1 2024年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

班级： 姓名 学号： 第一部分 2020-2024年河北中考真题 2024年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 (本试卷总分120分考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1~6小题各3分，7~16小题各2分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是 A B C D 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 染 -2 4℃ 0℃ -1℃ B 0 正面 第1题图 第3题图 第5题图 第6题图 2.下列运算正确的是 ( A.a-a=a B.3a2·2a2=6a2 C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a 3.如图，AD与BC交于点O,△AB0和△CD0关于直线PQ对称，点A,B的对称点分别是点C,D.下列不 一定正确的是 ( A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD 4.下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的 A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 6.如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是 A B D 7.节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天.下列说 法错误的是 A.若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4 C.若x减小，则y也减小 D.若x减小一半，则y增大一倍 8.若a,b是正整数，且满足2+2+…+2=2×2×…×2，则a与b的关系正确的是 8个2相加 8个2相乘 A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b 9.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a= A.1 B.2-1 C.√2+1 D.1或√2+1 10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点，连接BM并延长交 AE于点D,连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：.AB=AC,.∠ABC=∠3. ,∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2， 真题与拓展 .① 又.∠4=∠5，MA=MC, ·.△MAD≌△MCB(② .MD=MB.∴.四边形ABCD是平行四边形. 若以上解答过程正确，①，②应分别为 ( A.∠1=∠3，AAS B.∠1=∠3，ASA C.∠2=∠3，AAS D.∠2=∠3，ASA NYB B C 0 第10题图 第11题图 第12题图 第14题图 11.直线1与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示，则a+B= A.115° B.120° C.135° D.144° 12.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形 ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是() A.点A B.点B C.点C D.点D 13.已知A为整式，若计算A，y的结果为Y,则A= () xy+y2x2+xy A.x B.y C.x+y D.x-Y 14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120 时，扇面面积为S,该折扇张开的角度为n时，扇面面积为Sn,若m= ,则m与n关系的图象大致是 ( 2 A B C D 15.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运 算.淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3036.图②表示 一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的 是 () 小方格中的数据是 由其所对的两个数 相乘得到的，如： 2=1×2 4+9=13, 满十进 02-9-36 20■ 3036 a25 图① 图② 第15题图 A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“■”表示5 C.运算结果小于6000 D.运算结果可以表示为4100a+1025 河北数学 16.