八年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（7大考点25类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

八年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（7大考点25类题型） 人教版八年级下册数学期末考试的选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来使用人教版地区期末考试的特点，分为七个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】概念辨析型 【题型一】二次根式的意义.............................................................................................................................2 【题型二】最简二次根式与同类二次根式.....................................................................................................2 【题型三】函数及自变量取值范围.................................................................................................................2 【题型四】正比例函数与一次函数.................................................................................................................3 【题型五】平均数与加权平均数.....................................................................................................................3 【题型六】中位数与众数.................................................................................................................................3 【题型七】方差与极差.....................................................................................................................................4 【题型八】勾股数.............................................................................................................................................4 【考点二】计算化简求值型 【题型九】二次根式的运算.............................................................................................................................5 【题型十】二次根式的化简求值.....................................................................................................................5 【考点三】图象分析型 【题型十一】从函数图象中获取信息.............................................................................................................5 【题型十二】动点问题的函数图象.................................................................................................................6 【题型十三】一次函数图象位置.....................................................................................................................7 【考点四】函数图象与性质型 【题型十一】一次函数的增减性.....................................................................................................................8 【题型十二】一次函数的解析式.....................................................................................................................8 【题型十三】一次函数图象的平移.................................................................................................................9 【题型十四】一次函数与方程不等式............................................................................................................10 【考点五】几何判定推理、求值型 【题型十五】勾股定理折叠问题....................................................................................................................11 【题型十六】平行四边形................................................................................................................................11 【题型十七】矩形............................................................................................................................................12 【题型十八】菱形............................................................................................................................................12 【题型十九】正方形........................................................................................................................................13 【考点六】几何综合型 【题型二十】勾股定理....................................................................................................................................14 【题型二十一】平行四边形............................................................................................................................14 【题型二十二】矩形、菱形、正方形............................................................................................................15 【题型二十三】一次函数与几何问题............................................................................................................16 【考点七】实际应用型 【题型二十四】勾股定理的应用....................................................................................................................17 【题型二十五】一次函数的应用....................................................................................................................18 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念辨析型 【题型一】二次根式的意义 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）若，则 ． 3．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知则的值为 【题型二】最简二次根式与同类二次根式 1．