主题三 第六章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（必修第二册） 第六章 平面向量、复数 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角及范围 已知两个非零向量a和b，在平面内任选一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直．规定零向量可与任一向量垂直，即对任意向量a，都有0⊥a. 2．平面向量的数量积及几何意义 (1)平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)．|a||b|cos θ称作a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 (2)当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. (3)投影向量 投影向量：已知两个非零向量a，b，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影 γ＝eq \o(OA′,\s\up16(→))，γ称为投影向量．设向量a与b的夹角为θ，则|a|cos θ称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·eq \f(b,|b|).所以投影数量是数量积的特殊情况． (4)投影向量的表示 向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ·eq \f(b,|b|) 或eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|). 3．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝　x1x2＋y1y2　 模 |a|＝　eq \r(a·a)　 |a|＝　eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))　 夹角 cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|) cos θ＝　eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))　 a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)) 4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘结合律：(λa)·b＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(BSD必修第二册P107练习T1改编)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝eq \r(7)，则a与b的夹角为(　　) A.eq \f(π,3)　　 B.eq \f(π,6)　　　 C.eq \f(π,4)　　　 D.eq \f(2π,3) 解析：A　[设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7.又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝eq \f(1,2)，所以|a||b|cos θ＝eq \f(1,2)，即cos θ＝eq \f(1,2). 又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为eq \f(π,3).] 2．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，向量b的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量等于(　　) A．2e B．e C．－e D．－2e 解析：C　[|a|cos 120°e＝2cos 120°e＝－e.] 3．(向量夹角与平面角混淆致误)设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) 解析：A　[由a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－eq \f(1,2)， 又当a与b共线且反向时，2－λ＝0，得λ＝2. 所以λ的取值范围是λ＞－eq \f(1,2)且λ≠2.] 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．2 解析：D　[因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，则4＋x2－4x＝0，解得x＝2.] 5．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝　________　. 解析：c＝a＋kb＝(3,1)＋k(1,0)＝(k＋3,1)，由a⊥c得a·c＝0，所以3(k＋3)＋1＝0，解得k＝－eq \f(10,3). 答案：－eq \f(10,3) 平面向量的数量积运算 1．(2025·四川绵阳模拟预测)如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记Mi＝eq \o(AB2,\s\up16(→))·eq \o(APi,\s\up16(→))(i＝1,2，…，10)，则M1＋M2＋…＋M10＝(　　 ) A．18　 B．180　　 C．－18　 D．－180 解析：B　[以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建系，如图所示： 则B1(1，eq \r(3))，B2(3，eq \r(3))，B3(5，eq \r(3))，C3(6,0)， 直线B3C3的方程为y＝－eq \r(3)(x－6)， 设Pi(xi，yi)，(i＝1,2，…，10)，则有eq \r(3)xi＋yi＝ 6eq \r(3)，eq \o(AB2,\s\up16(→))＝(3，eq \r(3))，eq \o(APi,\s\up16(→))＝(xi，yi)， 则Mi＝eq \o(AB2,\s\up16(→))·eq \o(APi,\s\up16(→))＝3xi＋eq \r(3)yi＝eq \r(3)(eq \r(3)xi＋yi) ＝18，所以M1＋M2＋…＋M10＝10×18＝180.] 2．(2025·全国模拟预测)已知向量a与b不共线，且a·(a＋b)＝2，|a|＝1，若(2a－b)⊥(2a＋b)，则b·(a－b)＝　________　. 解析：由a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋a·b＝2， 得a·b＝1， 由(2a－b)⊥(2a＋b)，得(2a－b)·(2a＋b)＝4a2－b2＝0，所以|b|＝2， 则b·(a－b)＝b·a－b2＝1－4＝－3. 答案：－3 3．(2025·江苏南京模拟)在△ABC中，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝4，O为△ABC的重心，D在边BC上，且AD⊥BC，则eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AO,\s\up16(→))＝　________　. 解析：因为O为△ABC的重心， 所以eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))， 因为eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0，所以AB⊥AC， 则|BC|＝eq \r(|AB|2＋|AC|2)＝5， 因为AD⊥BC，所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·|AC| ＝eq \f(1,2)|AD|·|BC|， 即eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(1,2)|AD|×5，所以|AD|＝eq \f(12,5)， 在Rt△ADB中，|DB|＝eq \r(|AB|2＋|AD|2) ＝eq \r(9－\f(144,25))＝eq \f(9,5). 法一：因为eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(9,25) eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(9,25)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(9,25) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(16,25) eq \o(AB,\s\up16(→))， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)\o(AC,\s\up16(→))＋\f(16,25)\o(AB,\s\up16(→))))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)\o(AC,\s\up16(→))2＋\f(16,25)\o(AB,\s\up16(→))2))＝eq \f(96,25). 