主题四第九章第3节成对数据的统计分析-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-09-10

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主题四概率与统计（必修第一册+选择性必修第一册）第九章统计与成对数据的统计分析第3节成对数据的统计分析下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题四第九章统计与成对数据的统计分析　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 4．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用．一、相关关系 1．两个变量有关系，但又没有确切到由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为　相关关系　. 2．散点图将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 3．直线拟合从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用　一条光滑的曲线　来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在　一条直线附近　波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合．二、一元线性回归方程 1．最小二乘法对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1,2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能　小　.为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到　最小　.换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到　最小　.这个方法称为最小二乘法． 2．用向量的方法可得使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up16(^))＝\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)，,a＝\o(y,\s\up16(－))－b\o(x,\s\up16(－))，)) 其中，eq \o(x,\s\up16(－))＝　eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)　， eq \o(y,\s\up16(－))＝　eq \f(1,n )(y1＋y2＋…＋yn)　. 这时直线方程Y＝eq \o(a,\s\up16(^))＋eq \o(b,\s\up16(^))X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图)，eq \o(a,\s\up16(^))，eq \o(b,\s\up16(^))是这个线性回归方程的系数．三、相关系数及其范围 1．相关系数一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数．为了计算的方便，我们再给出如下式子： r＝eq \f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\o(x,\s\up16(－))2)\r(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2)＋…＋y\o\al(2,n)－n\o(y,\s\up16(－))2)) 样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1,1]． 2．相关系数的应用 |r|值越接近　1　，随机变量之间的线性相关程度越强； |r|值越接近　0　，随机变量之间的线性相关程度越弱．当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量　正　相关；当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量　负　相关；当r＝0时，此时称两个随机变量线性　不　相关．四、独立性检验 1．分类变量 ①分类变量：用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． ②取值：分类变量的取值可以用实数表示． 2．2×2列联表设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A∶A1，A2＝eq \o(A,\s\up16(－))1；变量B∶B1，B2＝eq \o(B,\s\up16(－))1. 通过观察得到如下表所示的数据：　　　B　 A　　 B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．设n＝a＋b＋c＋d，用eq \f(a,n)估计P(A1B1)，eq \f(a＋b,n)估计P(A1)，eq \f(a＋c,n) 估计P(B1)．若有式子eq \f(a,n)＝eq \f(a＋b,n)·eq \f(a＋c,n)，则可以认为A1与B1独立．根据2×2列联表中的数据来判断两个分类变量是否有关系，即它们是否独立，这一问题称为2×2列联表的独立性检验． 3．独立性检验的基本思想计算随机变量χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d). 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1)．当χ2较大时，说明变量之间不独立．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是　没有　关联的； (2)当χ2＞2.706时，有　90%　的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2＞3.841时，有　95%　的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2＞6.635时，有　99%　的把握判断变量A，B有关联． 1．求解回归方程的关键是确定回归系数eq \o(a,\s\up16(^))，eq \o(b,\s\up16(^))，应充分利用回归直线过样本中心点(eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－)))． 2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 3．根据回归方程计算的eq \o(y,\s\up16(^))值，仅是一个预报值，不是真实发生的值． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系去表示．(　　) (2)线性回归方程Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))恒过样本中心点(eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－)))，且至少过一个样本点．(　　) (3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　　) (4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．(　　) (5)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(2024·上海卷)已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(　　 ) A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势解析：C　[对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误；对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误．] 2．(多选)在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，利用最小二乘法得到两个变量的线性回归方程为Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))，那么下列说法正确的是(　　) A．相关系数r不可能等于1 B．直线Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))必经过点(eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－))) C．直线Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))表示最接近y与x之间真实关系的一条直线 D．相关系数为r，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小解析：BCD　[相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错；直线Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))必过样本点中心即点(eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－)))，故B正确；直线Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越大，越接近于0，相关程度越小，故D正确．] 3．(BSD选择性必修第一册P250习题7－3T3改编)随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表：　　城市级别生育意愿　　　非一线一线总计愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 n＝100 计算得χ2＝eq \f(100×45×22－20×132,65×35×58×42)≈9.616. 