3 2022年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 9　 　 3 2022 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 16 个小题. 1~ 10 小题每题 3 分,11~ 16 小题每题 2 分,共 42 分. 在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 计算 a3 ÷a 得 a?,则“?”是 ( C ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如图,将△ABC 折叠,使 AC 边落在 AB 边上,展开后得到折痕 l,则 l 是△ABC 的 ( D ) A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线 第 2 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 10 题图 3. 与-3 1 2 相等的是 ( A ) A. -3- 1 2 B. 3- 1 2 C. -3+ 1 2 D. 3+ 1 2 4. 下列正确的是 ( B ) A. 4+9 = 2+3 B. 4×9 = 2×3 C. 94 = 32 D. 4. 9 = 0. 7 5. 如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC 与四边形 BCDE 的外角和的度数分别为 α,β,则正确 的是 ( A ) A. α-β= 0 B. α-β<0 C. α-β>0 D. 无法比较 α 与 β 的大小 6. 某正方形广场的边长为 4×102 m,其面积用科学记数法表示为 ( C ) A. 4×104 m2 B. 16×104 m2 C. 1. 6×105 m2 D. 1. 6×104 m2 7. ①~ ④是由相同的小正方体粘在一起的几何体,若组合其中的两个,恰是由 6 个小正方体构成的长方 体,则应选择 ( D ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 ( D ) A B C D 9. 若 x 和 y 互为倒数,则 x+ 1 y( ) 2y- 1 x( ) 的值是 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 某款“不倒翁” (图①) 的主视图是图②,PA,PB 分别与 AMB ( 所在圆相切于点 A,B. 若该圆半径是 9 cm,∠P= 40°,则 AMB ( 的长是 ( A ) A. 11π cm B. 11 2 π cm C. 7π cm D. 7 2 π cm 11. 要得知作业纸上两相交直线 AB,CD 所夹锐角的大小,发现其交点不在作业纸内,无法直接测量,两同 学提供了如下间接测量方案(如图①和图②): 图① 　 　 图② 第 11 题图 对于方案Ⅰ、Ⅱ,说法正确的是 ( C ) A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 12. 某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需 12 天. 若 m 个人共同完成需 n 天,选取 6 组数对(m,n),在坐标系中进行描点,则正确的是 ( C ) A B C D 13. 平面内,将长分别为 1,5,1,1,d 的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则 d 可能 ∙∙ 是 ( C ) 第 13 题图 A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 14. 五名同学捐款数分别是 5,3,6,5,10(单位:元),捐 10 元的同学后来又追加了 10 元. 追加后的 5 个数 据与之前的 5 个数据相比,集中趋势相同的是 ( ) A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 10　 15. “曹冲称象”是流传很广的故事,如图. 按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将 象牵出. 然后往船上抬入 20 块等重的条形石,并在船上留 3 个搬运工,这时水位恰好到达标记位置. 如果再抬入 1 块同样的条形石,船上只留 1 个搬运工,水位也恰好到达标记位置. 已知搬运工体重均 为 120 斤,设每块条形石的重量是 x 斤,则正确的是 ( B ) A. 依题意 3×120 = x-120 B. 依题意 20x+3×120 = 20+1( ) x+120 C. 该象的重量是 5 040 斤 D. 