1 2024年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 1　 　 第一部分　 2020-2024 年河北中考真题 1 2024 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 16 个小题,共 38 分. 1~ 6 小题各 3 分,7~ 16 小题各 2 分. 在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1. 如图显示了某地连续 5 天的日最低气温,则能表示这 5 天日最低气温变化情况的是 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A B C D 第 1 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 2. 下列运算正确的是 ( C ) A. a7 -a3 =a4 B. 3a2·2a2 = 6a2 C. ( -2a) 3 = -8a3 D. a4 ÷a4 =a 3. 如图,AD 与 BC 交于点 O,△ABO 和△CDO 关于直线 PQ 对称,点 A,B 的对称点分别是点 C,D. 下列不 一定正确的是 ( A ) A. AD⊥BC B. AC⊥PQ C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD 4. 下列数中,能使不等式 5x-1<6 成立的 x 的值为 ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 观察图中尺规作图的痕迹,可得线段 BD 一定是△ABC 的 ( B ) A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 6. 如图是由 11 个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左视图是 ( D ) A B C D 7. 节能环保已成为人们的共识. 淇淇家计划购买 500 度电,若平均每天用电 x 度,则能使用 y 天. 下列说 法错误的是 ( C ) A. 若 x= 5,则 y= 100 B. 若 y= 125,则 x= 4 C. 若 x 减小,则 y 也减小 D. 若 x 减小一半,则 y 增大一倍 8. 若 a,b 是正整数,且满足 2a+2a+…+2aüþ ýï ï ï ï ï 8个2a相加 = 2b×2b×…×2büþ ýï ï ï ï ï 8个2b相乘 ,则 a 与 b 的关系正确的是 ( A ) A. a+3 = 8b B. 3a= 8b C. a+3 = b8 D. 3a= 8+b 9. 淇淇在计算正数 a 的平方时,误算成 a 与 2 的积,求得的答案比正确答案小 1,则 a= ( C ) A. 1 B. 2 -1 C. 2 +1 D. 1 或 2 +1 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 已知:如图,△ABC 中,AB=AC,AE 平分△ABC 的外角∠CAN,点 M 是 AC 的中点,连接 BM 并延长交 AE 于点 D,连接 CD. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠3. ∵ ∠CAN= ∠ABC+∠3,∠CAN= ∠1+∠2,∠1 = ∠2, ∴ ① . 又∵ ∠4 = ∠5,MA=MC, ∴ △MAD≌△MCB(② ) . ∴ MD=MB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 若以上解答过程正确,①,②应分别为 ( D ) A. ∠1 = ∠3,AAS B. ∠1 = ∠3,ASA C. ∠2 = ∠3,AAS D. ∠2 = ∠3,ASA 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 第 14 题图 11. 直线 l 与正六边形 ABCDEF 的边 AB,EF 分别相交于点 M,N,如图所示,则 α+β= ( B ) A. 115° B. 120° C. 135° D. 144° 12. 在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值” . 如图,矩形 ABCD 位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( B ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 13. 已知 A 为整式,若计算 A xy+y2 - y x2 +xy 的结果为 x-y xy ,则 A= ( A ) A. x B. y C. x+y D. x-y 14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴. 