法二：以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴建立平面直角坐标系， 则eq \o(AC,\s\up16(→))＝(4,0)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(0,3)， 由法一可知eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(9,25) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(16,25) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,25)，\f(48,25)))，eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，1))， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)×eq \f(36,25)＋1×eq \f(48,25)＝eq \f(96,25). 答案：eq \f(96,25) 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c. (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)． 平面向量数量积的简单应用 ►[命题点1]　平面向量的模　 1．(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析：B　[将条件|a＋2b|＝2平方得1＋4a·b＋4b2＝4，由(b－2a)⊥b得b2－2a·b＝0，所以b2＝eq \f(1,2)，|b|＝eq \f(\r(2),2).] (2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为　________　. 解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a＝(1,0)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b＝(0,1)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c＝(x，y)， ∴c－a－b＝(x－1，y－1)． ∵|c－a－b|＝1， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c|＝eq \r(x2＋y2)，∴|c|的最大值为|OM|＋1， 即|c|max＝eq \r(2)＋1. 答案：eq \r(2)＋1 利用数量积求向量模 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． ►[命题点2]　平面向量的夹角　 2．(1)(2025·福建宁德模拟)已知e1，e2是两个单位向量，若e1在e2上的投影向量为eq \f(1,2)e2，则e1与e1－e2的夹角为　________　. 解析：由题意可得 即e1·e2＝eq \f(1,2)， |e1－e2|＝eq \r(e1－e22)＝eq \r(|e1|2－2e1·e2＋|e2|2) ＝eq \r(1－2×\f(1,2)＋1)＝1， ＝eq \f(|e1|2－e1·e2,1×1)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， 故e1与e1－e2的夹角为eq \f(π,3). 答案：eq \f(π,3) (2)(2023·全国甲卷)向量|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(4,5) 解析：D　[由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c， 所以(a＋b)2＝(－c)2， 即a2＋2a·b＋b2＝c2， 又|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)， 所以a·b＝0，所以a⊥b. 如图所示，a－c＝eq \o(CA,\s\up16(→))， b－c＝eq \o(CB,\s\up16(→))，由余弦定理得|CA|＝|CB|＝eq \r(5)，所以cos∠ACB＝eq \f(5＋5－2,2\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5)，即cos〈a－c，b－c〉＝eq \f(4,5).] (3)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是　________　. 解析：∵2a－3b与c的夹角为钝角， ∴(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2,1)<0，解得k＜3. 又若(2a－3b)∥c， 则2k－3＝－12，即k＝－eq \f(9,2). 当k＝－eq \f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 此时2a－3b与c反向，不合题意． 综上，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)) 根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度问题． 提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． ►[命题点3]　平面向量的垂直　 3．(1)(2025·辽宁模拟预测)若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa＋b与2a－b垂直，则λ＝(　　 ) A．0 B．2 C．－1 D．－2 解析：A　[a，b是夹角为60°的两个单位向量， 则|a|＝|b|＝1，a·b＝1×1×cos 60°＝eq \f(1,2)， 因为λa＋b与2a－b垂直， 则(λa＋b)·(2a－b)＝2λa2＋(2－λ)a·b－b2＝0， 即2λ－1＋(2－λ)×eq \f(1,2)＝0，解得λ＝0.] (2)(2025·海南海口模拟)已知向量a，b的夹角为45°，|a|＝eq \r(2)，且a·b＝2，若(λa＋b)⊥b，则λ＝　________　. 解析：因为a·b＝|a||b|cos 45°＝2，得|b|＝2， 又因为(λa＋b)⊥b， 所以(λa＋b)·b＝λa·b＋b2＝2λ＋4＝0，所以λ＝－2. 答案：－2 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 平面向量的综合问题 [典例]　(2025·河北唐山二模)已知|a|＝|b|＝2，|c|＝1，(a－c)·(b－c)＝0，则|a－b|的取值范围是(　　 ) A．[eq \r(6)－1，eq \r(6)＋1]　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(7)－1,2)，\f(\r(7)＋1,2))) C．[eq \r(7)－1，eq \r(7)＋1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－1,2)，\f(\r(6)＋1,2))) 解析：C　[如图，设a＝eq \o(OA,\s\up16(→))，b＝eq \o(OB,\s\up16(→))，c＝eq \o(OC,\s\up16(→))，点C在圆x2＋y2＝1上，点A，B在圆x2＋y2＝4上，则a－c＝eq \o(CA,\s\up16(→))，b－c＝eq \o(CB,\s\up16(→))，由(a－c)·(b－c)＝0，可得CA⊥CB， 作矩形ACBD，则|a－b|＝|eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|. 故|eq \o(OD,\s\up16(→))|＝eq \r(4＋4－1)＝eq \r(7). 又因为|eq \o(CD,\s\up16(→))|－|eq \o(OC,\s\up16(→))|≤|eq \o(OD,\s\up16(→))|≤|eq \o(OC,\s\up16(→))|＋|eq \o(CD,\s\up16(→))|， 因为|eq \o(CD,\s\up16(→))|＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝|a－b|，|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝1， 即|a－b|－1≤eq \r(7)≤1＋|a－b|， 故有|a－b|∈[eq \r(7)－1，eq \r(7)＋1]． 