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和 点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当 余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度 例：“和，点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2,2),其平移过程如下： P(21)右P(3,1)上P,(3,2)左P,(2,2). 右 余0 余1 余2 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(-1,9),则点Q的坐标为 A.(6,1)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0) C.(6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1) 二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为： 89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为 18.已知a,b,n均为正整数 (1)若n<√10<n+1,则n= (2)若n-1<√a<n,n<√b<n+1,则满足条件的a的个数总比b的个数少个 C 19.如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A,C1,C2,C3是线段CC4的B 五等分点，点A,D1,D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点。 D (1)△AC,D,的面积为 B (2)△B,C4D3的面积为 第19题图 三、解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20.（本小题满分9分) 如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32，乙数轴上的三点D,E,F 所对应的数依次为0，x,12. AB (1)计算A,B,C三点所对应的数的和，并求的值： AC (2)当点A与点D上下对齐时，点B,C恰好分别与点E,F上下对齐，求x的值 甲子月 32 乙DE F 12 第20题图 2 真题与拓展 21.(本小题满分9分) 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式不同外，其余均相同. (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当α=1，b=-2时，求取出的卡片上代数式的值 为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中 补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率， 第一次 和 a+b 2a+b a-b 第二次 a+b 2a+2b 2a 2a+b a-b 2a 22.(本小题满分9分) 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星 星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为：淇淇向前走了3m后到达点D,透过点P恰好看 到月亮，仰角为B,如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到 BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E.（注：图中所有，点均在同一平面) (1)求B的大小及tan的值； (2)求CP的长及sin∠APC的值. ☆ P窗户 6 D 第22题图 ·河北数学 23.（本小题满分10分) 情境图①是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁 剪，可拼接为图②所示的钻石型五边形，数据如图所示.（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作嘉嘉将图①所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形 如图③，嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图④所示进行拼接.根据嘉嘉 的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段EF的长； (2)直接写出图③中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长. 探究淇淇说：将图①所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图⑤所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆 规)，画出裁剪线（线段PQ)的位置，并直接写出BP的长， ③ F E②0① 2 2 2 图① 图② 图③ ③ AN D ◇ 2 0 2 0② E ① B 2 图④ 图⑤ 第23题图 真题与拓展 24.（本小题满分10分) 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试.考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩 x(分)换算为报告成绩y(分).