如图,某折扇张开的角度为 120° 时,扇面面积为 S,该折扇张开的角度为 n°时,扇面面积为 Sn,若 m= Sn S ,则 m 与 n 关系的图象大致是 ( C ) A B C D 15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运 算. 淇淇受其启发,设计了如图①所示的“表格算法”,图①表示 132×23,运算结果为 3 036. 图②表示 一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图②中现有数据进行推断,正确的 是 ( D ) 第 15 题图 A. “20”左边的数是 16 B. “20”右边的“■”表示 5 C. 运算结果小于 6 000 D. 运算结果可以表示为 4 100a+1 025 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 2　 16. 平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于 0 的点称为“和点” . 将某“和 点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以 3 所得的余数(当余数为 0 时,向右平移;当 余数为 1 时,向上平移;当余数为 2 时,向左平移),每次平移 1 个单位长度. 例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移 3 次后,到达点 P3(2,2),其平移过程如下: P(2,1) 余0 右 →P1(3,1) 余1 上 →P2(3,2) 余2 左 →P3(2,2) . 若“和点”Q 按上述规则连续平移 16 次后,到达点 Q16( -1,9),则点 Q 的坐标为 ( D ) A. (6,1)或(7,1) B. (15,-7)或(8,0) C. (6,0)或(8,0) D. (5,1)或(7,1) 二、填空题(本大题共 3 个小题,共 10 分. 17 小题 2 分,18~ 19 小题各 4 分,每空 2 分) 17. 某校生物小组的 9 名同学各用 100 粒种子做发芽实验,几天后观察并记录种子的发芽数分别为: 89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为 . 18. 已知 a,b,n 均为正整数. 第 19 题图 (1)若 n< 10 <n+1,则 n= ; (2)若 n-1< a <n,n< b <n+1,则满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少 　 个. 19. 如图,△ABC 的面积为 2,AD 为 BC 边上的中线,点 A,C1,C2,C3 是线段 CC4 的 五等分点,点 A,D1,D2 是线段 DD3 的四等分点,点 A 是线段 BB1 的中点. (1)△AC1D1 的面积为 ; (2)△B1C4D3 的面积为 . 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. (本小题满分 9 分) 如图,有甲、乙两条数轴. 甲数轴上的三点 A,B,C 所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点 D,E,F 所对应的数依次为 0,x,12. (1)计算 A,B,C 三点所对应的数的和,并求AB AC 的值; (2)当点 A 与点 D 上下对齐时,点 B,C 恰好分别与点 E,F 上下对齐,求 x 的值. 第 20 题图 21. (本小题满分 9 分) 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有 a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式不同外,其余均相同. (1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当 a = 1,b = -2 时,求取出的卡片上代数式的值 为负数的概率; (2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张. 请在表格中 补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率. 　 　 　 　 　 第一次 和 第二次　 　 　 　 　 a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 2a 2a+b a-b 2a 22. (本小题满分 9 分) 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣. 