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）下列说法正确的是（    ） A．是最简二次根式 B．在数轴上找不到 C．1的立方根与1的平方根相等 D．和是同类二次根式 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型三】函数及自变量与因变量 1．（2024八年级下·全国·专题练习）下列图象，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号） 3．（20-21八年级上·辽宁阜新·期末）为了迎接学校“歌咏比赛”的到来，九年级学生组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站20排，第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，则某排人数y与该排排数x之间的函数关系式为 ．(写出自变量的取值范围）． 【题型四】正比例函数与一次函数 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知一次函数，当时，函数的最大值是（    ） A．0 B．3 C． D． 【题型五】平均数与加权平均数 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）嘉嘉在计算五个数的平均数时，只计算了前四个数的平均数，这四个数的平均数比正确结果小1．若第五个数为6，则正确的平均数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）小明参加以“传承经典，筑梦未来”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是分、9分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（    ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）建国中学在暑期开展了“我的书屋•我的梦”读书活动．开学初，经调查全校参加读书活动的学生中，读1本书，读2本书，读3本书，读4本书，读5本书的人数分别占参加活动的学生总人数的，参加活动的学生中平均每人读书 本． 【题型六】中位数与众数 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．16小时、15小时 B．8小时、8.5小时 C．10小时、8.5小时 D．8小时、9小时 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）为进一步了解学校“双减”工作的实施情况，某中学随机调查了15名学生，了解他们每天在家完成作业的用时情况，列表如下： 完成作业用时/分钟 30 50 70 90 人数 3 8 2 2 则这15名学生每天在家完成作业用时的中位数和众数分别为（    ） A．50，60 B．50，50 C．60，50 D．60，60 3．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）一组数据，，，，中（,为整数），唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是 ． 【题型七】方差与极差 1．（23-24八年级下·全国·期末）已知一组数据：、、、、的平均数是1，则这组数据的方差是（　　） A．1 B．2 C．3 D．10 2．（24-25八年级上·全国·期末）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）一组数据：，4，4，5，5的极差是3，则这组数据的方差为 ． 【题型八】勾股数 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 3．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【考点二】计算化简求值型 【题型九】二次根式的运算 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【题型十】二次根式的化简求值 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江金华·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，则代数式的值为 ． 【考点三】图象分析型 【题型十一】从函数图象（表）中获取信息 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（    ） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了一个函数的图象如图所示，那么关于x的分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）为避开周五放学时学校门口的交通拥堵，乐乐和爸爸商定了一个学校附近的集合地点，爸爸开车从家出发提前到集合地点等待，乐乐放学后从学校出发步行到达集合地，爸爸接到乐乐后再返回家中．假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶，二人出发时间与距家路程的函数关系图象如图所示，下列说法中正确的有（   ） ①学校距家的距离为； ②爸爸比乐乐提前到达集合地点； ③乐乐步行的速度为； ④爸爸返程时的速度为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型十二】动点问题的函数图象 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图（1），在长方形中，点从点出发，沿匀速向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图（2）所示，则当点运动至中点时，的长为 ． 3．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【题型十三】一次函数图象位置 1．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，直线：与直线：的图象交于点，则的解集是 ． 【考点四】函数图象与性质型 【题型十一】一次函数的增减性 1．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是 ． 【题型十二】一次函数的解析式 1．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，，若N是x轴上使得的值最大的点，则的长为（　　）    A． B． C．8 D．6 2．（22-23八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，．则直线的函数表达式为 ．    3．（22-23八年级下·河北承德·期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 （1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？ （填“是”或“否”） （2）请你根据数据推算时的摄氏温度为 【题型十三】一次函数图象的平移 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 3．（22-23八年级下·河北邢台·期末）已知是的函数，且． （1）若该函数为正比例函数，则 ． （2）将该函数图象向上平移1个单位长度，则新函数图象与x轴交点的横坐标为 （用含m的式子表示），将新的函数图象再向右平移2个单位长度，平移后函数图象一定会经过的点的坐标为 ． 【题型十四】一次函数与方程不等式 1．（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（    ）    A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 3．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【考点五】几何判定推理、求值型 【题型十五】勾股定理折叠问题 1．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，，点为边上一点，且，点在边上（与不重合），将沿着折叠，使得点的对应点落在边上，则线段的长度为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长为（    ）    A． B．4 C． D．3 3．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知中，，，，D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在点的位置，若，则 ， ． 【题型十六】平行四边形 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（   ） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为 ． 3．（2024·四川南充·二模）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．    【题型十七】矩形 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作，分别交于E、F，点G为的中点，若，则的长为 ．      2．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是，的中点，平分，与交于点，连接，则 ． 【题型十八】菱形 1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 2．