已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分，换算规则如下： 当05ip时-，当≤：s150时y20p+80 Γ150-p (其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线) 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及卫以上）为合格： (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p=100,求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值； (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表. 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 2 8 10 7 16 20 15 9 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率， 3 河北数学 25.(本小题满分12分) 26.（本小题满分13分) 已知⊙O的半径为3，弦MN=2√5.△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=3√2.在平面上，先将△ABC和 如图，抛物线C=a2-2x过点(4,0，顶点为0.抛物线C:=之（-02+-2（共中1为常数，且 ⊙O按图①位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙0上，点C在⊙O内），随后移动△ABC,使点B在弦 MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动.设BN=x. t>2),顶点为P. (1)直接写出a的值和点Q的坐标： (1)当点B与点N重合时，求劣弧AN的长： (2)嘉嘉说：无论t为何值，将C,的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上 (2)当OA/MW时，如图②，求点B到OA的距离，并求此时x的值： 淇淇说：无论t为何值，C,总经过一个定点 (3)设点O到BC的距离为d. 请选择其中一人的说法进行说理： ①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； (3)当t=4时， ②直接写出d的最小值， ①求直线PQ的解析式： ②作直线PQ,当1与C,的交点到x轴的距离恰为6时，求1与x轴交点的横坐标； V(B) (4)设C,与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xe,且x,<x,点M在C1上，横坐标为m(2≤m≤x). 0 点N在C,上，横坐标为n(x≤n≤t),若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d,点V 到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n. 图① 图② 第25题图 备用图 44 -20过本6书元 -6 第26题图 4 真题与拓展·河北数学参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 第一部分　 2020-2024 年河北中考真题 1. 2024 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. B　 6. D　 7. C　 8. A　 9. C　 10. D 11. B　 【解析】∵ 正六边形每个内角为 (6 -2)×180° 6 = 120°,六边形 MBCDEN 的内角和为( 6 - 2) × 180° = 720°, ∴ ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠ENM + ∠NMB = 720°,∴ ∠ENM+∠NMB = 720°- 4× 120° = 240°,∵ β+ ∠ENM+α+ ∠NMB = 180° × 2 = 360°,∴ α+ β = 360° - 240° = 120°. 12. B　 【解析】设 A(a,b),AB =m,AD = n,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ BC = AD = n,CD = AB = m, ∴ D( a,b + n), B(a+m,b),C(a+m,b+n),∵ b a+m < b a <b +n a ,且 b a+m < b+n a+m ,∴ 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 B. 13. A　 【解析】 ∵ A xy+y2 - y x2 +xy = x-y xy , ∴ A xy+y2 = x-y xy + y x2 +xy , ∴ A y(x+y) = x-y xy + y x(x+y) , ∴ Ax xy(x+y) = (x-y)(x+y)+y2 xy(x+y) ,∴ Ax = ( x-y) ( x+ y) + y2 ,∴ Ax = x2 , ∴ A= x. 14. C　 【解析】设该扇面所在的圆的半径为 R, ∴ S = 120πR2 360 = πR 2 3 ,∴ πR2 = 3S,∵ 该折扇张开的角度为 n° 时,扇形面积为 Sn,∴ Sn = nπR2 360 = n 360 · πR2 = n 360 · 3S= nS 120 ,∴ m= Sn S = nS 120 S = n 120 = 1 120 n,∴ m 是 n 的正比 例函数,∵ n≥0,∴ 它的图象是过原点的一条射线. 