某晚,淇淇在家透过窗户的最高点 P 恰好看到一颗星 星,此时淇淇距窗户的水平距离 BQ= 4 m,仰角为 α;淇淇向前走了 3 m 后到达点 D,透过点 P 恰好看 到月亮,仰角为 β,如图是示意图. 已知,淇淇的眼睛与水平地面 BQ 的距离 AB =CD = 1. 6 m,点 P 到 BQ 的距离 PQ= 2. 6 m,AC 的延长线交 PQ 于点 E. (注:图中所有点均在同一平面) 第 22 题图 (1)求 β 的大小及 tan α 的值; (2)求 CP 的长及 sin∠APC 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 3　 　 23. (本小题满分 10 分) 情境　 图①是由正方形纸片去掉一个以中心 O 为顶点的等腰直角三角形后得到的. 该纸片通过裁 剪,可拼接为图②所示的钻石型五边形,数据如图所示. (说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余) 操作　 嘉嘉将图①所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形. 如图③,嘉嘉沿虚线 EF,GH 裁剪,将该纸片剪成①,②,③三块,再按照图④所示进行拼接. 根据嘉嘉 的剪拼过程,解答问题: (1)直接 ∙∙ 写出线段 EF 的长; (2)直接 ∙∙ 写出图③中所有与线段 BE 相等的线段,并计算 BE 的长. 探究　 淇淇说:将图①所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图⑤所示纸片的 BC 边上找一点 P(可以借助刻度尺或圆 规),画出裁剪线(线段 PQ)的位置,并直接 ∙∙ 写出 BP 的长. 第 23 题图 24. (本小题满分 10 分) 某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试. 考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩 x(分)换算为报告成绩 y(分) . 已知原始成绩满分 150 分,报告成绩满分 100 分,换算规则如下: 当 0≤x<p 时,y= 80x p ;当 p≤x≤150 时,y= 20(x -p) 150-p +80. (其中 p 是小于 150 的常数,是原始成绩的合格分数线,80 是报告成绩的合格分数线) 公司规定报告成绩为 80 分及 80 分以上(即原始成绩为 p 及 p 以上)为合格. (1)甲、乙的原始成绩分别为 95 分和 130 分,若 p= 100,求甲、乙的报告成绩; (2)丙、丁的报告成绩分别为 92 分和 64 分,若丙的原始成绩比丁的原始成绩高 40 分,请推算 p 的值; (3)下表是该公司 100 名员工某次测试的原始成绩统计表. 原始成绩(分) 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接 ∙∙ 写出这 100 名员工原始成绩的中位数; ②若①中的中位数换算成报告成绩为 90 分,直接 ∙∙ 写出该公司此次测试的合格率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 4　 25. (本小题满分 12 分) 已知☉O 的半径为 3,弦 MN= 2 5 . △ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 3,BC = 3 2 . 在平面上,先将△ABC 和 ☉O 按图①位置摆放(点 B 与点 N 重合,点 A 在☉O 上,点 C 在☉O 内),随后移动△ABC,使点 B 在弦 MN 上移动,点 A 始终在☉O 上随之移动. 设 BN= x. (1)当点 B 与点 N 重合时,求劣弧 AN ( 的长; (2)当 OA∥MN 时,如图②,求点 B 到 OA 的距离,并求此时 x 的值; (3)设点 O 到 BC 的距离为 d. ①当点 A 在劣弧 MN ( 上,且过点 A 的切线与 AC 垂直时,求 d 的值; ②直接 ∙∙ 写出 d 的最小值. 第 25 题图 备用图 26. (本小题满分 13 分) 如图,抛物线 C1:y=ax2 -2x 过点(4,0),顶点为 Q. 抛物线 C2:y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2(其中 t 为常数,且 t>2),顶点为 P. (1)直接 ∙∙ 写出 a 的值和点 Q 的坐标; (2)嘉嘉说:无论 t 为何值,将 C1 的顶点 Q 向左平移 2 个单位长度后一定落在 C2 上. 淇淇说:无论 t 为何值,C2 总经过一个定点. 