（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为 ． 【题型十九】正方形 1．（2025·河南南阳·一模）如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为 ；② °． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正方形中，点在边上，，.点是正方形边上一点，，则 . 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【考点五】几何综合型 【题型二十】勾股定理 1．（24-25八年级下·天津西青·期中）如图，已知，则数轴上点所表示的数是 ． 2．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ． 3．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在梯形中，，如果，，梯形的面积为48．取的中点，连接并延长，与的延长线交于点．如果，那么的长是 ． 【题型二十一】平行四边形 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为 ．    3．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 【题型二十二】矩形、菱形、正方形 1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，小明把矩形纸片沿折叠（点始终在边上，点始终在边上），使点和落在边上同一点处，点、的对称点分别是、．若点左右移动时，折痕也随之变化，当为等腰直角三角形时，矩形长宽之比为 ． 3．（2025·河北邢台·一模）如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是 【题型二十三】一次函数与几何问题 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 3．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ． 【考点六】实际应用型 【题型二十四】勾股定理的应用 1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【题型二十五】一次函数的应用 1．（19-20八年级上·山西·期末）某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 3．（2025·浙江温州·二模）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（    ） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（7大考点25类题型） 人教版八年级下册数学期末考试的选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来使用人教版地区期末考试的特点，分为七个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】概念辨析型 【题型一】二次根式的意义.............................................................................................................................2 【题型二】最简二次根式与同类二次根式.....................................................................................................3 【题型三】函数及自变量取值范围.................................................................................................................4 【题型四】正比例函数与一次函数.................................................................................................................5 【题型五】平均数与加权平均数.....................................................................................................................7 【题型六】中位数与众数.................................................................................................................................8 【题型七】方差与极差.....................................................................................................................................9 【题型八】勾股数...........................................................................................................................................10 【考点二】计算化简求值型 【题型九】二次根式的运算...........................................................................................................................12 【题型十】二次根式的化简求值...................................................................................................................14 【考点三】图象分析型 【题型十一】从函数图象中获取信息...........................................................................................................15 【题型十二】动点问题的函数图象...............................................................................................................17 【题型十三】一次函数图象位置...................................................................................................................20 【考点四】函数图象与性质型 【题型十一】一次函数的增减性...................................................................................................................22 【题型十二】一次函数的解析式...................................................................................................................24 【题型十三】一次函数图象的平移...............................................................................................................27 【题型十四】一次函数与方程不等式...........................................................................................................29 【考点五】几何判定推理、求值型 【题型十五】勾股定理折叠问题..................................................................................................................31 【题型十六】平行四边形..............................................................................................................................34 【题型十七】矩形..........................................................................................................................................38 【题型十八】菱形..........................................................................................................................................41 【题型十九】正方形......................................................................................................................................44 