云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷 数 学 考生注意: 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3. 考生作答时, 请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在试题卷、草稿纸上作答无效。 4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章～第八章第 5 节。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 若点 在直线 上,直线 在平面 内,则下列关系表示正确的是 A. B. C. D. 2. 已知复数 ,则 A. 的虚部为 B. C. D. 3. 已知平面向量 ,若 ,则 A. B. C. D. 4. 已知 为三条不同的直线, 为两个不同的平面,若 ,且 与 异面,则 A. 至多与 中的一条相交 B. 与 均相交 C. 与 均平行 D. 至少与 中的一条相交 5. 已知复数 是关于 的方程 的一个根,则 A. 7 B. -7 C.-3 D. 3 6. 在 中,内角 的对边分别为 ,且 ,则 A. B. C. D. 7. 如图是一个正方体的展开图, 若将它还原为正方体, 则 A. B. CH // BD C. 与 共面 D. 与 异面 8. 中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期,并在战国时期取得了显著的进步,推动了当时社会的发展. 现将一个体积为 的实心铁球熔化后,浇铸成一个圆台状的实心铁锭 (不考虑损耗),若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 2 倍,高为 ,则该圆台的表面积为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是 A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有 5 个面 10. 已知 的内角 所对的边分别为 ,则 A. B. 若 ,则 C. 若 ,则 为锐角三角形 D. 若 ,则 的形状能唯一确定 11. 已知 均为复数,且 ,则下列结论正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 是实数 C. 若 ,则 是纯虚数 D. 若 ,则 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 在复平面内,复数 对应的向量分别是 ,其中 是坐标原点,则向量 对应的复数为_____. 13. 已知向量 在向量 上的投影向量 ,则 _____. 14. 如图,正方体 的棱长为 2, 为 的中点,若过 的 平面 平面 ,则 截该正方体所得截面图形的面积为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 13 分) 已知复数 为虚数单位). (1)若 为纯虚数,求实数 的值； (2)若 在复平面内所对应的点位于第四象限,求 的取值范围. 16.(本小题满分 15 分) 如图所示, 为四边形 的直观图,其中 . (1)画出四边形 的平面图并标出边长,并求平面四边形 的面积; (2)若该四边形 以 为旋转轴,旋转一周,求旋转形成几何体的体积及表面积. 17. (本小题满分 15 分) 在等腰梯形 中, 为 的中点,点 在 上,且 ,记 . ( 1 )用向量 表示向量 ； (2)求 的值. 18.(本小题满分 17 分) 在 中,内角 的对边分别为 ,且 . (1)求角 的大小； (2)若点 是线段 上的一点,且 ,求 的值. 19.(本小题满分 17 分) 如图,在正方体 中,点 分别为棱 的中点,点 是棱 上的一点,且 . (1)求证: 四点共面； (2)求证: 平面 ； (3)已知点 是棱 上的一点, 且平面 平面 ,求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷 数学 考生注意： 1.本武卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0,5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4本卷命题范围：人救A版必修第二册第六章~第八章第5节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若点A在直线m上，直线m在平面α内，则下列关系表示正确的是 A.ACm B.m∈a C.A∈a D.ACa 2.已知复数z=-2十i,则 Az的虚部为i B.|z=5 C.x=-2-i D.x>2 3.已知平面向量a=(3,一2)，b=(1,λ十1)，若a⊥b,则= A司 B分 c-号 n.-号 4,已知m,n,l为三条不同的直线，a,B为两个不同的平面，若a∩B=l,mC&,nCB,且m与n异 面，则 Al至多与m,n中的一条相交 B.l与m,n均相交 C.l与m,n均平行 D.1至少与m,n中的一条相交 5.已知复数1-2i是关于x的方程x2+ax十b=0(a,b∈R)的一个根，则a一b= A.7 B.-7 C.-3 D.3 6.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,6c,且A-子omsC-平=4，则a= A华 B12,2 C242 7 D.42 【高一年级第二次月考卷·数学第1页（共4页）】 25-T-725A 7.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则 A.AF⊥CH B.CH∥BD CEI与BG共面 D.AF与BG异面 8.中国冶炼俦铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的 发展现将一个体积为华。