15. D　 【解析】设一个三位数与一个两位数分别为 100x+ 10y+z 和 10m+n,如解图①,则由题意得 mz = 20,nz = 5,ny = 2,nx = a, ∴ mz nz = 4,即 m = 4n,当 n = 2,y = 1 时,z= 2. 5 不是正整数,不符合题意,故舍去,∴ n = 1,y= 2,则 m= 4,z = 5,x = a,如解图②. “20”左边的数 是 2×4 = 8,故 A 选项错误,不符合题意;“20”右边的 “■”表示 4,故 B 选项错误,不符合题意;∵ a 上面的 数应为 4a,∴ 运算结果可以表示为 1 000 ( 4a+ 1) + 100a+25 = 4 100a+1 025,∴ D 选项正确,符合题意,当 a= 2 时,计算结果大于 6 000,故 C 选项错误,不符合 题意. 第 15 题解图 16. D　 【解析】先找出规律,当“和点”横、纵坐标之和除 以 3 所得的余数为 0 时,先向右平移 1 个单位,之后按 照向上、向左,向上、向左不断重复的规律平移,“和 点” Q 按 上 述 规 则 连 续 平 移 16 次 后, 到 达 点 Q16(-1,9),则按照“和点”Q16 反向运动 16 次即可,可 以分为两种情况: 解法 1:①Q16 先向右平移 1 个单位得到 Q15(0,9),此 时横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 0,应该是 Q15 向右平移 1 个单位得到 Q16 ,故矛盾,不成立;②Q16 先 向下平移 1 个单位得到 Q15(-1,8),此时横、纵坐标之 和除以 3 所得的余数为 1,则应该向上平移 1 个单位 得到 Q16 ,故符合题意,∴ 点 Q16 先向下平移,再向右平 移,当平移到第 15 次时,共计向下平移了 8 次,向右 平移了 7 次,此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1),∴ 最 后一次若点 Q1 向右平移则点 Q 坐标为(7,1),若点 Q1 向左平移则点 Q 坐标为(5,1) . 综上所述,点 Q 的 坐标为(5,1)或(7,1) . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:根据题干示例画图如解图,易得到点 Q1 后,根据规律继续向右平移则点 Q 坐标为(7,1);若 点 Q1 向左平移则点 Q 坐标为(5,1) . 第 16 题解图 17. 89 18. (1)3;( 2) 2 　 【解析】 ( 1) ∵ 9 < 10 < 16 ,∴ 3 < 10 < 4, ∵ n < 10 < n + 1, n 为正整数, ∴ n = 3; (2)∵ n-1< a <n,∴ (n- 1) 2 <a<n2 ,∴ 满足条件的 a 的个数为 n2 -(n-1) 2 = n2 -n2 +2n-1 = 2n-1,∵ n< b < n+1,∴ n2 <b<(n+ 1) 2 ,∴ 满足条件的 b 的个数为(n+ 1) 2 -n2 =n2 +2n+ 1-n2 = 2n+ 1,∵ (2n+ 1) -(2n- 1) = 2,∴ 满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少 2 个. 19. (1)1;(2)7　 【解析】(1) ∵ △ABC 的面积为 2,AD 为 BC 边上的中线, ∴ S△ABD = S△ACD = 1 2 S△ABC = 1 2 × 2 = 1,∵ 点 A,C1 ,C2 ,C3 是线段 CC4 的五等分点,∴ AC = AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = 1 5 CC4 ,∵ 点 A,D1 ,D2 是线 段 DD3 的四等分点,∴ AD=AD1 =D1D2 =D2D3 = 1 4 DD3,在 △AC1D1 和△ACD 中, AC1 =AC, ∠C1AD1 =∠CAD, AD1 =AD, { ∴ △AC1D1 ≌ △ACD(SAS),∴ S△AC1D1 =S△ACD = 1; (2)解法 1:如解图①,连接 B1D1 ,C3D3 ,∵ 点 A 是线段 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 BB1 的中点,∴ AB1 =AB= 1 2 BB1,在△AB1D1 和△ABD 中, AB1 =AB, ∠B1AD1 = ∠BAD, AD1 =AD, { ∴ △AB1D1 ≌ △ABD ( SAS ), ∴ S△AB1D1 = S△ABD = 1, ∠B1D1A = ∠BDA, ∵ ∠BDA + ∠CDA = 180°, ∴ ∠B1D1A + ∠C1D1A = 180°, ∴ C1 , D1 ,B1 三点共线,∴ S△AB1C1 = S△AB1D1 +S△AC1D1 = 1 + 1 = 2,∵ AC1 =C1C2 = C2C3 = C3C4 ,∴ S△AB1C4 = 4S△AB1C1 = 4× 2 = 8, ∵ AD1 = D1D2 = D2D3 , S△AB1D1 = 1, ∴ S△AB1D3 = 3S△AB1D1 = 3× 1 = 3,在△AC3D3 和△ACD 中, AC3 AC = 3 = AD3 AD ,∠C3AD3 =∠CAD,∴ △C3AD3∽△CAD,∴ S△C3AD3 S△CAD = ( AC3 AC ) 2 = 32 = 9,∴ S△C3AD3 = 9S△CAD = 9× 1 = 9,∵ AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 , ∴ S△AC4D3 = 4 3 S△C3AD3 = 4 3 × 9 = 12,∴ S△B1C4D3 = S△AC4D3 + S△AB1D3 - S△AB1C4 = 12 + 3 - 8 = 7,即△B1C4D3 的面积为 7. 