每块条形石的重量是 260 斤 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 16. 题目:“如图,∠B= 45°,BC= 2,在射线 BM 上取一点 A,设 AC=d,若对于 d 的一个数值,只能作出唯一 一个△ABC,求 d 的取值范围. ”对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d= 1. 6,丙答:d= 2 ,则正确的是 ( B ) A. 只有甲答案对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 3 分,共 9 分.其中 18 小题第一空 2 分,第二空 1 分;19 小题每空 1 分) 　17. 如图,某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道. 若琪琪第一个抽签,她从 1 ~ 8 号中随机抽取一签,则 抽到 6 号赛道的概率是 . 第 17 题图 　 　 　 第 18 题图 　 　 　 第 19 题图 18. 如图是钉板示意图,每相邻 4 个钉点是边长为 1 个单位长度的小正方形顶点,钉点 A,B 的连线与钉点 C,D 的连线交于点 E,则 (1)AB 与 CD 是否垂直? (填“是”或“否”); (2)AE= . 19. 如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒. (1)甲盒中都是黑子,共 10 个,乙盒中都是白子,共 8 个,嘉嘉从甲盒拿出 a 个黑子放入乙盒,使乙盒 棋子总数是甲盒所剩棋子数的 2 倍,则 a= ; (2)设甲盒中都是黑子,共 m(m>2)个,乙盒中都是白子,共 2m 个.嘉嘉从甲盒拿出 a(1<a<m)个黑子放 入乙盒中,此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个;接下来,嘉嘉又从乙盒拿回 a 个棋子放到甲盒,其中含有 x(0<x<a)个白子,此时乙盒中有 y 个黑子,则 y x 的值为 . 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 69 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. (本小题满分 9 分) 整式 3( 1 3 -m)的值为 P. 第 20 题图 (1)当 m= 2 时,求 P 的值; (2)若 P 的取值范围如图所示,求 m 的负整数值. 解:(1)根据题意得,P=3×( 1 3 -2)= 3×(- 5 3 )= -5; (2)由数轴知,P≤7,即 3( 1 3 -m)≤7,解得 m≥-2, ∵m 为负整数, ∴m=-1 或-2. 21. (本小题满分 9 分) 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员,对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试,各项满分均为 10 分,成绩高者被录用. 图①是甲、乙测试成绩的条形统计图. (1)分别求出甲、乙三项成绩之和,并指出会录用谁; (2)若将甲、乙的三项测试成绩,按照扇形统计图(图②)各项所占之比,分别计算两人各自的综合成 绩,并判断是否会改变(1)的录用结果. 图① 　 　 　 　 图② 第 21 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 11　 　 22. (本小题满分 9 分) 发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为 两个正整数的平方和. 验证 如,(2+1) 2 +(2-1) 2 = 10 为偶数. 请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和; 探究 设“发现”中的两个已知正整数为 m,n,请论证“发现”中的结论正确. 解:验证　 10 的一半为 5,5=1+4=12+22; 探究　 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示 为两个正整数的平方和.理由如下: (m+n) 2+(m-n) 2 =m2+2mn+n2+m2-2mn+n2 =2m2+2n2 =2(m2+n2),故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也 可以表示为两个正整数的平方和. 23. (本小题满分 10 分) 如图,点 P(a,3)在抛物线 C:y= 4-(6-x) 2 上,且在 C 的对称轴右侧. (1)写出 C 的对称轴和 y 的最大值,并求 a 的值; (2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点 P 及 C 的一段,分别记为 P′,C′. 