则有　　________　　的把握认为生育意愿与城市级别有关．答案：99% 4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程Y＝0.67X＋54.9. 零件数X(个) 10 20 30 40 50 加工时间Y(min) 62 75 81 89 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为　________　. 解析：由eq \o(x,\s\up16(－))＝30，得eq \o(y,\s\up16(－))＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. 答案：68 5．(忘记回归直线过样本中心致错)某单位为了了解用电量(度)与当天平均气温(℃)之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量(如表)．由数据运用最小二乘法得线性回归方程Y＝－2X＋a，则a　________　. 平均气温X(℃) 18 13 10 －1 用电量Y(度) 25 35 37 63 解析：eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(18＋13＋10－1,4)＝10， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(25＋35＋37＋63,4)＝40，样本中心为(10,40)，回归直线经过样本中心，所以40＝－2×10＋a⇒a＝60. 答案：60 相关关系的判断 1．(2025·广西贵港模拟预测)某校学生科研兴趣小组为了解1～12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是(　　 ) A．肺活量　　　 B．视力 C．肢体柔韧度 D．BMI指数解析：A　[对于A，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A正确；对于B，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B错误；对于C，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C错误；对于D，BMI指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D错误．] 2．(2025·陕西宝鸡市陈仓高级中学模拟)对两个变量X，Y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.899 5，对两个变量U，V进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量X与Y的线性相关性较强 B．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量X与Y的线性相关性较强 C．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量U与V的线性相关性较强 D．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量U与V的线性相关性较强解析：C　[依题意：r1＝0.899 5，r2＝－0.956 8，所以X，Y正相关，U，V负相关，|r1|＜|r2|＜1，所以U，V的线性相关性较强．] 3．(多选)(2025·广东潮州模拟)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有(　　) A．r1＜r4　　　　　 B．r2＜r3 C．r3＞0 D．r4＞0 解析：AC　[由图形特征可知r1，r4都是负相关，都是负数，r1比r4的相关系数更强，所以r1＜r4＜0，r2，r3都是正相关，r2比r3的相关系数更强，所以0＜r3＜r2.] (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关． (3)线性回归方程中：eq \o(b,\s\up16(^))>0时，正相关；eq \o(b,\s\up16(^))<0时，负相关．回归分析 ►[命题点1]　线性回归分析　 [典例1]　(2025·全国模拟)随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用愈来愈多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数Y(单位：个)与温度X(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据，如表所示．日期 2日 7日 15日 22日 30日温度X/℃ 10 11 13 12 6 产卵数Y/个 21 25 30 26 13 科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立Y关于X的线性回归方程，再用选取的2组数据进行检验． (1)若选取的是2日与30日这2组数据，请根据7日、15日和22日这3组数据，求出Y关于X的线性回归方程． (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)，eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－)). [解]　(1)根据表格中7日、15日和22日的数据，可得eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,3)(11＋13＋12)＝12，eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(1,3)(25＋30＋26)＝27，eq \o(∑,\s\up16(3),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))(yi－eq \o(y,\s\up16(－)))＝5，eq \o(∑,\s\up16(3),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2＝2，所以eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(3),\s\do18(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(3),\s\do18(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(5,2)，所以eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))＝27－eq \f(5,2)×12＝－3，所以Y关于X的线性回归方程为Y＝eq \f(5,2)X－3； (2)当x＝10时，y＝eq \f(5,2)×10－3＝22，|22－21|＜2；当x＝6时，y＝eq \f(5,2)×6－3＝12，|12－13|＜2，所以(1)中所得的线性回归方程是可靠的． (1)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． (2)正确运用计算eq \o(b,\s\up16(^))，eq \o(a,\s\up16(^))的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))必过样本点的中心(eq \x\to(x)，eq \x\to(y))进行求值． 1．(2025·全国模拟)小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积X(单位：m2)和日均客流量Y(单位：百人)的数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，并计算得eq \o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1))xi＝2 400，eq \o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1))yi＝210，eq \o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2＝42 000，eq \o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))(yi－eq \o(y,\s\up16(－)))＝6 300. (1)求Y关于X的回归直线方程； (2)已知服装店每天的经济效益W＝keq \r(y)＋mk(k＞0，m＞0)，该商场现有60～150 m2的商铺出租，根据(1)的结果进行预测，要使单位面积　的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？附：回归直线Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为：eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)，eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－)). 解：(1)由已知可得eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,20) eq \o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1))xi＝120， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(1,20) eq \o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1))yi＝10.5， eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(20),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(6 300,42 000)＝0.15， eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))＝10.5－0.15×120＝－7.5，所以回归直线方程为Y＝0.15X－7.5. (2)根据题意得Z＝eq \f(W,x)＝eq \f(k\r(0.15x－7.5),x)＋m,60≤x≤150. 