主题三 第八章 第7节 抛物线-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（选择性必修第一册） 第八章 平面解析几何 第7节 抛物线 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合的思想． 1．抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　相等　的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 　定点F　叫作抛物线的焦点 准线 　定直线l　叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M|　|MF|＝d　，d为点M到准线l的距离} 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的　距离　 图形 顶点 　O(0,0)　 对称轴 　y＝0　　 　x＝0 焦点 　Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))　 　Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))　 　Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))　 　Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))　 离心率 e＝　1　 准线方程 　x＝－eq \f(p,2)　 　x＝eq \f(p,2)　 　y＝－eq \f(p,2)　 　y＝eq \f(p,2)　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R　 y≥0，x∈R　 y≤0，x∈R 开口方向 向　右　 向　左　 向　上　 向　下　 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋eq \f(p,2)　 |PF|＝－x0＋eq \f(p,2) |PF|＝y0＋eq \f(p,2) |PF|＝－y0＋eq \f(p,2)　 1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4). 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).(　　) (5)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．设抛物线x2＝2py(p>0)上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为eq \r(3p)，则抛物线方程是(　　) A．x2＝5y　　　　　 B．x2＝10y C．x2＝15y D．x2＝20y 解析：B　[设M(x0，y0)，则x0＝eq \r(3p)，把点M(x0，y0)坐标代入x2＝2py得3p＝2py0，∴y0＝eq \f(3,2)， ∴y0＋eq \f(p,2)＝4，即eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)＝4，∴p＝5，∴抛物线方程是x2＝10y.] 2．已知A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为(　　) A．(0,0) B．(1，－2eq \r(2)) C．(2，－2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)) 解析：D　[如图所示，过M点作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义，知|MF|＝|ME|. 当M在抛物线上移动时，|ME|＋|MA|的值在变化，显然M移动到M′时，A，M，E三点共线，|ME|＋|MA|最小，此时AM′∥Ox，把y＝－2代入y2＝8x，得x＝eq \f(1,2)，所以当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).] 3．(BSD选择性必修第一册P88复习题二C组T1改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝　　________　　. 解析：设点A的横坐标是x1，则依题意，对点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1，因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 4．(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为　________　. 解析：由y2＝4x知抛物线的准线方程为x＝－1，设点P(x0，y0)，由题意得x0＋1＝9，解得x0＝8， 代入抛物线方程y2＝4x，得yeq \o\al(2,0)＝32，解得y0＝ ±4eq \r(2)，则点P到x轴的距离为4eq \r(2). 答案：4eq \r(2) 5．(实施非等价转化致误)在平面直角坐标系xOy中，动点N到定点M(1,0)的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为　________　. 解析：设N(x，y)为轨迹上任意点，则eq \r(x－12＋y2)＝|x|＋1两边平方，得y2＝2|x|＋2x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,0，x＜0，))所以动点N的轨迹方程为y2＝4x或y＝0(x＜0)． 答案：y2＝4x或y＝0(x＜0) 抛物线的标准方程与几何性质 1．在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨．孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过PB的中点M到H′，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，|PO|＝2，底面圆O的面积为16π，HH′为底面圆O的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A.eq \f(8\r(5),5)　 B.eq \f(4\r(5),5)　　 C.eq \f(8,5)　　 D.eq \f(4,5) 解析：A　[如图，建立以MO为y轴，过M作MN平行HH′以MN为x轴的直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，底面圆O的面积为16π，所以|OB|＝4，|OP|＝2， 在△POB中，|PB|＝eq \r(|OB|2＋|OP|2)＝2eq \r(5)，又因M为PB中点，故|OM|＝eq \r(5)，∴H(－4，eq \r(5))，则16＝2p×eq \r(5)，∴p＝eq \f(8\r(5),5).] 2．(2025·黑龙江佳木斯一中模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，若|MD|＝2eq \r(3)，则抛物线的方程是(　　) A．x2＝y B．x2＝2y C．x2＝4y D．x2＝8y 解析：C　[如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A. 由题得∠AFM＝30°，所以∠NMF＝60°. 因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形． 因为O是FB的中点，所以|DF|＝|DN|，所以MD⊥DF，所以|FM|＝eq \f(2\r(3),sin 60°)＝4. 所以|MN|＝4，|MF|＝|FN|，∴|AM|＝|AN|， ∴|AN|＝2. 所以|AE|＝|EN|＝1，∴|AE|＝|OF|＝1，∴eq \f(p,2)＝1，∴p＝2，所以抛物线的方程是x2＝4y.] 3．(2024·天津卷)(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为　　________　　. 解析：圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1,0)， 故eq \f(p,2)＝1即p＝2， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝25,y2＝4x))，可得x2＋2x－24＝0， 故x＝4或x＝－6(舍)， 故A(4，±4)，故直线方程为y＝±eq \f(4,3)(x－1)， 即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0， 故原点到直线AF的距离为d＝eq \f(|4|,5)＝eq \f(4,5). 答案：eq \f(4,5) 1．求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 抛物线的定义及其应用 ►[命题点1]　焦半径　 1．已知P(4,4)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为(　　 ) A．6　　 B．7　　　 C．8　　 D．