【考点六】几何综合型 【题型二十】勾股定理..................................................................................................................................47 【题型二十一】平行四边形..........................................................................................................................51 【题型二十二】矩形、菱形、正方形..........................................................................................................54 【题型二十三】一次函数与几何问题..........................................................................................................57 【考点七】实际应用型 【题型二十四】勾股定理的应用..................................................................................................................62 【题型二十五】一次函数的应用..................................................................................................................64 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念辨析型 【题型一】二次根式的意义 1．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可． 解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； B. 中，的取值范围是，故此项符合题意； C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意； D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式组求出x的值是解题关关键． 先根据二次根式有意义的条件列出不等式组可得x的值，进而求得y的值，然后代入即可解答． 解：由题意可知，解得：，则， 所以． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）已知则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及绝对值的非负性，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，从而得出的结果． 解：由题意可知， 解得：， 将代入可得， 则， 解得：， ， 故答案为：． 【题型二】最简二次根式与同类二次根式 1．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对最简二次根式的理解，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判定即可． 解：A．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）下列说法正确的是（    ） A．是最简二次根式 B．在数轴上找不到 C．1的立方根与1的平方根相等 D．和是同类二次根式 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，数轴与点，平方根与立方根，同类二次根式，根据性质判断解答即可． 【详解】A. 是最简二次根式，正确，符合题意；     B. 在数轴上能找到，错误，不符合题意；     C. 1的立方根是1，1的平方根是，错误，不符合题意；         D. ，，不是同类二次根式，错误，不符合题意；     故选A． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 解：，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 【题型三】函数及自变量与因变量 1．（2024八年级下·全国·专题练习）下列图象，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数定义，根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案． 解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数， A、B、D选项均满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数， 而C选项中，对一个的值，与之对应的可能有两个的值，故不是的函数， 故选：C． 2．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如图所示的4个x，其中y一定是x的函数的是 （填写所有正确的序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了函数的概念．根据函数的定义判断即可． 解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，x是自变量，y是x的函数， ∴①②③不符合定义，④符合定义， 故答案为：④． 3．（20-21八年级上·辽宁阜新·期末）为了迎接学校“歌咏比赛”的到来，九年级学生组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站20排，第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，则某排人数y与该排排数x之间的函数关系式为 ．(写出自变量的取值范围）． 【答案】y=x+9（，且x是整数） 【分析】根据第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人，得到y=10+（x-1）=x+9，由共站20排，且排数x为正整数，得到，且x是整数． 【详解】∵第一排10人，以后每一排都比前一排多站一人， ∴y=10+（x-1）=x+9， ∵共站20排，且排数x为正整数， ∴，且x是整数， 故答案为：y=x+9（，且x是整数）． 【点睛】此题考查列函数关系式，自变量的取值范围，正确理解题意是解题的关键． 【题型四】正比例函数与一次函数 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出N的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 设正比例函数解析式为， 则， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知一次函数，当时，函数的最大值是（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据可知一次函数，y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案． 解： 一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，在时有最大值 此时 故选B． 【题型五】平均数与加权平均数 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）嘉嘉在计算五个数的平均数时，只计算了前四个数的平均数，这四个数的平均数比正确结果小1．若第五个数为6，则正确的平均数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了平均数．设正确的平均数为，根据四个数的平均数比正确结果小1得到前四个数的和为，再根据平均数的正确求法列方程，解方程即可． 解：设正确的平均数为， 则 解得 即正确的平均数为， 故选：B. 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）小明参加以“传承经典，筑梦未来”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是分、9分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（    ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解：由题意知，小明的最终比赛成绩是（分）， 故选：D． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）建国中学在暑期开展了“我的书屋•我的梦”读书活动．开学初，经调查全校参加读书活动的学生中，读1本书，读2本书，读3本书，读4本书，读5本书的人数分别占参加活动的学生总人数的，参加活动的学生中平均每人读书 本． 【答案】3 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大． 利用加权平均数的计算公式进行计算即可． 解：参加活动的学生中平均每人读书（本）． 故答案为：3． 【题型六】中位数与众数 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A．16小时、15小时 B．8小时、8.5小时 C．10小时、8.5小时 D．