m的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损 耗)，若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2c,则该圆台的表面积为 A(3+3√5)πcm B.(5+5√10)πcm C.(5+3√10)πcm D.(5+3√5)πcm2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列关于空间几何体的叙述错误的是 A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C,有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.一个棱柱至少有5个面 10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 A.a≥bsin A B,若如A=2,则sinB+sinC=2 b+c C.若a2+b>c2,则△ABC为锐角三角形 D.若a=√2，b=√5，A=45°，则△ABC的形状能唯一确定 11.已知名，z2均为复数，且2≠0，则下列结论正确的是 A.若2=0，则名=0 B.若名=互，则名十2是实数 C,若好<0，则是纯虚数 D.若=境，则名=2 【高一年级第二次月考卷·数学第2页（共4页）】 25-T-725A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在复平面内，复数2-3i,-1+2i对应的向量分别是0A,可克，其中0是坐标原点，则向量A店 对应的复数为 13.已知向量a在向量b上的投影向量=（一3,4），b川=2，则a·b= 14.如图，正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为2，N为B1C1的中点，若过BD的平面a∥平面 CND,则α截该正方体所得靛面图形的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数1=1十mi,22=(m2一6m十7)一2i(m∈R,i为虚数单位). (1)若z=十2为纯虚数，求实数n的值； (2)若如=在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围。 16.(本小题满分15分) 如图所示，OA'B'C为四边形OABC的直观图，其中OA'∥CB,OA'=3,OC=1,BC=1. (1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC y 的面积； (2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何 体的体积及表面积 17.(本小题满分15分) 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,E为AB的中点，点F在BC上，且 B京=2F花，记AB=a,AD=b. (1)用向量a,b表示向量E京； (2)求A市.E的值. 【高一年级第二次月考卷·数学第3页（共4页）】 25-T-725A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,且号=acs C-b, (1)求角A的大小； (2)若点D是线段BC上的一点，且BD=3AD=3DC,求tanC的值. 19.(本小题满分17分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G,E,F,P分别为棱AB,D1C,B1C,AA1的中 点，点M是棱A1D1上的一点，且DM=3A1M (1)求证：D,B,F,E四点共面； D E (2)求证：DG∥平面DBFE; (3)已知点N是棱AB上的一点，且平面PMN∥平面DBFE,求 会公的值， G 【高一年级第二次月考卷·数学第4页（共4页）】 25-T-725A楚雄州春季学期高一年级第二次月考卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确.故选C 2.Cx的虚部为1，|z|=√5，=一2-i,虚部不为0的复数不能比较大小.故选C. 3.B因为a1b,所以a·b=3X1-2(A+1)=0,解得X=.故选B 4.D由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线1与m,n不能同时平行，若直线l与m,n同时平 行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，所以l与m,n中的一条相交或与m,n都相交.故选D 5.B因为1-2i是关于x的方程x2+a.x+b=0的一个根，所以(1一2i)2+a(1-2i)+b=0,即a+b-3-(2a +4)i=0,所以a+b-3=0且2a+4=0,解得a=一2，b=5,所以a一b=-7.故选B. 6A因为casC=平Ce0,d,所以s血C=V一osC=号，由正孩定理得品=C所以a=编光 sin C 在-4×冯×号=2散选人 sin C 7.C根据题意，画出该正方体的直观图，易得AF与CH所成的角为子，A错误；CH与BD异面，B错误；直线 EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确：AF∥BG,直线AF与BG共面，D错误.故选C H(F) G(0 &D由题易知圆台体积V-1华m,如图所示，设圆台较大的底面半径为O,A=2,较小 B 的底面半径为0，B=r,则V=子(2+4mr2+22)X2=1g,解得r=1cm过点B作 -0 B BB1⊥OA,垂足为B,母线l=√AB+BB=√+2=5，S台=x(2+4十rl+ 2rl)=(12+4×12+1×√5+2×1×√5)π=(5+3√5)πcm2.