八年级数学下学期期末模拟试卷01-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

2024-2025学年人教版八年级数学下学期期末模拟试卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷共24题，选择10题，填空6题，解答8题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各图是以直角三角形三边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母表示该正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（   ） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 8．如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ． 12．如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ． 13．某市教师招考的计分规则是：笔试成绩按照，面试成绩按照计入总分，小红的笔试成绩是85分，面试成绩是80分，则小红最后的得分是 分． 14．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 15．如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 16．在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 19．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 20．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 21．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和线段上运动． (1)求直线的函数表达式； (2)是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 23．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 24．【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ； （3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下学期期末模拟试卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷共24题，选择10题，填空6题，解答8题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分） 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 2．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 3．下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 4．下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项所给点的横坐标代入中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是否相等，如果相等，则该点在函数的图象上，若不相等，则该点不在函数的图象上． 本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故A本选项错误； B、∵当时，， ∴此点在正比例函数图象上，故本选项正确； C、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误； D、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误． 故选B． 5．下列各图是以直角三角形三边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母表示该正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据勾股定理可知以直角三角形的三边为边长分别作三个正方形，两个正方形的面积和等于最大正方形的面积，逐个判断答案即可． 【详解】解：因为，所以A不符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D符合题意． 故选：D． 6．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 7．学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（   ） A．平均数为73分钟 B．众数为88分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为25平方分钟 【答案】A 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：平均数为（分钟）， 7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟， 在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟， 方差为： ， 观察四个选项，选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合同意． 故选：A． 8．如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：B． 9．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，由题意可得，结合和，可证明，则有，当点C运动到点F、E和点C共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时，有题意可得，，即可求得答案． 【详解】解：作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，如图， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点C运动到点F、点E和点C三点共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， 则， 那么，长的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查动点的最值问题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是构造全等三角形，利用三点共线取最大值即可求解． 10．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分） 11．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 12．如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，，，再证明是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，然后证明四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将边沿方向平移到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键． 13．某市教师招考的计分规则是：笔试成绩按照，面试成绩按照计入总分，小红的笔试成绩是85分，面试成绩是80分，则小红最后的得分是 分． 【答案】82 【分析】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式，准确计算是解题的关键． 根据加权平均数定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：82． 14．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 【详解】解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 18．如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键． （1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形； （2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形 【详解】（1）解：，， 如图，即为边长分别为4，，的三角形， （2）解：， 如图，即为腰长为的等腰直角三角形 19．阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 20．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 21．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】(1)83.5； (2)小宇，理由见解析； (3)105人． 【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案； （3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案． 【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； （2）小宇； 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； （3）（人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和线段上运动． (1)求直线的函数表达式； (2)是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与面积问题，坐标与图像，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意用待定系数法直接求一次函数解析式即可； （2）令，求出点坐标即可求得的面积；先求出的解析式，再分别讨论的面积是的面积的时M的横坐标的情况，即可求得点M的坐标情况． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将代入解析式得： 根据题意得：， 解得：， ∴直线的解析式是：； （2）解：在中，令，解得：， ， ； 设的解析式是，则，解得：， ∴直线的解析式是：， ∵的面积是的面积的， ∴的面积是3， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为， ∵动点M在线段和线段上运动， ∴点M的横坐标为， 在中，当时，，则M的坐标是； 在中，时，，则M的坐标是. 综上所述：M的坐标是：或． 23．已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿方向运动．设点P运动的时间为． (1)如图1，点P在边上，相交于点O，当互相平分时，求t的值； (2)如图2，点P在边上，相交于点H，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据题意用t表示与，证明四边形为平行四边形得，由此列出t的方程即可； （2）根据题意用t表示与，证明得，由此列出t的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 当互相平分时，四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得：， ∴t的值为． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即t的值为． 24．【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为，则点A的坐标是 ； （3）如图3，直线l：分别交x轴、y轴于点A、B． ①将直线l绕点A逆时针旋转得到直线m，求直线m的函数表达式； ②如图4，点C的坐标为，点D为直线l上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）见解析（2）（3）①② 【分析】（1）同角的余角相等，求出，利用证明即可； （2）根据（1）中结论得到，求出点坐标即可； （3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作，设，易得，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；②过点作轴，过点作轴，设，易得，求出点坐标，利用勾股定理结合完全平方式的非负性，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵点B的坐标为， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①过点作于点，过点作轴，交轴于点，作， 设，则：， ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同法（1）可得：， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴； ②过点作轴，过点作轴，设，则：， 同法可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$