第 19 题解图① 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2 思路点拨: 如解图 ②, 连 接 C1D2 , B1D1 , B1D2 ,易知四边形 AB1D2C1 是平行四边形,同解法 1 求出 S△AD3C4 = 12,S△AD3B1 = 3. 利用相似三角形的性质 及等高三角形的面积关系求解. 第 19 题解图② 第 19 题解图③ 解法 3 思路点拨:如解图③,不妨设△ABC 是以 BC 为底,AD 为高的等腰三角形,且 BC = 2,AD = 2,同解 法 1 得 S△AD3C4 = 12,S△AD3B1 = 3,利用相似三角形的性 质及等高三角形的面积关系求解. 20.解:(1)∵ 点 A,B,C 所对应的数依次为-4,2,32, ∴ A,B,C 三点所对应的数的和为-4+2+32 = 30, 5 分…………………………………………………… AB AC = 2-(-4) 32-(-4) = 1 6 ; 7 分……………………………… (2)由题意得AB AC =DE DF ,∴ 1 6 = x 12 ,解得 x= 2. 9 分…… 21.解:(1)当 a= 1,b= -2 时,a+b= -1,2a+b= 0, a-b= 3, 3 分…………………………………………… ∴ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为 1 3 ; 4 分…………………………………………………… (2)补全表格如下, 　 　 　 　 　 第一次 和 第二次　 　 　 　 a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 3a+2b 2a 2a+b 3a+2b 4a+2b 3a a-b 2a 3a 2a-2b 8 分… 由上表知,所有等可能的结果有 9 种,和为单项式的 结果有 4 种,∴ 和为单项式的概率为 4 9 . 9 分……… 22.解:(1) 由题意可得 PQ⊥AE,PQ = 2. 6 m,AB = CD = EQ= 1. 6 m,AE=BQ= 4 m,AC=BD= 3 m, ∴ CE= 4-3= 1(m),PE= 2. 6-1. 6= 1(m),∠CEP= 90°, ∴ CE=PE, ∴ β= ∠PCE= 45°, 3 分……………………………… tan α= tan∠PAE=PE AE = 1 4 ; 5 分……………………… (2)∵ CE=PE= 1 m,∠CEP= 90°, ∴ CP= 12 +12 = 2 (m) . 7 分……………………… 如解图,过点 C 作 CH⊥AP 于点 H, 第 22 题解图 ∵ 在 Rt△ACH 中,CH AH = tan α = 1 4 ,∴ 设 CH = x m,则 AH= 4x m, 在 Rt△ACH 中,CH2 +AH2 =AC2 , ∴ x2 +(4x) 2 =AC2 = 9, ∴ x= 3 17 17 (负值已舍去), 即 CH= 3 17 17 m, ∴ sin∠APC=CH CP = 3 17 17 2 = 3 34 34 . 9 分……………… 23.解:操作　 (1)EF= 1; 2 分…………………………… 【解法提示】如解图①,过点 G′作 G′K⊥FH′于点 K,结 合题意可得,四边形 FOG′K 为矩形,∴ FO =KG′,由拼 接可得 HF = FO = KG′,由正方形的性质可得∠A = 45°,∴ △AHG,△H′G′D, △AFE 为等腰直角三角形, ∴ △G′KH′为 等 腰 直 角 三 角 形, 设 H′K = KG′ = x, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 第 23 题解图① ∴ H′G′=H′D = 2x,∴ AH = HG = 2x,HF=FO=x,∵ 正方形的 边长为 2, ∴ 对角线的长为 22 +22 = 2 2 , ∴ OA= 2 , ∴ x+x+ 2x= 2,解得 x = 2 - 1,∴ EF =AF = 2 x+x = ( 2 +1) x=( 2 +1)( 2 -1)= 1. (2)与线段 BE 长度相等的线段有 AH,GH,GE. 5 分… ∵ △AFE 为等腰直角三角形,EF=AF= 1, ∴ AE= 2EF= 2 , ∴ BE= 2- 2 . 8 分…………………………………… 【解法提示】 ∵ GE = H′G′ = 2 x = 2 × ( 2 - 1) = 2 - 2 ,AH = GH = 2 x = 2 - 2 , ∴ BE = GE = AH = GH = 2- 2 ; 探究　 画图如解图②,BP 的长为 2或 2- 2 . 