故选D. 9.ABC底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥才是正四棱锥，A错误；球没有 顶点和棱，B错误；将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 【高一年级第二次月考卷·数学参考答案第1页（共4页）】 25-T-725A 但是这样的多面体不是棱台，C错误；棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确.故 选ABC. 10.AB因为血B∈(0，山，所以a=细合>sA,放A正确：因为A--血C=2则也8汁C b 6+c -24=2,故B正确；由余弦定理c0sC=十一C>0,可知C为锐角，但是无法判断角A和角B是否 6+c 2ab 为锐角，所以无法判断△A8C是香为锐角三角形，故C能误：由正弦定理可得品。-品。即血B=号 2 又因为b>a,所以B>A,所以B=哥或，故D错误故选AB 11.ABC因为2=0，又≠0，所以刘=0，A正确；设刘=a十bi(a,b∈R),则2=a一bi,所以1十2=2a 为实数，B正确；设名1=a十bi(a,b∈R),则=(a+bi)2=a2一b+2abi,又好<0，所以a=0,b≠0，所以 是纯虚数，C正确：若=1，a=一子+号，则满足对=好，而≠，D错误故选ABC 12.-3+5i因为复数2-3i,-1+2i对应的向量分别是OA,可，则OA=(2,-3),O=(-1,2),AB=O成- OA=(-3,5),则向量AB对应的复数为一3+5i. 13.10 14.2√6如图，取BC的中点E,A1D的中点F,连接DE,BE,BF,FD,因为E,F D 分别为BC,AD,的中点，所以FD∥BN,FD,=B,N,所以四边形FD,NB,是A 平行四边形，所以FB∥DN,又因为DNC平面CND1,FB￠平面CND,所 以FB∥平面CND1,同理BE∥平面CND1,又BE门FB1=B1,B1E,FB1C平 B 面FDEB,所以平面FDEB∥平面CND,即四边形FDEB,为a截正方体所得截面图形.由正方体的棱 长为2，易得四边形FDEB,是边长为5的菱形，对角线BD=25,EF=2厄，面积S=号×23X2厄= 2w6. 15.解：(1)z=1+22=1+mi+(m2-6m+7)-2i=(m2-6m+8)+(m-2)i, …2分 (m2-6m+8=0, 因为复数x为纯虚数，所以 m-2≠0， 解得=4.…6分 2w并-帮-二骨-十m去m--安+字.…9分 2 2 【高一年级第二次月考卷·数学参考答案第2页（共4页）】 25-T-725A 10, 2 由w在复平面内所对应的点位于第四象限，得 解得一1<m<1, 2<0, 2 所以m的取值范围为（一1,1）. 13分 16.解：(1)在直观图中OA'=3,OC'=1,B'C'=1,dA'∥CB', 则在平面图形中OA=3,BC=BC'=1,OC=2OC'=2,CO⊥OA,CB∥OA, 于是AB=√22+22=2√2，… 3分 所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示： 1 B 2 5分 0 3 由上图可知，平面四边形04BC为直角梯形，所以面积为1+3)X2=4.…7分 (2)直角梯形OABC以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，…9分 由(1)可知几何体底面圆半径为r=2,圆柱母线长和高都为1，即h,=41=1; 圆锥的高为h2=2,母线长为l2=2√2， 所以体积V=Va+W,=h+号h=x+号=婴： 12分 所以表面积S=π2+2πrl1十πrl2=4π十4r十42π=(8+4V2)元. 4440444404404444004 15分 17.解：(1)如图所示，连接DE,则四边形EBCD为平行四边形，所以B心=办=Ad-A花=b-a, 因为点F在BC上，且球-2成所以亦=号成-号， D …3分 所以成=成+B成=a+号6-子a=名 6a十2b.… 6分 2)油1可知，A亦-A+萨=a+号b寸a=号a+号b, 3 …8分 由在等腰梯形ABCD中，过C,D分别作AB的垂线，垂是分别为M,N,则AN=BM=合， 所以∠DAB=60°，…10分 由题意知a=2,b=1,且a…b=a·cos60°=2X1X号=1， 12分 【高一年级第二次月考卷·数学参考答案第3页（共4页）】 25-T-725A 本.成=（号a+号b)(信a+号b)=日c+号ab叶号=日×4+号×1+合×1=9…15分 18.解：(1)因为号=sC-b,由正弦定理得nC=sin Acos C--sinB=-sin Acos C--sin(A+C)=-sin Acos C 2 -(sin Acos C++cos Asin C)=-cos Asin C, 4分 又C∈(0，π)，所以cosA=一 6分 又A∈(0，x),所以A== 7分 31 (2)设∠C=0,又AD=DC,所以∠DAC=0,∠BAD=ξ-0，∠B=号-， 在△ABD中，由正弦定理得AD BD sin(子-9)sn(5- 、,又BD=3AD, 3 所 12分 sin(等-0）sin(g-)' 。,即sin(g-0)=3sin(号-0)， 所以气cos叶7sin0=3(停cos0-之s如），整理得2sin0=5cos0, 所以am=号，即tanC= 17分 19.(1)证明：连接DB,如图所示，因为点E,F分别为棱D1C,BC的中点，所以EF∥DB,EF=是DB, 又在正方体ABCD-A1BCD1中，DB∥DB1,DB=DB, D 所以EF∥DB,所以D,B,F,E四点共面.…5分 (2)证明：连接DC,GC分别交DE,DB于点H,O,连接HO,如图所示. 在正方体ABCD-A1BCD,中，DE∥DC,DE=DC, 所以△HED,△HDC,所以2H=畏=合，… 分 同理可得品瓷=合， 8分 在△cD,G中，2器-器，所以H0/D,G, …9分 又HOC平面DBFE,DG丈平面DBFE,所以DG∥平面DBFE.…11分 (3)解：因为平面PMN∥平面DBFE,平面PMNn平面ABCD1=MN,平面DBFE∩平面A1BCD= EF,所以EF∥MN,… …14分 又EF/DB,所以DBN,又DM=3AM所以-会8-子 17分 【高一年级第二次月考卷·数学参考答案第4页（共4页）】 25-T-725A