平移该胶 片,使 C′所在抛物线对应的函数恰为 y= -x2 +6x-9,求点 P′移动的最短路程. 第 23 题图 24. (本小题满分 10 分) 如图,某水渠的横断面是以 AB 为直径的半圆 O,其中水面截线 MN∥AB. 嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头顶 C 的仰角为 14°,点 M 的俯角为 7°,已知爸爸的身高为 1. 7 m. (1)求∠C 的大小及 AB 的长; (2)请在图中画出 ∙∙ 线段 DH,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留 小数点后一位) . (参考数据:tan76°取 4, 17 取 4. 1) 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 12　 25. (本小题满分 10 分) 如图,平面直角坐标系中,线段 AB 的端点为 A( -8,19),B(6,5) . (1)求 AB 所在直线的解析式; (2)某同学设计了一个动画: 在函数 y= m x+ n m≠0,y≥0( ) 中,分别输入 m 和 n 的值,便得到射线 CD,其中 C(c,0) . 当 c= 2 时,会从 C 处弹出一个光点 P,并沿 CD 飞行;当 c≠2 时,只发出射线而无光点弹出. ①若有光点 P 弹出,试推算 m,n 应满足的数量关系; ②当有光点 P 弹出,并击中线段 AB 上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段 AB 就会发光,求此 时整数 ∙∙ m 的个数. 第 25 题图 26. (本小题满分 12 分) 如图①,四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC= 90°,∠C= 30°,AD= 3,AB= 2 3 ,DH⊥BC 于点 H. 将△PQM 与该四边形按如图方式放在同一平面内,使点 P 与 A 重合,点 B 在 PM 上,其中∠Q = 90°,∠QPM = 30°,PM= 4 3 . (1)求证:△PQM≌△CHD; (2)△PQM 从图①的位置出发,先沿着 BC 方向向右平移(图②),当点 P 到达点 D 后立刻绕点 D 逆 时针旋转(图③),当边 PM 旋转 50°时停止. ①边 PQ 从平移开始,到绕点 D 旋转结束,求边 PQ 扫过的面积; ②如图②,点 K 在 BH 上,且 BK= 9-4 3 . 若△PQM 右移的速度为每秒 1 个单位长度,绕点 D 旋转 的速度为每秒 5°,求点 K 在△PQM 区域(含边界)内的时长; ③如图③,在△PQM 旋转过程中,设 PQ,PM 分别交 BC 于点 E,F,若 BE = d,直接 ∙∙ 写出 CF 的长 (用含 d 的式子表示) . 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 26 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 ∴ △PBN∽△DMN, ∴ PB DM = BN MN ,即PB 2 = 20 3 8 3 ,解得 PB= 5, ∴ x=AB+PB= 8+5 = 13. ②如解图 ② 所示, 当点 P 在 AB 上时, ∠A′ MP = ∠AMP,过点 P 作 PQ⊥BD 于点 Q,则 PQ= 2, 第 26 题解图② ∵ DA= 6,BD= 10,∠A= 90°, ∴ sin∠DBA= AD BD = 6 10 = 3 5 , ∴ BP= PQ sin∠DBA = 2 3 5 = 10 3 , ∴ AP=AB-BP= 8-10 3 = 14 3 , ∴ tan∠A′MP= tan∠AMP= AP AM = 14 3 4 = 7 6 ; 如解图③所示,当点 P 在 BC 上时, ∵ ∠CBD = 90°, ∴ PB=2,过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 的延长线于点Q,延长 MP 交 AB 的延长线于点 H, 第 26 题解图③ ∵ ∠PQB= ∠CBD= ∠DAB= 90°, ∴ ∠QPB= 90°-∠PBQ= ∠DBA, ∴ △PQB∽△BAD, ∴ PQ BA =QB AD =PB BD ,即PQ 8 =QB 6 = 2 10 , ∴ PQ= 8 5 ,BQ= 6 5 ,∴ AQ=AB+BQ= 46 5 , ∵ PQ⊥AB,DA⊥AB,∴ PQ∥AD, ∴ ∠AMP= ∠QPH,△HPQ∽△HMA,∴ HQ HA =PQ MA , ∴ HQ HQ+ 46 5 = 8 5 4 ,解得 HQ= 92 15 , ∴ tan∠A′MP= tan∠AMP= tan∠QPH=HQ PQ = 92 15 8 5 = 23 6 , 综上所述,tan∠A′MP 的值为 7 6 或 23 6 ; (3)点 A′到直线 AB 的距离为 8x 2 x2 +16 . 