心. 例如,为在视窗中 看到(1)中的交点,可将图①中坐标系的单位长度变为原来的 1 2 ,其可视范围就由- 15≤x≤15 及-10≤y≤10 变成了-30≤x≤30 及-20≤y≤20(如图②) . 当 a= -1. 2 和 a= -1. 5 时,l 与 m 的交 点分别是点 A 和 B,为能看到 m 在 A 和 B 之间的一整段图象,需要将图①中坐标系的单位长度至 少变为原来的 1 k ,则整数 k= . 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 66 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. (本小题满分 8 分) 某书店新进了一批图书, 甲、乙两种书的进价分别为 4 元 /本、10 元 /本. 现购进 m 本甲种书和 n 本乙 种书,共付款 Q 元. (1)用含 m, n 的代数式表示 Q; (2)若共购进 5×104 本甲种书及 3×103 本乙种书,用科学记数法表示 Q 的值. 21. (本小题满分 9 分) 已知训练场球筐中有 A、B 两种品牌的乒乓球共 101 个,设 A 品牌乒乓球有 x 个. (1)淇淇说:“筐里 B 品牌球是 A 品牌球的两倍. ”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x = 2x. 请用嘉 嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确; (2)据工作人员透露:B 品牌球比 A 品牌球至少多 28 个,试通过列不等式的方法说明 A 品牌球最多 有几个. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 15　 　 22. (本小题满分 9 分) 某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示. 嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她自 己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同. (1)求嘉淇走到十字道口 A 向北走的概率; (2)补全图②的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大. 图① 　 　 　 　 　 图② 第 22 题图 23. (本小题满分 9 分) 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1 号指挥机(看成点 P)始终以 3 km / min 的速度在离地 面 5 km 高的上空匀速向右飞行,2 号试飞机(看成点 Q)一直 ∙∙ 保持在 1 号机 P 的正下方 ∙∙∙ ,2 号机从原点 O 处沿 45°仰角爬升,到 4 km 高的 A 处便立刻转为水平飞行,再过 1 min 到达 B 处开始沿直线 BC 降 落,要求 1 min 后到达 C(10, 3)处. (1)求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式,并直接 ∙∙ 写出 2 号机的爬升速度; (2)求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式,并预计 2 号机着陆点的坐标; (3)通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3 km 的时长是多少. 【注:(1)及(2)中不必写 s 的取值范围】 第 23 题图 24. (本小题满分 9 分) 如图,☉O 的半径为 6,将该圆周 12 等分后得到表盘模型,其中整钟点为 An(n 为 1 ~ 12 的整数),过点 A7 作☉O 的切线交 A1A11 延长线于点 P. (1)通过计算比较直径和劣弧 A7A11 ( 长度哪个更长; (2)连接 A7A11,则 A7A11 和 PA1 有什么特殊位置关系? 请简要说明理由; (3)求切线长 PA7 的值. 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 16　 25. (本小题满分 10 分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图, x 轴上依次有 A, O, N 三个点, 且 AO = 2,在 ON 上方有五 个台阶 T1 ~T5(各拐角均为 90°), 每个台阶的高、宽分别是 1 和 1. 5,台阶 T1 到 x 轴距离 OK= 10. 从点 A 处向右上方沿抛物线 L ∶y= -x2 +4x+12 发出一个带光的点 P. (1)求点 A 的横坐标,且在下图中补画出 y 轴,并直接 ∙∙ 指出点 P 会落在哪个台阶上; (2)当点 P 落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与 L 形状相同的抛物线 C,且最大高度为 11,求 C 的解析式,并说明其对称轴是否与台阶 T5 有交点; (3)在 x 轴上从左到右有两点 D, E,且 DE= 1,从点 E 向上作 EB⊥x 轴, 且BE= 2,在△BDE 沿 x 轴左 右平移时,必须保证(2)中沿抛物线 C 下落的点 P 能落在边 BD(包括端点)上,则点 B 横坐标的 最大值比最小值大多少? 【注:(2)中不必写 x 的取值范围】 第 25 题图 26. (本小题满分 12 分) 在一平面内,线段 AB= 20,线段 BC =CD =DA= 10,将这四条线段顺次首尾相接. 把 AB 固定,让 AD 绕 点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 α(α>0°)到某一位置时,BC, CD 将会跟随出现到相应的位置. 论证　 如图①,当 AD∥BC 时,设 AB 与 CD 交于点 O,求证: AO= 10; 发现　 当旋转角 α= 60°时,∠ADC 的度数可能是多少? 尝试　 取线段 CD 的中点 M,当点 M 与点 B 距离最大时,求点 M 到 AB 的距离; 拓展　 ①如图②,设点 D 与 B 的距离为 d,若∠BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P,直接 ∙∙ 写出 BP 的 长(用含 d 的式子表示); ②当点 C 在 AB 下方,且 AD 与 CD 垂直时,直接 ∙∙ 写出 α 的余弦值. 图① 　 　 图② 　 　 备用图① 　 　 备用图② 第 26 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