8小时、9小时 【答案】D 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）为进一步了解学校“双减”工作的实施情况，某中学随机调查了15名学生，了解他们每天在家完成作业的用时情况，列表如下： 完成作业用时/分钟 30 50 70 90 人数 3 8 2 2 则这15名学生每天在家完成作业用时的中位数和众数分别为（    ） A．50，60 B．50，50 C．60，50 D．60，60 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数、众数的意义及求法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数．从15个学生每天在家完成作业的时间中，找出出现次数最多的数是众数，排序后处在第8位的数是中位数． 解：15名学生每天在家完成作业的时间从小到大排列后处在第8位的是50分钟，因此中位数是50， 50分钟的出现次数最多，是8次，因此众数是50， 故选：B． 3．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）一组数据，，，，中（,为整数），唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】根据平均数的定义可以先求出，再根据众数的定义可得不能是，不能是，进而根据中位数的定义求出这组数的中位数即可． 解：依题意， ∴， ∵唯一众数是，则不能是，且， 则不能是， 设，则，， ∴这组数据从小到大排列为，，，，， 则中位数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键． 【题型七】方差与极差 1．（23-24八年级下·全国·期末）已知一组数据：、、、、的平均数是1，则这组数据的方差是（　　） A．1 B．2 C．3 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的定义． 先根据平均数的定义求出的值，再依据方差的定义求解即可得出答案． 解：由题意知， 解得， 则这组数据为， 所以其方差为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，7，8，9，则样本的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了平均数，方差及标准差的计算，根据平均数、方差的公式计算样本的平均数和方差，然后求方差的算术平方根得到标准差，掌握相关知识是解题的关键． 解：样本的平均数， 样本的方差， 样本的标准差， 故答案为：，，． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）一组数据：，4，4，5，5的极差是3，则这组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】根据极差的计算公式先求出，再求出平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．本题考查了方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差． 解：∵一组数据：，4，4，5，5的极差是3， ∴当时， ∴， ∴， 方差． ∴当时， ∴， ∴， 方差． 综上：这组数据的方差为； 故答案为： 【题型八】勾股数 1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ）． A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理问题，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 解：A、∵， ∴3，4，5这组数是勾股数，符合题意； B、∵， ∴4，5，6这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴7，8，9这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，9，10这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 3．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 【考点二】计算化简求值型 【题型九】二次根式的运算 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的运算法则分别计算即可得到答案． 【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 解： 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 【题型十】二次根式的化简求值 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 解：原式 ， 故选：B． 2．（22-23八年级下·浙江金华·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．0 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据进行求解即可． 解：∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求代数式的值，实数的混合运算，将代入，求解即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 【详解】∵， ∴， 故答案为：4． 【考点三】图象分析型 【题型十一】从函数图象（表）中获取信息 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（    ） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】先比较平均数得到甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好，然后比较方差得到乙品种的火龙果树的状态稳定，从而求解．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 解：∵， ∴甲品种的火龙果树、乙品种的火龙果树的产量的平均数大， 甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好， ∵， ∴甲品种的火龙果树产量的方差比乙品种的火龙果树产量的方差小， ∴甲品种的火龙果树的产量比较稳定， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了一个函数的图象如图所示，那么关于x的分式方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求函数解析式，解分式方程等知识点，观察到函数的图象经过点是解题的关键． 由图可知，函数的图象经过点，则，解得，则分式方程即为，然后解方程并检验即可． 解：由图可知，函数的图象经过点，则： ， 解得：， 则分式方程即为， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故选：． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）为避开周五放学时学校门口的交通拥堵，乐乐和爸爸商定了一个学校附近的集合地点，爸爸开车从家出发提前到集合地点等待，乐乐放学后从学校出发步行到达集合地，爸爸接到乐乐后再返回家中．假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶，二人出发时间与距家路程的函数关系图象如图所示，下列说法中正确的有（   ） ①学校距家的距离为； ②爸爸比乐乐提前到达集合地点； ③乐乐步行的速度为； ④爸爸返程时的速度为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用的信息．根据图象，结合路程、时间、速度关系逐个判断即可． 解：①根据函数图象可知，学校距家的距离为，故①正确； ②根据函数图象可知，爸爸比乐乐提前到达集合地点，故②错误； ③乐乐步行的速度为，故③正确； ④爸爸返程时的速度为，故④正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 【题型十二】动点问题的函数图象 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图（1），在长方形中，点从点出发，沿匀速向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图（2）所示，则当点运动至中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的化简，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得：当时，，再根据图2中点的实际意义可得：，，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 解：由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为0时，的长为6， 当时，， 由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为时，的值最大，最大为6， 当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，动点问题的函数图象，由函数图象，得到，，，再由勾股定理，三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 【题型十三】一次函数图象位置 1．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项． 解：A．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a的取值矛盾，故本选项错误； B．