设f(x)＝eq \f(0.15x－7.5,x2)＝eq \f(0.15,x)－eq \f(7.5,x2)，令t＝eq \f(1,x)，eq \f(1,150)≤t≤eq \f(1,60)，则f(x)＝g(t)＝0.15t－7.5t2＝－7.5×(t－0.01)2＋0.000 75，当t＝0.01，即x＝100时，f(x)取最大值，又因为k，m＞0，所以此时Z也取最大值，因此，小李应该租100 m2的商铺． ►[命题点2]　非线性回归分析　 [典例2]　(2025·河南商丘模拟)5G网络是指第五代移动网络通讯技术，它的主要特点是传输速度快，峰值传输速度可达每秒钟数十GB.作为新一代移动通讯技术，它将要支持的设备远不止智能手机，而是会扩展到未来的智能家居，智能穿戴等设备．某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在短期内逐月攀升，该公司1月份至6月份的经济收入Y(单位：万元)关于月份X的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．月份X 1 2 3 4 5 6 收入Y 6 11 23 37 72 124 (1)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝cedx(a，b，c，d均为常数)哪一个更适合作为经济收入Y关于月份X的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的结果及表中数据，求Y关于X的回归方程(结果保留两位小数)； (3)根据(2)所求得的回归方程，预测该公司7月份的经济收入(结果保留两位小数). 参考公式及参考数据：回归方程Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式为：eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up16(－))2)，eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))； eq \o(x,\s\up16(－)) eq \o(y,\s\up16(－)) eq \o(u,\s\up16(－)) eq \o(∑,\s\up16(6),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2 eq \o(∑,\s\up16(6),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－))) (yi－eq \o(y,\s\up16(－))) eq \o(∑,\s\up16(6),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－))) (ui－eq \o(u,\s\up16(－))) e5.48 3.5 45.5 3.34 17.5 393.5 10.63 239.85 其中u＝ln y，ui＝ln yi(i＝1,2,3,4,5,6)． [解]　(1)由散点图可知，y＝cedc更适合作为经济收入y关于月份x的回归方程类型． (2)y＝cedx的两边取自然对数，得ln y＝ln c＋dx.因为eq \o(x,\s\up16(－))＝3.5，eq \o(u,\s\up16(－))＝3.34，eq \o(∑,\s\up16(6),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2＝17.5，eq \o(∑,\s\up16(6),\s\do18(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))(ui－eq \o(u,\s\up16(－)))＝10.63，所以eq \o(d,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(6),\s\do18(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))ui－\o(u,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(6),\s\do18(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(10.63,17.5)≈0.61， ln c＝eq \o(u,\s\up16(－))－eq \o(d,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))≈3.34－0.61×3.5＝1.205≈1.21，所以c≈e1.21，所以经济收入Y关于月份X的回归方程为Y＝e1.21＋0.61X. (3)当X＝7时，y＝e1.21＋0.61×7＝e5.48≈239.85.预测该公司7月份的经济收入约为239.85万元．非线性回归分析问题的处理方法 (1)描点，选模．画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合最好的函数． (2)解模．先对变量进行适当地变换，再利用线性回归模型来解模． (3)比较检验．通过回归分析比较所建模型的优劣． 2．(2025·山东济南三模)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1,2,3,4,5. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润Y(单位：亿元)关于年份代码X的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； (3)根据(2)的结果，估计2025年的企业利润．参考公式及数据；eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up16(－))2)，eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))， eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(2,i)＝55，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(4,i)＝979，eq \i\su(i＝1,5,y)i＝390，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1 221，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(2,i)yi＝4 607.9. 解：(1)由散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适宜作为企业利润Y(单位：亿元)关于年份代码X的回归方程类型． (2)由题意得：eq \o(x,\s\up16(－))2＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(xi)2＝11，eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5,y)i＝78， eq \o(d,\s\up16(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)yi－5×\o(x,\s\up16(－))2\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,5, )x\o\al(2,i)2－5×\o(x,\s\up16(－))22)＝eq \f(4 607.9－5×\f(55,5)×\f(390,5),979－5×\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(55,5)))2) ＝eq \f(317.9,374)＝0.85， eq \o(c,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(d,\s\up16(^))×(eq \o(x,\s\up16(－)) 2)＝eq \f(390,5)－0.85×eq \f(55,5)＝68.65，所以Y＝68.65＋0.85X2. (3)令x＝6，y＝8.65＋0.85×62＝99.25，估计2025年的企业利润为99.25亿元． ►[命题点3]　相关系数的计算　 [典例3]　(2025·四川绵阳三模)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 Y(百千克)与某种液体肥料每亩的使用量X(千克)之间的对应数据的散点图如图所示． (1)从散点图可以看出，可用线性回归方程拟合 Y与X的关系，请计算样本相关系数r并判断它们的相关程度； (2)求Y关于X的线性回归方程Y＝eq \o(b,\s\up16(^))X＋eq \o(a,\s\up16(^))，并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\o(y,\s\up16(－))2))， eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2)，eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－)). [解]　(1)由题知，eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，所以eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \o(x,\s\up16(－)))(yi－eq \o(y,\s\up16(－)))＝14，eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2＝20， eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \o(y,\s\up16(－)))2＝10，所以r＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2)\r(\i\su(i＝1,5, )yi－\o(y,\s\up16(－))2))＝eq \f(14,\r(20)×\r(10)) ＝eq \f(7\r(2),10)＞0.75，所以y与x成正线性相关，且相关程度很强． (2)因为eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,5, )xi－\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(14,20)＝0.7， eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))＝5－0.7×5＝1.5，所以Y关于X的线性回归方程为eq \o(y,\s\up16(^))＝1.5＋0.7x，当x＝12时，eq \o(y,\s\up16(^))＝1.5＋0.7×12＝9.9，所以预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量为9.9百千克．