请选择其中一人的说法进行说理; (3)当 t= 4 时, ①求直线 PQ 的解析式; ②作直线 l∥PQ,当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时,求 l 与 x 轴交点的横坐标; (4)设 C1 与 C2 的交点 A,B 的横坐标分别为 xA,xB,且 xA<xB,点 M 在 C1 上,横坐标为 m(2≤m≤xB) . 点 N 在 C2 上,横坐标为 n(xA≤n≤t),若点 M 是到直线 PQ 的距离最大的点,最大距离为 d,点 N 到直线 PQ 的距离恰好也为 d,直接 ∙∙ 用含 t 和 m 的式子表示 n. 第 26 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 第一部分　 2020-2024 年河北中考真题 1. 2024 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. A　 2. C　 3. A　 4. A　 5. B　 6. D　 7. C　 8. A　 9. C　 10. D 11. B　 【解析】∵ 正六边形每个内角为 (6 -2)×180° 6 = 120°,六边形 MBCDEN 的内角和为( 6 - 2) × 180° = 720°, ∴ ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠ENM + ∠NMB = 720°,∴ ∠ENM+∠NMB = 720°- 4× 120° = 240°,∵ β+ ∠ENM+α+ ∠NMB = 180° × 2 = 360°,∴ α+ β = 360° - 240° = 120°. 12. B　 【解析】设 A(a,b),AB =m,AD = n,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ BC = AD = n,CD = AB = m, ∴ D( a,b + n), B(a+m,b),C(a+m,b+n),∵ b a+m < b a <b +n a ,且 b a+m < b+n a+m ,∴ 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 B. 13. A　 【解析】 ∵ A xy+y2 - y x2 +xy = x-y xy , ∴ A xy+y2 = x-y xy + y x2 +xy , ∴ A y(x+y) = x-y xy + y x(x+y) , ∴ Ax xy(x+y) = (x-y)(x+y)+y2 xy(x+y) ,∴ Ax = ( x-y) ( x+ y) + y2 ,∴ Ax = x2 , ∴ A= x. 14. C　 【解析】设该扇面所在的圆的半径为 R, ∴ S = 120πR2 360 = πR 2 3 ,∴ πR2 = 3S,∵ 该折扇张开的角度为 n° 时,扇形面积为 Sn,∴ Sn = nπR2 360 = n 360 · πR2 = n 360 · 3S= nS 120 ,∴ m= Sn S = nS 120 S = n 120 = 1 120 n,∴ m 是 n 的正比 例函数,∵ n≥0,∴ 它的图象是过原点的一条射线. 15. D　 【解析】设一个三位数与一个两位数分别为 100x+ 10y+z 和 10m+n,如解图①,则由题意得 mz = 20,nz = 5,ny = 2,nx = a, ∴ mz nz = 4,即 m = 4n,当 n = 2,y = 1 时,z= 2. 5 不是正整数,不符合题意,故舍去,∴ n = 1,y= 2,则 m= 4,z = 5,x = a,如解图②. “20”左边的数 是 2×4 = 8,故 A 选项错误,不符合题意;“20”右边的 “■”表示 4,故 B 选项错误,不符合题意;∵ a 上面的 数应为 4a,∴ 运算结果可以表示为 1 000 ( 4a+ 1) + 100a+25 = 4 100a+1 025,∴ D 选项正确,符合题意,当 a= 2 时,计算结果大于 6 000,故 C 选项错误,不符合 题意. 第 15 题解图 16. D　 【解析】先找出规律,当“和点”横、纵坐标之和除 以 3 所得的余数为 0 时,先向右平移 1 个单位,之后按 照向上、向左,向上、向左不断重复的规律平移,“和 点” Q 按 上 述 规 则 连 续 平 移 16 次 后, 到 达 点 Q16(-1,9),则按照“和点”Q16 反向运动 16 次即可,可 以分为两种情况: 解法 1:①Q16 先向右平移 1 个单位得到 Q15(0,9),此 时横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 0,应该是 Q15 向右平移 1 个单位得到 Q16 ,故矛盾,不成立;②Q16 先 向下平移 1 个单位得到 Q15(-1,8),此时横、纵坐标之 和除以 3 所得的余数为 1,则应该向上平移 1 个单位 得到 Q16 ,故符合题意,∴ 点 Q16 先向下平移,再向右平 移,当平移到第 15 次时,共计向下平移了 8 次,向右 平移了 7 次,此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1),∴ 最 后一次若点 Q1 向右平移则点 Q 坐标为(7,1),若点 Q1 向左平移则点 Q 坐标为(5,1) . 