【解法提示】当 0<x≤8 时,点 P 在 AB 上, 第 26 题解图④ 如解图④所示,过点 A′作 A′ E⊥ AB 于点 E, 过点 M 作 MF⊥A′E 于点 F,则四边形 AMFE 是 矩 形, ∴ AE = FM, EF=AM=4, ∵ △A′MP≌△AMP, ∴ ∠PA′M= ∠A= 90°, ∴ ∠PA′E+∠FA′M= 90°, 又∵ ∠A′MF+∠FA′M= 90°, ∴ ∠PA′E= ∠A′MF, 又∵ ∠A′EP= ∠MFA′= 90°, ∴ △A′PE∽△MA′F,∴ A′P MA′ = PE A′F =A′E MF , ∵ A′P=AP= x,MA′=MA= 4,设 FM=AE= y,A′E=h, ∴ x 4 = x-y h-4 = h y , ∴ y= 4h x ,4(x-y)= x(h-4), ∴ 4(x- 4h x ) = x(h-4),整理得 h = 8x 2 x2 +16 ,即点 A′到直 线 AB 的距离为 8x 2 x2 +16 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3. 2022 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. C　 2. D　 3. A　 4. B　 5. A　 6. C　 7. D　 8. D　 9. B 10. A　 11. C　 12. C　 13. C　 14. D 15. B　 【解析】由题意得出等量关系为:20 块等重的条形 石的重量+3 个搬运工的体重和 = 21 块等重的条形石 的重量+ 1 个搬运工的体重,∵ 已知搬运工体重均为 120 斤,设每块条形石的重量是 x 斤,∴ 20x+ 3× 120 = (20+1)x+120,∴ A 选项不正确,B 选项正确;由题意: 大象的体重为 20×240+ 360 = 5 160 斤,∴ C 选项不正 确;由题意可知:一块条形石的重量 = 2 个搬运工的体 重,∴ 每块条形石的重量是 240 斤,∴ D 选项不正确. 16. B　 【解析】由题意知,当 CA⊥BA 或 CA≥BC 时,能作 出唯一一个△ABC, ①当 CA⊥BA 时, ∵ ∠B = 45°, BC= 2,∴ AC=BC·sin45° = 2× 2 2 = 2 ,即此时 d= 2 ; ②当 CA=BC 时,∵ ∠B= 45°,BC= 2,∴ 此时 AC= 2,则 当 CA≥BC 时,d≥2. 综上,当 d= 2或 d≥2 时能作出 唯一一个△ABC. 17. 1 8 18. (1) 是;( 2) 4 5 5 　 【解析】 ( 1) 如解图,在△ACM 和 △CFD 中, AC=CF= 2, ∠ACM= ∠CFD= 90°, CM=FD= 1, { ∴ △ACM≌ △CFD ( SAS ), ∴ ∠CAM = ∠FCD, ∵ ∠CAM + ∠CMA = 90°,∴ ∠FCD+∠CMA = 90°,∴ ∠CEM = 90°,∴ AB⊥ CD;( 2) 如解图,在 Rt △ABH 中,AB = AH2 +BH2 = 22 +42 = 2 5 ,∵ AC∥BD,∴ △ACE∽△BDE,∴ AE BE = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 AC BD = 2 3 , ∴ AE 2 5 -AE = 2 3 ,∴ AE= 4 5 5 . 第 18 题解图 19. (1)4;(2) (m+ 2a);1　 【解析】 (1) 依题意有 a+ 8 = 2(10-a),解得 a= 4;( 2) 依题意有 2m+a-(m-a) = (m+2a)个,y=a-(a-x)= a-a+x= x, y x = x x = 1. 20.解:(1)根据题意得, P= 3×( 1 3 -2)= 3×(- 5 3 )= -5; (2)由数轴知,P≤7, 即 3( 1 3 -m)≤7, 解得 m≥-2, ∵ m 为负整数, ∴ m= -1 或-2. 21.解:(1)由题意得,甲三项成绩之和为 9+5+9= 23(分), 乙三项成绩之和为 8+9+5 = 22(分), ∵ 23>22, ∴ 会录用甲; (2)由题意得,甲三项成绩之加权平均数为 9× 120° 360° + 5×360° -120°-60° 360° +9× 60° 360° = 7(分), 乙三 项 成 绩 之 加 权 平 均 数 为 8 × 120° 360° + 9 × 360°-120°-60° 360° +5× 60° 360° = 8(分), ∵ 7<8, ∴ 会改变(1)的录用结果. 22.