利用相关系数公式r＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do18(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do18(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do18(i＝1)) yi－\o(y,\s\up16(－))2)).可计算两个变量的相关系数，并利用其大小判断两个变量的相关性，进行回归分析． 3．(2025·陕西渭南模拟)近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解网约车在某省的发展情况，调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi(i＝1,2,3,4,5)，数据如下表所示：城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A指标数x 3 5 6 7 9 B指标数y 5 6 7 8 9 (1)由表中数据可知，y与x具有较强的线性相关关系，请利用相关系数r加以说明(精确到0.01)； (2)建立y关于x的线性回归方程，并预测当A指标数为8时，B指标数的估计值．相关系数r参考值：当0.3＜|r|＜0.75时，线性相关程度一般；当|r|＞0.75时，线性相关程度较高．参考公式：r＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2\i\su(i＝1,n, )yi－\o(y,\s\up16(－))2))，线性回归方程eq \o(y,\s\up16(^))＝eq \o(b,\s\up16(^))x＋eq \o(a,\s\up16(^))的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(n),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)，eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－)). 参考数据：eq \o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))(yi－eq \o(y,\s\up16(－)))＝14，eq \r(2)≈1.414. 解：(1)由表得eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(3＋5＋6＋7＋9,5)＝6，eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(5＋6＋7＋8＋9,5)＝7，∴eq \o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up16(－)))2＝20，eq \o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up16(－)))2＝10，r＝eq \f(\o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2\o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) yi－\o(y,\s\up16(－))2))＝eq \f(14,\r(10×20))≈0.99＞0.75，∴该A指标x与B指标y具有较高的线性相关程度． (2)eq \o(b,\s\up16(^))＝eq \f(\o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\o(∑,\s\up16(5),\s\do10(i＝1)) xi－\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(14,20)＝0.7，则eq \o(a,\s\up16(^))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up16(^)) eq \o(x,\s\up16(－))＝7－6×0.7＝2.8，∴y关于x的线性回归方程为eq \o(y,\s\up16(^))＝0.7x＋2.8，将x＝8代入，得eq \o(y,\s\up16(^))＝0.7×8＋2.8＝8.4，故预测当A指标数为8时，B指标数的估计值为8.4. 独立性检验 [典例]　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设eq \o(p,\s\up16(－))为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果eq \o(p,\s\up16(－))＞p＋1.65eq \r(\f(p1－p,n))，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(eq \r(150)≈12.247) eq \a\vs4\al(附：χ2＝\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，) P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)列联表如下：优级品非优级品甲车间 26 24 乙车间 70 30 χ2＝eq \f(15026×30－24×702,96×54×100×50)＝4.687 5， ∵3.841＜4.687 5＜6.635 ∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品率的优级品存在差异． (2)由(1)知，eq \o(p,\s\up16(－))＝eq \f(96,150)＝0.64，∵p＝0.5， ∴p＋1.65eq \r(\f(p1－p,n))＝0.5＋1.65eq \r(\f(0.5×0.5,150)) ＝0.5＋1.65×eq \f(0.5,12.247)≈0.568. ∵eq \o(p,\s\up16(－))＞p＋1.65eq \r(\f(p1－p,n))， ∴能认为生产智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． (1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强． (2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤： ①根据样本数据制成2×2列联表； ②根据公式χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)计算χ2的观测值k0； ③比较k与临界值的大小关系，作统计推断．　提醒：准确计算χ2的值是正确判断的前提． (2025·上海秋季高考卷)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29 000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1) (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ (附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝ a＋b＋c＋d，P(χ2≥3.841)≈0.05.) 解：(1)由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比eq \f(179＋43＋28,580)＝eq \f(25,58)，则估计该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29 000×eq \f(25,58)＝12 500. (2)估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为eq \f(1,580) eq \b\lc$\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(0.5,2)×139＋\f(0.5＋1,2)×191＋\f(1＋1.5,2)×179＋)) eq \b\lc\ \rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1.5＋2,2)×43＋\f(2＋2.5,2)×28))≈0.9. 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时． (3)由题列联表如下：学业成绩锻炼时长合计 [1,2) 其他优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设H0：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． χ2＝eq \f(580×45×308－177×502,95×485×222×358)≈3.976＞3.841. 则零假设不成立，即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． $$

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