综上所述,点 Q 的 坐标为(5,1)或(7,1) . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:根据题干示例画图如解图,易得到点 Q1 后,根据规律继续向右平移则点 Q 坐标为(7,1);若 点 Q1 向左平移则点 Q 坐标为(5,1) . 第 16 题解图 17. 89 18. (1)3;( 2) 2 　 【解析】 ( 1) ∵ 9 < 10 < 16 ,∴ 3 < 10 < 4, ∵ n < 10 < n + 1, n 为正整数, ∴ n = 3; (2)∵ n-1< a <n,∴ (n- 1) 2 <a<n2 ,∴ 满足条件的 a 的个数为 n2 -(n-1) 2 = n2 -n2 +2n-1 = 2n-1,∵ n< b < n+1,∴ n2 <b<(n+ 1) 2 ,∴ 满足条件的 b 的个数为(n+ 1) 2 -n2 =n2 +2n+ 1-n2 = 2n+ 1,∵ (2n+ 1) -(2n- 1) = 2,∴ 满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少 2 个. 19. (1)1;(2)7　 【解析】(1) ∵ △ABC 的面积为 2,AD 为 BC 边上的中线, ∴ S△ABD = S△ACD = 1 2 S△ABC = 1 2 × 2 = 1,∵ 点 A,C1 ,C2 ,C3 是线段 CC4 的五等分点,∴ AC = AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = 1 5 CC4 ,∵ 点 A,D1 ,D2 是线 段 DD3 的四等分点,∴ AD=AD1 =D1D2 =D2D3 = 1 4 DD3,在 △AC1D1 和△ACD 中, AC1 =AC, ∠C1AD1 =∠CAD, AD1 =AD, { ∴ △AC1D1 ≌ △ACD(SAS),∴ S△AC1D1 =S△ACD = 1; (2)解法 1:如解图①,连接 B1D1 ,C3D3 ,∵ 点 A 是线段 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 BB1 的中点,∴ AB1 =AB= 1 2 BB1,在△AB1D1 和△ABD 中, AB1 =AB, ∠B1AD1 = ∠BAD, AD1 =AD, { ∴ △AB1D1 ≌ △ABD ( SAS ), ∴ S△AB1D1 = S△ABD = 1, ∠B1D1A = ∠BDA, ∵ ∠BDA + ∠CDA = 180°, ∴ ∠B1D1A + ∠C1D1A = 180°, ∴ C1 , D1 ,B1 三点共线,∴ S△AB1C1 = S△AB1D1 +S△AC1D1 = 1 + 1 = 2,∵ AC1 =C1C2 = C2C3 = C3C4 ,∴ S△AB1C4 = 4S△AB1C1 = 4× 2 = 8, ∵ AD1 = D1D2 = D2D3 , S△AB1D1 = 1, ∴ S△AB1D3 = 3S△AB1D1 = 3× 1 = 3,在△AC3D3 和△ACD 中, AC3 AC = 3 = AD3 AD ,∠C3AD3 =∠CAD,∴ △C3AD3∽△CAD,∴ S△C3AD3 S△CAD = ( AC3 AC ) 2 = 32 = 9,∴ S△C3AD3 = 9S△CAD = 9× 1 = 9,∵ AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 , ∴ S△AC4D3 = 4 3 S△C3AD3 = 4 3 × 9 = 12,∴ S△B1C4D3 = S△AC4D3 + S△AB1D3 - S△AB1C4 = 12 + 3 - 8 = 7,即△B1C4D3 的面积为 7. 第 19 题解图① 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2 思路点拨: 如解图 ②, 连 接 C1D2 , B1D1 , B1D2 ,易知四边形 AB1D2C1 是平行四边形,同解法 1 求出 S△AD3C4 = 12,S△AD3B1 = 3. 利用相似三角形的性质 及等高三角形的面积关系求解. 第 19 题解图② 第 19 题解图③ 解法 3 思路点拨:如解图③,不妨设△ABC 是以 BC 为底,AD 为高的等腰三角形,且 BC = 2,AD = 2,同解 法 1 得 S△AD3C4 = 12,S△AD3B1 = 3,利用相似三角形的性 质及等高三角形的面积关系求解. 20.