的图象过第一、二、三象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误； C．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的正负一致，故本选项正确； D．的图象过第一、二、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误； 故选C． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数的图像如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合．根据一次函数的图像所在的象限并结合一次函数的性质即可求解． 解：一次函数的图像过一、三象限， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，直线：与直线：的图象交于点，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，观察函数图象，的解集是直线在直线上方时自变量的取值范围，即可求解． 解：∵直线：与直线：的图象交于点， 根据函数图象可得的解集是 故答案为：． 【考点四】函数图象与性质型 【题型十一】一次函数的增减性 1．（23-24八年级下·河北唐山·期末）关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 2．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点，是关于的一次函数图象上的三点，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握利用一次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键． 由题意知，随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可． 解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 3．（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围． 解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 故b的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型． 【题型十二】一次函数的解析式 1．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，，若N是x轴上使得的值最大的点，则的长为（　　）    A． B． C．8 D．6 【答案】C 【分析】连接并延长交x轴于N，由三角形第三边大于两边之差得，点N为所求，求出的关系式，再求出与x轴的交点即可． 解：连接并延长交x轴于N，由三角形第三边大于两边之差得，点N为所求，    ∵，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴：， 令，则，解得， ∴点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，三角形的三边关系的应用，理解题意确定相应的解题方法是解本题的关键． 2．（22-23八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，．则直线的函数表达式为 ．    【答案】 【分析】过点、点作、垂直于轴，垂直于于，根据证，同理证，最后根据A点和B点坐标即可得出点坐标；用待定系数法即可求出直线的解析式； 解：如图，过点、点作、垂直于轴，作垂直于于，    在正方形中，，， ， ， 又， ， ，， 同理可证， 又，， ，， ； 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形 3．（22-23八年级下·河北承德·期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 （1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？ （填“是”或“否”） （2）请你根据数据推算时的摄氏温度为 【答案】 是 【分析】（1）根据表格中的数据，判断与的函数关系是一次函数即可； （2）设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，最后代入求解即可． 【详解】（1）由表格可知，每增加，就增加，则两种温标计量值的对应关系是一次函数， 故答案为：是 （2）设华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为， 由表中的数据，得， 解得， ， 华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为， 当时，， 解得， 当华氏温度为时，摄氏温度是， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键． 的性质等知识点是解题的关键． 【题型十三】一次函数图象的平移 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据一次函数经过点，，求出，的值，即可． 解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵一次函数分别与轴，轴交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，即点，，即， ∴一次函数向左平移了个单位长度， ∴直线的解析式为：． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移a（）个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若的面积为2，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算和的长是解本题的关键．利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算和时对应的值，可得和的值，根据的面积为2，列方程可得结论． 解：直线沿y轴向上平移a个单位长度后，得到直线， 当时，， ∴， ∵直线与x轴交于点A， ∴， 当时，， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：4． 3．（22-23八年级下·河北邢台·期末）已知是的函数，且． （1）若该函数为正比例函数，则 ． （2）将该函数图象向上平移1个单位长度，则新函数图象与x轴交点的横坐标为 （用含m的式子表示），将新的函数图象再向右平移2个单位长度，平移后函数图象一定会经过的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）由为正比例函数，可得且，解得：，从而可得答案； （2）向上平移1个单位长度；可得，令，再解方程即可；将新的函数图象再向右平移2个单位长度得，即可得出结论 【详解】（1）为正比例函数， 且， 解得：， 此时函数式为：， 故答案为：； （2）向上平移1个单位长度； 平移后的解析式为：， 令，即 新函数图象与x轴交点的横坐标: 将新的函数图象再向右平移2个单位长度得 化简得： 平移后函数图象一定会经过的点的坐标为 故答案为：；；． 【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数图象的平移，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，理解一次函数的性质是解本题的关键． 【题型十四】一次函数与方程不等式 1．（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（    ）    A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可得到，．根据直线与直线的交点即可继续判断，得出答案． 解：由图象可知，，，故选项A、C正确，不符合题意； 直线与直线的交点的横坐标为，即方程的解是，故选项B正确，不符合题意； 根据图象可知，不等式的解集是，故选项D错误，符合题意． 故选D． 3．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数和的图象的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组的解为 ，从而可得出交点坐标． 解：二元一次方程组 的解为 ， 即的解为 ， 函数和的图象的交点坐标为， 故答案为：． 【考点五】几何判定推理、求值型 【题型十五】勾股定理折叠问题 1．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，，点为边上一点，且，点在边上（与不重合），将沿着折叠，使得点的对应点落在边上，则线段的长度为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握翻折的性质及勾股定理． 根据等腰直角三角形的性质得出，根据翻折的性质和线段的和差得出，最后利用勾股定理即可求解． 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ， 由翻折的性质可得， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长为（    ）    A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是关键． 根据折叠得到，，，由勾股定理得到，如图所示，过点作，则，设，则，在中，，由此列式求解即可． 解：将长方形纸片对折，折痕为， ∴，， ∵将沿折叠，使点落到上的点处， ∴， ∴， 如图所示，过点作，则，    ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C ． 