解:验证　 10 的一半为 5, 5 = 1+4 = 12 +22 ; 探究　 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的 平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两 个正整数的平方和. 理由如下: (m+n) 2 +(m-n) 2 =m2 +2mn+n2 +m2 -2mn+n2 = 2m2 +2n2 = 2(m2 +n2 ),故两个已知正整数之和与这两个正整数 之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表 示为两个正整数的平方和. 23.解:(1)设抛物线 C 的顶点为 Q,∵ 抛物线 C:y = 4- (6-x) 2 = -(x-6) 2 +4, ∴ Q(6,4),对称轴为直线 x= 6,y 的最大值为 4, 当 y= 3 时,3 = -(x-6) 2 +4, ∴ x= 5 或 x= 7, ∵ 点 P 在对称轴的右侧, ∴ P(7,3), ∴ a= 7; (2)设平移后的抛物线的顶点为 Q′,∵ 平移后的抛物 线的解析式为 y= -x2 +6x-9 = -(x-3) 2 , ∴ Q′(3,0), ∵ 平移前抛物线的顶点 Q(6,4), ∴ 点 P′移动的最短路程=QQ′= 32 +42 = 5. 24.解:(1)∵ 嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头 顶 C 的仰角为 14°, ∴ ∠CAB= 14°,∠CBA= 90°, ∴ ∠C= 180°-∠CAB-∠CBA= 76°, ∵ tanC= AB BC ,BC= 1. 7 m, ∴ tan76° = AB 1. 7 , ∴ AB= 1. 7×tan76° = 6. 8(m), 答:∠C= 76°,AB 的长为 6. 8 m; (2)如解图中的 DH. 过点 O 作 OH⊥MN 于点 D,交半 圆 O 于点 H,连接 OM, 第 24 题解图 ∵ OA=OM,∠BAM= 7°, ∴ ∠OMA= ∠OAM= 7°, ∵ AB∥MN, ∴ ∠AMD= ∠BAM= 7°, ∴ ∠OMD= 14°, ∴ ∠MOD= 76°, 在 Rt△MOD 中, tan∠MOD=MD OD , ∴ tan76° =MD OD , ∴ MD= 4OD, 设 OD= x m,则 MD= 4x m, 在 Rt △MOD 中, OM = OA = 1 2 AB = 3. 4 m, OD2 + MD2 =OM2 , ∴ x2 +(4x) 2 = 3. 42 , ∵ x>0, ∴ x= 17 5 ≈0. 82, ∴ OD= 0. 82 m, ∴ DH=OH-OD=OA-OD=3. 4-0. 82=2. 58≈2.6(m), 答:最大水深约为 2. 6 m. 25.解: ( 1) 设 AB 所在直线的解析式为 y = kx + b, 把 A(-8,19),B(6,5)代入,得 -8k+b= 19, 6k+b= 5,{ 解得 k= -1, b= 11,{ ∴ AB 所在直线的解析式为 y= -x+11; (2)①由题意知直线 y=mx+n 经过点(2,0), ∴ 2m+n= 0; ②设线段 AB 上的整数点为(t,-t+11),则 tm+n=-t+11, ∵ 2m+n= 0,∴ ( t-2)m= -t+11, ∴ m= -t+11 t-2 = -1+ 9 t-2 , ∵ -8≤t≤6,且 t 为整数,m 也是整数, ∴ t-2 = -9,-3,-1,1,3,9, ∴ t= 1,m= -10; t= 3,m= 8; t= 5,m= 2; t= -1,m= -4; t= -7,m= -2; t= 11,m= 0(不符合题意) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 综上所述,符合题意的整数 m 的个数为 5 个. 26. (1) 证明:∵ 在四边形 ABCD 中,AD∥BC, ∠ABC = 90°,DH⊥BC, ∴ 四边形 ABHD 是矩形, ∴ AB=DH= 2 3 ,∠DHB= ∠DHC= 90°, ∵ 在 Rt△PQM 中,∠Q= 90°,∠QPM= 30°, PM= 4 3 , ∴ QM= 1 2 PM= 2 3 , ∴ QM=DH, 在△PQM 和△CHD 中, ∠QPM= ∠C= 30°, ∠PQM= ∠CHD= 90°, QM=HD, { ∴ △PQM≌△CHD(AAS); (2)解:①如解图①,PQ 扫过的面积 = 平行四边形 AQQ′ D 的面积+扇形 DQ′Q″的面积. 