解:(1)∵ 点 A,B,C 所对应的数依次为-4,2,32, ∴ A,B,C 三点所对应的数的和为-4+2+32 = 30, 5 分…………………………………………………… AB AC = 2-(-4) 32-(-4) = 1 6 ; 7 分……………………………… (2)由题意得AB AC =DE DF ,∴ 1 6 = x 12 ,解得 x= 2. 9 分…… 21.解:(1)当 a= 1,b= -2 时,a+b= -1,2a+b= 0, a-b= 3, 3 分…………………………………………… ∴ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为 1 3 ; 4 分…………………………………………………… (2)补全表格如下, 　 　 　 　 　 第一次 和 第二次　 　 　 　 a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 3a+2b 2a 2a+b 3a+2b 4a+2b 3a a-b 2a 3a 2a-2b 8 分… 由上表知,所有等可能的结果有 9 种,和为单项式的 结果有 4 种,∴ 和为单项式的概率为 4 9 . 9 分……… 22.解:(1) 由题意可得 PQ⊥AE,PQ = 2. 6 m,AB = CD = EQ= 1. 6 m,AE=BQ= 4 m,AC=BD= 3 m, ∴ CE= 4-3= 1(m),PE= 2. 6-1. 6= 1(m),∠CEP= 90°, ∴ CE=PE, ∴ β= ∠PCE= 45°, 3 分……………………………… tan α= tan∠PAE=PE AE = 1 4 ; 5 分……………………… (2)∵ CE=PE= 1 m,∠CEP= 90°, ∴ CP= 12 +12 = 2 (m) . 7 分……………………… 如解图,过点 C 作 CH⊥AP 于点 H, 第 22 题解图 ∵ 在 Rt△ACH 中,CH AH = tan α = 1 4 ,∴ 设 CH = x m,则 AH= 4x m, 在 Rt△ACH 中,CH2 +AH2 =AC2 , ∴ x2 +(4x) 2 =AC2 = 9, ∴ x= 3 17 17 (负值已舍去), 即 CH= 3 17 17 m, ∴ sin∠APC=CH CP = 3 17 17 2 = 3 34 34 . 9 分……………… 23.解:操作　 (1)EF= 1; 2 分…………………………… 【解法提示】如解图①,过点 G′作 G′K⊥FH′于点 K,结 合题意可得,四边形 FOG′K 为矩形,∴ FO =KG′,由拼 接可得 HF = FO = KG′,由正方形的性质可得∠A = 45°,∴ △AHG,△H′G′D, △AFE 为等腰直角三角形, ∴ △G′KH′为 等 腰 直 角 三 角 形, 设 H′K = KG′ = x, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 第 23 题解图① ∴ H′G′=H′D = 2x,∴ AH = HG = 2x,HF=FO=x,∵ 正方形的 边长为 2, ∴ 对角线的长为 22 +22 = 2 2 , ∴ OA= 2 , ∴ x+x+ 2x= 2,解得 x = 2 - 1,∴ EF =AF = 2 x+x = ( 2 +1) x=( 2 +1)( 2 -1)= 1. (2)与线段 BE 长度相等的线段有 AH,GH,GE. 5 分… ∵ △AFE 为等腰直角三角形,EF=AF= 1, ∴ AE= 2EF= 2 , ∴ BE= 2- 2 . 8 分…………………………………… 【解法提示】 ∵ GE = H′G′ = 2 x = 2 × ( 2 - 1) = 2 - 2 ,AH = GH = 2 x = 2 - 2 , ∴ BE = GE = AH = GH = 2- 2 ; 探究　 画图如解图②,BP 的长为 2或 2- 2 . 10 分…………………………………………………… 【解法提示】如解图②,以 C 为圆心,CO 长为半径画 弧,交 BC 于点 P,交 CD 于点 Q,则直线 PQ 为分割 线,此时 CP = CQ = 2 ,PQ = 2+2 = 2,符合要求, ∴ BP= 2- 2 ,或以 B 为圆心,BO 长为半径画弧交 BC 于点 P′,交 AB 于点 Q′,则直线 P′Q′为分割线,此时 BP′= 2 ,P′Q′ = 2+2 = 2,符合要求. 综上,BP 的长 为 2或 2- 2 . 第 23 题解图② 24.解:(1)当 p= 100 时,甲的报告成绩为80 ×95 100 = 76 (分), 2 分…………………………………………………… 乙的报告成绩为 20×(130-100) 150-100 +80 = 92 (分); 4 分…………………………………………………… (2)∵ 92>80, ∴ 当 y= 92 时, 20(x丙 -p) 150-p +80 = 92,得 x丙 = 90+ 2 5 p. 5 分…………………………………………………… ∵ 64<80,∴ 当 y= 64 时, 80x丁 p = 64,得 x丁 = 4 5 p. 6 分…………………………………………………… ∵ x丙 -x丁 = 40,∴ 90+ 2 5 p- 4 5 p= 40, 解得 p= 125; 7 分……………………………………… (3)①130 分; 9 分…………………………………… 【解法提示】共计 100 名员工,且成绩已经排列好, ∴ 中位数是第 50,51 名员工成绩的平均数,由表格得 第 50,51 名员工成绩都是 130 分,∴ 中位数为 130. ②95%. 