3．（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知中，，，，D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在点的位置，若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、一元一次方程、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 如图：延长交于E，由，先说明与重合，即可求得；再根据角平分线的性质可得，设，则，然后根据列方程求解即可． 解：如图：延长交于E，过C作，则， ∵， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，使点B落在点的位置， ∴， ∴， ∴，即与重合， ∴； ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵中，，，， ∴，， ∴， ∵，即，解得：， ∴． 故答案为：，． 【题型十六】平行四边形 1．（2025·河北·模拟预测）如图，将一个正五边形变形为四边形，其中三点共线，，则的度数将（   ） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和外角，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 连接，得到四边形是平行四边形，是等边三角形，则，，由正多边形的内角和定理得到正五边形中，由此即可求解． 解：∵五边形是正五边形， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵正五边形每个内角都相等， ∴， ∴， ∴的度数增大了， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中点坐标公式的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①为对角线，②为对角线，③为对角线，利用中点坐标公式和平行四边形的性质建立方程求解即可． 解：设，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 如图，①当为对角线时，，，， ∴ 解得：， ∴； ②当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； ③当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标是或或． 故答案为：或或． 3．（2024·四川南充·二模）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．    【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．由题意可知，，由平行四边形的性质推出，，，得到，证明，推出，由勾股定理求出，即可得到． 解：由题意可知，， 四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ，，， ， ． 故答案为：8． 【题型十七】矩形 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作，分别交于E、F，点G为的中点，若，则的长为 ．      【答案】2 【分析】本题主要考查直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于巧设，利用勾股定理构建方程解决。 根据直角三角形的性质和直角三角形斜边上中线的性质，利用方程思想可求出的长度． 解：∵， ， 在 中，是的中点， ， ， ， ∴是等边三角形， 设， ， ∵是的中点， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：（负值舍去）． ， 故答案为：2． 2．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，B点坐标为，矩形与y轴正半轴交于点H，若沿着翻折后点D 的对应点恰好落在对角线上，则点 C 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，矩形与折叠问题，勾股定理，连接，翻折得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的值，进而得到点 C 的坐标即可． 解：连接， ∵矩形，点A的坐标为，B点坐标为， ∴，，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∵点落在对角线上， ∴， ∴， 设，则， ∵点落在对角线上， ∴ 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2025·河北邯郸·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是，的中点，平分，与交于点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．利用勾股定理求得，证明是的中位线，得到，，推出，据此求解即可． 解：∵矩形中，，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十八】菱形 1．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质结合勾股定理求得，当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值，据此求解即可． 解：连接， ∵点O为对角线的中点， ∴经过点O， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在以点O为圆心，长度为的， ∴当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值， 当点在点上方时，有最小值为； 当点在点下方时，有最大值为； 故答案为：；． 2．（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：连接， 菱形， ， 菱形的周长为40， ， ， 菱形的面积， ， 故选B． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】根据菱形性质得到，，连接，交于点，结合直角三角形性质得到，结合勾股定理和菱形性质得到，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，并结合勾股定理求解，即可解题． 解：菱形中，，为菱形的对角线， ，， 连接，交于点， ， ， ， ， ， 为等腰三角形时， ①当时，即点与点重合， ， ②当时，， ③当时， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 【题型十九】正方形 1．（2025·河南南阳·一模）如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为 ；② °． 【答案】 45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①根据题意以及正方形的性质证明为等腰直角三角形，求出，由勾股定理即可得到答案； ②由题意证明，根据全等三角形的性质和平移的性质得到为等腰直角三角形，即可求出答案． 解：①连接，如解图所示．由平移，可知，，则四边形为平行四边形． ，． 由正方形的性质，可知，． ． 为等腰直角三角形． ． 在中，由勾股定理， 可得． ②标记角，如解图． 由，，， ， ，． 由平移，得． ． ，， ．由平移，得． ． ． 为等腰直角三角形． ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正方形中，点在边上，，.点是正方形边上一点，，则 . 【答案】3或 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，由正方形的性质得出，，由勾股定理求出；分两种情况：①当点F在边上时，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出即可；②当点F在边上时，由勾股定理求出即可． 解：∵四边是正方形， ∴，，， ∴， 分两种情况： ①当点F在边上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点F在边上时，如图2所示： ∵， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【答案】A 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 【考点五】几何综合型 【题型二十】勾股定理 1．（24-25八年级下·天津西青·期中）如图，已知，则数轴上点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用勾股定理计算线段长度，解题的关键是结合数轴上点的位置关系进行求解．先在中，利用勾股定理计算的长度，然后在中，计算的长度，根据，确定的长度，进而求解点在数轴上所表示的数． 解：如图所示，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点在原点的右侧， 数轴上点所表示的数是， 故答案为：． 2．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用基本作图得到平分，再证明得到，接着利用勾股定理计算出，然后利用等线段代换得到的周长． 解：由作法得平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． 3．