10 分…………………………………………………… 【解法提示】如解图②,以 C 为圆心,CO 长为半径画 弧,交 BC 于点 P,交 CD 于点 Q,则直线 PQ 为分割 线,此时 CP = CQ = 2 ,PQ = 2+2 = 2,符合要求, ∴ BP= 2- 2 ,或以 B 为圆心,BO 长为半径画弧交 BC 于点 P′,交 AB 于点 Q′,则直线 P′Q′为分割线,此时 BP′= 2 ,P′Q′ = 2+2 = 2,符合要求. 综上,BP 的长 为 2或 2- 2 . 第 23 题解图② 24.解:(1)当 p= 100 时,甲的报告成绩为80 ×95 100 = 76 (分), 2 分…………………………………………………… 乙的报告成绩为 20×(130-100) 150-100 +80 = 92 (分); 4 分…………………………………………………… (2)∵ 92>80, ∴ 当 y= 92 时, 20(x丙 -p) 150-p +80 = 92,得 x丙 = 90+ 2 5 p. 5 分…………………………………………………… ∵ 64<80,∴ 当 y= 64 时, 80x丁 p = 64,得 x丁 = 4 5 p. 6 分…………………………………………………… ∵ x丙 -x丁 = 40,∴ 90+ 2 5 p- 4 5 p= 40, 解得 p= 125; 7 分……………………………………… (3)①130 分; 9 分…………………………………… 【解法提示】共计 100 名员工,且成绩已经排列好, ∴ 中位数是第 50,51 名员工成绩的平均数,由表格得 第 50,51 名员工成绩都是 130 分,∴ 中位数为 130. ②95%. 10 分………………………………………… 【解法提示】当 p > 130 时,则 90 = 80 ×130 p ,解得 p = 1 040 9 <130,不符合题意,舍去;当 p≤130 时,则 90 = 20(130-p) 150-p +80,解得 p = 110,符合题意,由表格得到 原始成绩为 110 分及 110 分以上的人数为 100-(1+ 2+2)= 95,∴ 此次测试的合格率为 95 100 ×100% = 95%. 25.解:(1)如解图①,连接 OA,OB, ∵ ☉O 的半径为 3,AB= 3, ∴ OA=OB=AB= 3,∴ △AOB 为等边三角形, ∴ ∠AOB= 60°, ∴ 劣弧 AN ( 的长为 60π×3 180 = π; 3 分…………………… 第 25 题解图 (2)如解图②,过点 B 作 BI⊥OA 于点 I,过点 O 作 OH⊥MN 于点 H,连接 MO, 则易知四边形 BIOH 是矩形, ∴ BH=OI,BI=OH, ∵ MN= 2 5 ,OH⊥MN, ∴ MH=NH= 5 , 又∵ OM= 3, ∴ OH= OM2 -MH2 = 2,∴ BI= 2, ∴ 点 B 到 OA 的距离为 2. 6 分……………………… ∵ AB= 3,BI⊥OA, ∴ AI= AB2 -BI2 = 5 , ∴ OI=OA-AI= 3- 5 ,∴ BH= 3- 5 , ∴ x=BN=BH+NH= 3- 5 + 5 = 3; 8 分……………… 第 25 题解图③ (3) ①如解图③,过点 O 作 OJ⊥ BC 于点 J,OK⊥AB 于点 K, ∵ ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 KOJB 为矩形, ∴ OJ=KB,∵ AB= 3,BC= 3 2 , ∴ AC= AB2 +BC2 = 3 3 , ∵ 过点 A 的切线与 AC 垂直, ∴ AC 过圆心 O, ∴ OC=AC-OA= 3 3 -3, 由 sin∠ACB= OJ OC =AB AC ,即 d 3 3 -3 = 3 3 3 , 解得 d= 3- 3 ; 11 分………………………………… ②d 的最小值为 2 3 . 12 分…………………………… 【解法提示】如解图④,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G, OF⊥BC 于点 F,连接 OB,∵ ∠ABC = 90°,∴ 四边形 OFBG 为矩形,∴ BG = OF = d,在 Rt△OAG 中,OG2 = OA2 -AG2 ,∴ d2 = OB2 -OG2 = OB2 -(OA2 -AG2 ) = OB2 - OA2 +AG2 ,∴ d2 = OB2 - 32 +(3-d) 2 ,∴ d = 1 6 OB2 ,∴ 当 OB 最小时, d 取最小值,当 OB⊥MN 时, d 取最小 值,此时 B 为 MN 的中点,点 B 与解图②中点 H 重 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 合,∴ OB=OH= 2,∴ d= 2 3 ,即 d 的最小值为 2 3 . 第 25 题解图④ 26.