10 分………………………………………… 【解法提示】当 p > 130 时,则 90 = 80 ×130 p ,解得 p = 1 040 9 <130,不符合题意,舍去;当 p≤130 时,则 90 = 20(130-p) 150-p +80,解得 p = 110,符合题意,由表格得到 原始成绩为 110 分及 110 分以上的人数为 100-(1+ 2+2)= 95,∴ 此次测试的合格率为 95 100 ×100% = 95%. 25.解:(1)如解图①,连接 OA,OB, ∵ ☉O 的半径为 3,AB= 3, ∴ OA=OB=AB= 3,∴ △AOB 为等边三角形, ∴ ∠AOB= 60°, ∴ 劣弧 AN ( 的长为 60π×3 180 = π; 3 分…………………… 第 25 题解图 (2)如解图②,过点 B 作 BI⊥OA 于点 I,过点 O 作 OH⊥MN 于点 H,连接 MO, 则易知四边形 BIOH 是矩形, ∴ BH=OI,BI=OH, ∵ MN= 2 5 ,OH⊥MN, ∴ MH=NH= 5 , 又∵ OM= 3, ∴ OH= OM2 -MH2 = 2,∴ BI= 2, ∴ 点 B 到 OA 的距离为 2. 6 分……………………… ∵ AB= 3,BI⊥OA, ∴ AI= AB2 -BI2 = 5 , ∴ OI=OA-AI= 3- 5 ,∴ BH= 3- 5 , ∴ x=BN=BH+NH= 3- 5 + 5 = 3; 8 分……………… 第 25 题解图③ (3) ①如解图③,过点 O 作 OJ⊥ BC 于点 J,OK⊥AB 于点 K, ∵ ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 KOJB 为矩形, ∴ OJ=KB,∵ AB= 3,BC= 3 2 , ∴ AC= AB2 +BC2 = 3 3 , ∵ 过点 A 的切线与 AC 垂直, ∴ AC 过圆心 O, ∴ OC=AC-OA= 3 3 -3, 由 sin∠ACB= OJ OC =AB AC ,即 d 3 3 -3 = 3 3 3 , 解得 d= 3- 3 ; 11 分………………………………… ②d 的最小值为 2 3 . 12 分…………………………… 【解法提示】如解图④,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G, OF⊥BC 于点 F,连接 OB,∵ ∠ABC = 90°,∴ 四边形 OFBG 为矩形,∴ BG = OF = d,在 Rt△OAG 中,OG2 = OA2 -AG2 ,∴ d2 = OB2 -OG2 = OB2 -(OA2 -AG2 ) = OB2 - OA2 +AG2 ,∴ d2 = OB2 - 32 +(3-d) 2 ,∴ d = 1 6 OB2 ,∴ 当 OB 最小时, d 取最小值,当 OB⊥MN 时, d 取最小 值,此时 B 为 MN 的中点,点 B 与解图②中点 H 重 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 合,∴ OB=OH= 2,∴ d= 2 3 ,即 d 的最小值为 2 3 . 第 25 题解图④ 26.解:(1)a= 1 2 ,Q(2,-2); 3 分………………………… (2)把 Q(2,-2)向左平移 2 个单位长度得到的点的坐 标为(0,-2), 当 x = 0 时,y = - 1 2 ( x- t) 2 + 1 2 t2 - 2 = - 1 2 t2 + 1 2 t2 - 2 = -2, ∴ (0,-2)在 C2 上, ∴ 嘉嘉说法正确; 5 分………………………………… C2 :y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2 = - 1 2 x2 +xt-2, 当 x= 0 时,y= -2, ∴ C2 :y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2 过定点(0,-2), ∴ 淇淇说法正确; 5 分………………………………… (写一个即可) (3)①当 t=4 时,C2:y = - 1 2 (x-t)2 + 1 2 t2 -2 = - 1 2 (x- 4)2+6, ∴ 顶点 P(4,6), 设直线 PQ 的解析式为 y= ex+f, ∴ 4e +f= 6, 2e+f= -2,{ 