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在梯形中，，如果，，梯形的面积为48．取的中点，连接并延长，与的延长线交于点．如果，那么的长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据梯形的面积可求得，然后利用可证得，得到，进而可推出，即可求得，然后由，可知，根据等角对等边可知为等腰三角形，然后利用三线合一和勾股定理即可求得． 解：过点作于点，如图所示， ，，梯形的面积为48， ，即， ， ， ，， 又点为的中点， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【题型二十一】平行四边形 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 已知为等腰三角形的腰，所以可以分2种情况讨论：①当时，是等腰三角形．作，垂足为，于，则四边形是平行四边形，列方程得到的值；②当时，是等腰三角形，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理列方程即可得到结论． 解：分2种情况讨论： ①当时， 作，垂足为，于，则四边形是平行四边形， ，，， ， ； ②当时， 将沿射线方向平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 综上所述：当或时，是等腰三角形． 故答案为：6或． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为 ．    【答案】2或6 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及折叠的特点．分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 解：如图1，当时，    ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴； 如图2，当时，      ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，此时与点重合， ∵， ∴， ∴． 综合以上可得的长为2或6． 故答案为：2或6． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 解：如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长． 【题型二十二】矩形、菱形、正方形 1．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在中，，，，为的中点，为边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，若以点，，，A为顶点的四边形为平行四边形，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、平行四边形性质、折叠性质等知识，读懂题意，分两种情况：①当点在下方时；②当点在上方时；在各自情况下，先由勾股定理求出长，再由平行四边形及折叠性质，数形结合表示出要求的线段即可得到答案，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 解：当点在下方时，如图所示： ，，， ， 为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 将沿折叠得到， ， ； 当点在上方时，如图所示： 同上理，可得， ， 综上所述，可得为1或， 故答案为：1或 ． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，小明把矩形纸片沿折叠（点始终在边上，点始终在边上），使点和落在边上同一点处，点、的对称点分别是、．若点左右移动时，折痕也随之变化，当为等腰直角三角形时，矩形长宽之比为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点P作于点M，首先得到，，设，表示出，然后表示出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作于点M ∵为等腰直角三角形 ∴， 设 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴矩形长宽之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·河北邢台·一模）如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接交于点，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理求出，进而得到，根据当直线运动到点或点时，最小，最小值为，当直线运动到与重合时，最大，最大值为，得到，即可求解． 解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， 当直线运动到点或点时，最小，最小值为， 当直线运动到与重合时，最大，最大值为， ， 正整数的值是， 故答案为：． 【题型二十三】一次函数与几何问题 1．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，已知矩形，为坐标原点，的坐标为，点，分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限且是直线上的一点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(4,14) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，通过构造全等，求出点的纵坐标（即的长）是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，则，由为等腰直角三角形，可得出，，利用等角的余角相等，可得出，由，利用平行线的性质，可得出，即，进而可证出，利用全等三角形的性质，可求出的长，结合的长，可得出的长，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 解：当时，， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，则，如图所示， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在矩形中，， ， ， 在和中， ， ，，， 当时，， 解得：， 点的坐标是． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 【答案】y 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可． 解：直线与轴、轴分别交于点和点， ，， 在中，由勾股定理可知：， 由折叠性质可知， ， 设，则， 由勾股定理得：，解得， ， 设直线解析式为， 代入点坐标得：，解得， 直线的函数解析式是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，四边形是正方形．点M是线段上的一个动点（点A、B除外），点N在x轴的上方，以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线得解析式，可得到点B的坐标，然后分两种情况：当四边形为菱形时，当四边形为菱形时，即可求解． 解：把点代入得： ，解得：， ∴直线得解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 如图，当四边形为菱形时， ∴垂直平分， ∴点M，N的纵坐标均为，且点M，N关于y轴对称， 把代入得： ，解得：， ∴点M的坐标为， 此时点N的坐标为； 如图，当四边形为菱形时，延长交x轴于点P，此时，轴， 设点M的坐标为，则， ∵轴， ∴轴， ∴点N的坐标为，即 在中，， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 【考点六】实际应用型 【题型二十四】勾股定理的应用 1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 解：∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    【题型二十五】一次函数的应用 1．（19-20八年级上·山西·期末）某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（    ） A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可． 解：利用图象，当游泳次数大于10次时， 在上面，即＞， ∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 3．（2025·浙江温州·二模）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（    ） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象．熟练掌握行程问题的s—v图象数据，路程与速度和时间的计算，是解题的关键． 由两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为2.5分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值． 解：由图象可得， 小鹿的速度为（千米/分钟）， 小鹿行完全程的时间为（分钟）， 在休息点休息的时间为（分钟）， 小鹿与小晨的速度差为（千米/分钟）， 小晨的速度为（千米/分钟）， 小晨行完全程的时间为（分钟）， 图书馆到休息点的路程为（千米）， 小晨从休息点到公园的时间为（分钟）， ． 故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$