解:(1)a= 1 2 ,Q(2,-2); 3 分………………………… (2)把 Q(2,-2)向左平移 2 个单位长度得到的点的坐 标为(0,-2), 当 x = 0 时,y = - 1 2 ( x- t) 2 + 1 2 t2 - 2 = - 1 2 t2 + 1 2 t2 - 2 = -2, ∴ (0,-2)在 C2 上, ∴ 嘉嘉说法正确; 5 分………………………………… C2 :y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2 = - 1 2 x2 +xt-2, 当 x= 0 时,y= -2, ∴ C2 :y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2 过定点(0,-2), ∴ 淇淇说法正确; 5 分………………………………… (写一个即可) (3)①当 t=4 时,C2:y = - 1 2 (x-t)2 + 1 2 t2 -2 = - 1 2 (x- 4)2+6, ∴ 顶点 P(4,6), 设直线 PQ 的解析式为 y= ex+f, ∴ 4e +f= 6, 2e+f= -2,{ 解得 e= 4, f= -10,{ ∴ 直线 PQ 的解析式为 y= 4x-10; 8 分……………… ②∵ P(4,6), ∴ P 到 x 轴的距离为 6, ∴ l 与 C2 交点的纵坐标为 - 6 ( 等于 6 时两直线重 合,不符合题意), 当 C2 :y= - 1 2 (x-4) 2 +6 = -6 时,(x-4) 2 = 24,解得 x = 4±2 6 , 则 l 与 C2 的交点为(4-2 6 ,-6)或(4+2 6 ,-6), ∵ 直线 PQ 的解析式为 y= 4x-10, ∴ 当 y= -6 时,-6 = 4x-10,解得 x= 1, 当 y= 4x-10 = 0 时,x= 5 2 , 设 l 与 x 轴交点的横坐标为 x, 则当 l 与 C2 的交点为(4-2 6 ,-6)时, 1-(4-2 6 )= 5 2 -x,解得 x= 11 2 -2 6 , 此时直线 l 与 x 轴交点的横坐标为11 2 -2 6 ; 当 l 与 C2 的交点为(4+2 6 ,-6)时, (4+2 6 )-1 = x- 5 2 ,解得 x= 11 2 +2 6 , 此时直线 l 与 x 轴交点的横坐标为11 2 +2 6 . 综上,直线 l 与 x 轴交点的横坐标为11 2 -2 6或11 2 +2 6; 12 分…………………………………………………… (4)n= 2+t-m. 13 分………………………………… 【解法提示】∵ C1 :y= 1 2 (x-2) 2 -2,C2 :y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2,∴ C2 可以看成是由 C1 绕某点旋转 180°,再平 移得到的,两个函数图象的形状相同,如解图,连接 AB 交 PQ 于点 L,连接 AQ,BQ,AP,BP,易得四边形 APBQ 是平行四边形,∴ L 平分线段 AB,L 平分线段 PQ,点 M 是到直线 PQ 的距离最大的点,最大距离为 d,点 N 到直线 PQ 的距离恰好也为 d,∴ M 与 B 重 合,N 与 A 重合, ∴ xA = m, xB = n, ∴ L 的横坐标为 m+n 2 ,∵ Q( 2, - 2),P ( t, 1 2 t2 - 2), ∴ L 的横坐标为 2+t 2 ,∴ m +n 2 = 2+t 2 ,解得 n= 2+t-m. 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2. 2023 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. C　 2. D　 3. A　 4. B　 5. B　 6. B　 7. A　 8. C 第 9 题解图 9. A 　 【 解 析 】 如 解 图, 连 接 P1P2 ,P2P3 ,∵ 点 P1 ~ P8 是☉O 的八等分点,即 P1P2 ( = P2P3 ( = P3P ( 4 = P4P5 ( = P5P6 ( = P6P7 ( = P7P ( 8 = P8P1 ( , ∴ P1P2 = P2P3 = P3P4 = P6P7 , P4P6 ( = P4P5 ( + P5P6 ( = P7P ( 8 + P8P1 ( = P1P7 ( , ∴ P4P6 =P1P7 ,又∵ △P1P3P7 的周长 a = P1P3 +P1P7 + P3P7 ,四边形 P3P4P6P7 的周长 b= P3P4 +P4P6 +P6P7 + P3P7 ,∴ b - a = ( P3P4 + P4P6 + P6P7 + P3P7 ) - ( P1P3 + P1P7 +P3P7 ) = ( P1P2 + P1P7 + P2P3 + P3P7 ) - ( P1P3 + P1P7 +P3P7 ) = P1P2 +P2P3 - P1P3 ,在△P1P2P3 中,有 P1P2 +P2P3 >P1P3 ,∴ b-a=P1P2 +P2P3 -P1P3 >0,∴ a<b. 10. D　 11. B　 12. B 13. C　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 A′ 作 A′D′⊥B′C′于点 D′,∵ ∠B = ∠B′= 30°,AB = A′B′= 6,∴ AD=A′D′= 3,当点 B、C 在点 D 的两侧,点 B′、C′ 在点 D′的两侧时,如解图①, ∵ AD = A′D′ = 3,AC = A′C′= 4, ∴ Rt△ACD≌ Rt △A′ C′ D′ ( HL), ∴ ∠C′ = ∠C=n°;当点 B、C 在点 D 的两侧,点 B′、C′在点 D′的 同侧时,如解图②, ∵ AD = A′D′ = 3,AC = A′ C′ = 4, ∴ Rt△ACD≌Rt△A′C′D′( HL), ∴ ∠A′C′D′ = ∠C = n°,∴ ∠A′C′B′= 180°-∠A′C′D′= 180°-n°;点 B、C 在 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5