解得 e= 4, f= -10,{ ∴ 直线 PQ 的解析式为 y= 4x-10; 8 分……………… ②∵ P(4,6), ∴ P 到 x 轴的距离为 6, ∴ l 与 C2 交点的纵坐标为 - 6 ( 等于 6 时两直线重 合,不符合题意), 当 C2 :y= - 1 2 (x-4) 2 +6 = -6 时,(x-4) 2 = 24,解得 x = 4±2 6 , 则 l 与 C2 的交点为(4-2 6 ,-6)或(4+2 6 ,-6), ∵ 直线 PQ 的解析式为 y= 4x-10, ∴ 当 y= -6 时,-6 = 4x-10,解得 x= 1, 当 y= 4x-10 = 0 时,x= 5 2 , 设 l 与 x 轴交点的横坐标为 x, 则当 l 与 C2 的交点为(4-2 6 ,-6)时, 1-(4-2 6 )= 5 2 -x,解得 x= 11 2 -2 6 , 此时直线 l 与 x 轴交点的横坐标为11 2 -2 6 ; 当 l 与 C2 的交点为(4+2 6 ,-6)时, (4+2 6 )-1 = x- 5 2 ,解得 x= 11 2 +2 6 , 此时直线 l 与 x 轴交点的横坐标为11 2 +2 6 . 综上,直线 l 与 x 轴交点的横坐标为11 2 -2 6或11 2 +2 6; 12 分…………………………………………………… (4)n= 2+t-m. 13 分………………………………… 【解法提示】∵ C1 :y= 1 2 (x-2) 2 -2,C2 :y= - 1 2 (x-t) 2 + 1 2 t2 -2,∴ C2 可以看成是由 C1 绕某点旋转 180°,再平 移得到的,两个函数图象的形状相同,如解图,连接 AB 交 PQ 于点 L,连接 AQ,BQ,AP,BP,易得四边形 APBQ 是平行四边形,∴ L 平分线段 AB,L 平分线段 PQ,点 M 是到直线 PQ 的距离最大的点,最大距离为 d,点 N 到直线 PQ 的距离恰好也为 d,∴ M 与 B 重 合,N 与 A 重合, ∴ xA = m, xB = n, ∴ L 的横坐标为 m+n 2 ,∵ Q( 2, - 2),P ( t, 1 2 t2 - 2), ∴ L 的横坐标为 2+t 2 ,∴ m +n 2 = 2+t 2 ,解得 n= 2+t-m. 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2. 2023 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. C　 2. D　 3. A　 4. B　 5. B　 6. B　 7. A　 8. C 第 9 题解图 9. A 　 【 解 析 】 如 解 图, 连 接 P1P2 ,P2P3 ,∵ 点 P1 ~ P8 是☉O 的八等分点,即 P1P2 ( = P2P3 ( = P3P ( 4 = P4P5 ( = P5P6 ( = P6P7 ( = P7P ( 8 = P8P1 ( , ∴ P1P2 = P2P3 = P3P4 = P6P7 , P4P6 ( = P4P5 ( + P5P6 ( = P7P ( 8 + P8P1 ( = P1P7 ( , ∴ P4P6 =P1P7 ,又∵ △P1P3P7 的周长 a = P1P3 +P1P7 + P3P7 ,四边形 P3P4P6P7 的周长 b= P3P4 +P4P6 +P6P7 + P3P7 ,∴ b - a = ( P3P4 + P4P6 + P6P7 + P3P7 ) - ( P1P3 + P1P7 +P3P7 ) = ( P1P2 + P1P7 + P2P3 + P3P7 ) - ( P1P3 + P1P7 +P3P7 ) = P1P2 +P2P3 - P1P3 ,在△P1P2P3 中,有 P1P2 +P2P3 >P1P3 ,∴ b-a=P1P2 +P2P3 -P1P3 >0,∴ a<b. 10. D　 11. B　 12. B 13. C　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 A′ 作 A′D′⊥B′C′于点 D′,∵ ∠B = ∠B′= 30°,AB = A′B′= 6,∴ AD=A′D′= 3,当点 B、C 在点 D 的两侧,点 B′、C′ 在点 D′的两侧时,如解图①, ∵ AD = A′D′ = 3,AC = A′C′= 4, ∴ Rt△ACD≌ Rt △A′ C′ D′ ( HL), ∴ ∠C′ = ∠C=n°;当点 B、C 在点 D 的两侧,点 B′、C′在点 D′的 同侧时,如解图②, ∵ AD = A′D′ = 3,AC = A′ C′ = 4, ∴ Rt△ACD≌Rt△A′C′D′( HL), ∴ ∠A′C′D′ = ∠C = n°,∴ ∠A′C′B′= 180°-∠A′C′D′= 180°-n°;点 B、C 在 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5