处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有： (1)坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得； (2)基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得； (3)构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直． (2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝eq \f(1,2)DE，eq \o(BE,\s\up16(→))＝λeq \o(BA,\s\up16(→))＋μeq \o(BC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝　　________　　；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))的最小值为　　________　　. 解析：因为CE＝eq \f(1,2)DE，即eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up16(→))， 则eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))， 可得λ＝eq \f(1,3)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq \f(4,3)； 由题意可知：|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BA,\s\up16(→))|＝1，eq \o(BA,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝0， 因为F为线段BE上的动点， 设eq \o(BF,\s\up16(→))＝keq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)keq \o(BA,\s\up16(→))＋keq \o(BC,\s\up16(→))，k∈[0,1]， 则eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋keq \o(BE,\s\up16(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1)) eq \o(BA,\s\up16(→))＋keq \o(BC,\s\up16(→))， 又因为G为AF中点， 则eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AG,\s\up16(→))＝－eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AF,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1)) eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k－1)) eq \o(BC,\s\up16(→))， 可得eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1))\o(BA,\s\up16(→))＋k\o(BC,\s\up16(→))))· eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1))\o(BA,\s\up16(→))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k－1))\o(BC,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k－1))2＋keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k－1))＝eq \f(5,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(6,5)))2－eq \f(3,10)， 又因为k∈[0,1]，可知：当k＝1时， eq \o(AF,\s\up16(→))·eq \o(DG,\s\up16(→))取到最小值－eq \f(5,18). 答案：eq \f(4,3)　－eq \f(5,18) 平面向量的实际应用 [典例]　(2025·眉山模拟)如图甲是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．图乙是根据图甲作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝0.根据物理学知识得eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→)))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))，则CD＝(　　) A．28 m　 B．20 m　 C．31 m　 D．22 m [解析]　因为eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝0，所以PB⊥PC， 因为PO⊥BC，所以△POC∽△BOP， 所以eq \f(PO,OB)＝eq \f(OC,PO)，所以PO2＝OB·OC， 因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m， 设M，N分别为AB，CD的中点， 因为eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(PD,\s\up16(→)))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))， 所以eq \o(PM,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))＝2eq \o(PO,\s\up16(→))，所以O为MN的中点， 因为AB＝8 m，BO＝16 m，所以OM＝20 m， 所以ON＝20 m， 所以CN＝ON－OC＝20－9＝11 m， 所以CD＝2CN＝22 m. [答案]　D 用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PN,\s\up16(→))的取值范围是(　　) 图一　　　　图二 A．[1,2] B．[2,3] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) 解析：B　[如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝eq \r(3)， 又eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PN,\s\up16(→))＝(eq \o(PO,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→)))·(eq \o(PO,\s\up16(→))＋eq \o(ON,\s\up16(→))) ＝|eq \o(PO,\s\up16(→))|2＋eq \o(PO,\s\up16(→))·eq \o(ON,\s\up16(→))＋eq \o(PO,\s\up16(→))·eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→))·eq \o(ON,\s\up16(→)) ＝|eq \o(PO,\s\up16(→))|2＋eq \o(PO,\s\up16(→))·(eq \o(ON,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→)))－1＝|eq \o(PO,\s\up16(→))|2－1， 根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时|PO|有最小值为eq \r(3)，此时|eq \o(PO,\s\up16(→))|2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时|PO|有最大值为2，此时|Peq \o(O,\s\up16(→))|2－1＝3，∴2≤eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PN,\s\up16(→))≤3.] $$