设 QQ′交 AM 于点 T. ∵ AQ= 3QM= 6,QT⊥AM, ∴ AT=AQ·cos30° = 3 3 , ∴ PQ 扫过的面积= 3×3 3 +50π ×62 360 = 9 3 +5π; 第 26 题解图① 　 　 　 第 26 题解图② ②当 PM 运动到与 DH 重合时,如解图②,连接 DK. ∵ BH=AD= 3,BK= 9-4 3 , ∴ KH=BH-BK= 3-(9-4 3 )= 4 3 -6, ∴ CK=KH+CH=KH+ 3DH= 4 3 -6+6 = 4 3 , ∵ CD= 2DH= 4 3 , ∴ CD=CK, ∴ ∠CKD= 1 2 ×(180°-30°)= 75°, ∴ ∠KDH= 90°-∠CKD= 15°, ∴ ∠QDK= ∠QDM-∠KDH= 30°-15° = 15°, ∴ 点 K 在△PQM 区域(含边界) 内的时长为4 3 -6 1 + 15 5 = (4 3 -3)s; ③CF = 60 -12d 9-d . 【解法提示】如题图③,在 Rt△CDH 中,DH= 2 3 ,∠C = 30°,∴ CH = 3 DH = 6,∵ BH = 3, BE= d, ∴ EH = | 3 - d | , ∵ DH = 2 3 , ∠DHE = 90°, ∴ DE2 =EH2 + DH2 = ( 3 - d) 2 + ( 2 3 ) 2 , ∵ ∠DEF = ∠CED,∠EDF= ∠C= 30°,∴ △DEF∽△CED,∴ DE CE = EF ED ,∴ DE2 = EF·EC,∴ (3-d) 2 + 12 = EF·(9-d), ∴ EF = d 2 -6d+21 9-d , ∴ CF = BC - BE - EF = 9 - d - d2 -6d+21 9-d = 60-12d 9-d . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. 2021 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. A　 2. D　 3. B　 4. A　 5. C　 6. A　 7. A　 8. C　 9. B 10. B　 【解析】设正六边形 ABCDEF 的边长为 x,过 E 作 第 10 题解图 FD 的垂线, 垂足为 M, 连接 AC, 如 解 图. ∵ FE = ED, ∴ ∠EFD= ∠EDF,∴ ∠EDF = 1 2 ( 180° - ∠FED ) = 30°, ∴ ∠CDF= 120°-∠EDF = 90°. 同理∠AFD = ∠FAC = ∠ACD = 90°, ∴ 四 边 形 AFDC 为 矩 形,∵ S△AFO = 1 2 FO·AF,S△CDO = 1 2 OD·CD,在正六 边形 ABCDEF 中,AF = CD,∴ S△AFO +S△CDO = 1 2 FO· AF+ 1 2 OD·CD= 1 2 (FO+OD) ·AF = 1 2 FD·AF = 10,∴ FD·AF = 20,∵ DM = DE·cos30° = 　 3 2 x,DF = 2DM= 　 3 x,EM = DE· sin30° = x 2 ,∴ S正六边形ABCDEF = S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC =AF·FD+2S△EFD = x· 　 3 x+2× 1 2 ×　 3 x· 1 2 x = 　 3 x2 + 　 3 2 x2 = 3 2 　 3 x2 = 3 2 ( AF· FD)= 30. 11. C　 【解析】-6 与 6 两点间的线段的长度 = 6-( -6) = 12,六等分后每个等分线段的长度 = 12÷ 6 = 2,∴ a1 , a2 ,a3 ,a4 ,a5 表示的数为- 4,- 2,0,2,4,A 选项,a3 = 0,故该选项错误;B 选项, | - 4 | ≠2,故该选项错误; C 选项,-4+( - 2) + 0 + 2 + 4 = 0,故该选项正确;D 选 项,-2+4 = 2>0,故该选项错误. 12. B　 【解析】如解图,连接 OP1 ,OP2 ,P1P2 ,∵ 点 P 关于 直线 l,m 的对称点分别是点 P1 ,P2 , ∴ OP1 = OP = 2. 8,∵ OP1 -OP2 <P1P2 <OP1 +OP2 ,∴ 0<P1P2 <5. 6. 第 12 题解图 13. B　 【解析】∵ 证法 1 按照定理证明的一般步骤,从已 知出发经过严谨的推理论证,得出结论的正确,具有 一般性,无需再证明其他形状的三角形,∴ A 的说法 不正确,不符合题意;∴ B 的说法正确,符合题意;∵ 定 理的证明必须经过严谨的推理论证,不能用特殊情形 来说明,∴ C 的说法不正确,不符合题意;∵ 定理的证 明必须经过严谨的推理论证,与测量次数的多少无 关,∴ D 的说法不正确,不符合题意.综上,B 的说法正确. 14. D　 【解析】根据题意得班级总人数为 5÷10% = 50(人), (16÷ 50) × 100% = 32%,则喜欢红色的人数是 50 × 28% = 14(人),50-16-5-14 = 15(人),∵ 柱的高度从 高到低排列,∴ 题图②中“(　 )”应填的颜色是红色. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01