9 解析：D　[因为P(4,4)是抛物线C上一点，所以42＝2p·4，得p＝2， 则抛物线C的方程为y2＝4x，F(1,0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0＞y2，设直线l的方程为my＝x－1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,my＝x－1，))得y2－4my－4＝0， Δ＝16m2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 故x1x2＝eq \f(y\o\al(2,1),4)·eq \f(y\o\al(2,2),4)＝eq \f(－42,16)＝1， 则|AF|＋4|BF|＝x1＋1＋4(x2＋1)＝x1＋4x2＋5≥2eq \r(4x1x2)＋5＝9， 当且仅当x1＝4x2且x1x2＝1，即x1＝2，x2＝eq \f(1,2)时，等号成立． 故|AF|＋4|BF|的最小值为9.] 利用抛物线的焦半径公式|PF|＝x0＋eq \f(p,2)及抛物线定义相结合是处理抛物线几何性质的关键． ►[命题点2]　到焦点与定点距离之和最小问题　 2．(2025·南昌市模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线l′：x－y＋2＝0，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1＋d2最小时，cos∠MFO＝(　　) A.eq \f(\r(2),2)　　　 B.eq \f(\r(2),3)　　　　 C.eq \f(\r(2),4)　　　　 D.eq \f(\r(2),6) 解析：A　[抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)， 过点M作准线l的垂线，交于点A，过点M作直线l′的垂线于点B，过点F作直线l′的垂线于点H，交抛物线于M′(图略)，则d1＝|MA|，d2＝|MB|，又根据抛物线的定义得d1＝|MA|＝|MF|，所以d1＋d2＝|MF|＋|MB|，当点M在点M′时，d1＋d2取得最小值，此时直线HF⊥l′，所以∠M′FO＝∠MFO＝eq \f(π,4)，所以cos∠MFO＝eq \f(\r(2),2).] 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． ►[命题点3]　到点与准线的距离之和最小问题　 3．(2025·深圳模拟)P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为　________　. 解析：圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2， 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)， 因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，连接FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即eq \r(－3－22＋3－02)－2－2＝eq \r(34)－4， 所以d1＋d2的最小值为eq \r(34)－4. 答案：eq \r(34)－4 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． ►[命题点4]　到定直线的距离最小问题　 4．(2025·河南周口期末)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，以AB为直径的圆的半径为eq \f(7,2)，点P在C上，且点P到C的准线的距离为d1，到直线l：2x＋2eq \r(3)y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为　_____________　. 解析：设线段AB的中点为M，过点A，B，M分别作抛物线准线l的垂线，垂足为A1，B1，N，则|MN|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)|AB|， 由于线段AB的中点到y轴的距离为2，以AB为直径的圆的半径为eq \f(7,2)，|AB|＝7，故|MN|＝2＋eq \f(p,2)＝eq \f(7,2)， 则p＝3，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，抛物线方程为y2＝6x， 结合抛物线定义可得d1＝|PF|， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,2x＋2\r(3)y＋9＝0，))整理得y2＋6eq \r(3)y＋27＝0， Δ＝(6eq \r(3))2－4×27＝0， 即直线2x＋2eq \r(3)y＋9＝0与抛物线y2＝6x相切， 故d1＋d2的最小值即为F点到直线2x＋2eq \r(3)y＋9＝0的距离，此时PF⊥l，最小值为eq \f(2×\f(3,2)＋9,\r(22＋2\r(3)2))＝3. 答案：3 到定直线的距离最小问题，实际是求已知直线的平行线与抛物线相切，再求两条平行直线之间的距离． ►[命题点5]　焦点弦的性质　 5．(多选)(2025·河北衡水模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，过拋物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，则(　　 ) A．|AB|的最小值为2 B．以线段AF为直径的圆与y轴相切 C.eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝1 D.eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝0 解析：BC　[由题意可知，抛物线 C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为 x＝－1，直线l的斜率不为零， 设直线l为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0， 因为Δ＝16m2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 所以x1＋x2＝(my1＋1)＋(my2＋1) ＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4(m2＋1)， 对于A，因为|AB|＝4(m2＋1)≥4，当且仅当m＝0时取等号， 所以|AB|的最小值为4，所以A错误； 对于B，因为线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋1,2)，\f(y1,2)))， |AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1，则M到y轴的距离为d＝eq \f(x1＋1,2)，而以线段AF为直径的圆的半径为eq \f(x1＋1,2)， 所以圆心到y轴的距离等于圆的半径，所以以线段AF为直径的圆与y轴相切，所以B正确； 对于C，因为eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(1,x1＋1)＋eq \f(1,x2＋1) ＝eq \f(1,my1＋2)＋eq \f(1,my2＋2)＝eq \f(my1＋y2＋4,m2y1y2＋2my1＋y2＋4) ＝eq \f(4m2＋4,－4m2＋8m2＋4)＝1，所以C正确； 对于D，因为eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2 ＝(my1＋1)(my2＋1)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－4(m2＋1)＋4m2＋1＝－3≠0，所以D错误．] 在圆锥曲线中，在过焦点的所有弦中，通径最短．这是一个定值问题，需牢记． 直线与抛物线的位置关系 ►[命题点1]　直线与抛物线的公共点(交点)问题　 1．(2025·日照市模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l被E截得的线段长为8. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－eq \f(1,2)相交于A，B两点. 求|FA|·|FB|的取值范围． 解：(1)由题意，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))消去y整理得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0. 设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x. (2)由(1)知，F(1,0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋yeq \o\al(2,0). 令x＝－eq \f(1,2)，得y2－2y0y＋3x0－eq \f(3,4)＝0. 又∵yeq \o\al(2,0)＝4x0，∴Δ＝4yeq \o\al(2,0)－12x0＋3＝yeq \o\al(2,0)＋3>0恒成立． 设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y4))，则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－eq \f(3,4). ∴|FA|·|FB|＝eq \r(y\o\al(2,3)＋\f(9,4))·eq \r(y\o\al(2,4)＋\f(9,4))＝eq \r(y3y42＋\f(9,4)y\o\al(2,3)＋y\o\al(2,4)＋\f(81,16)) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x0－\f(3,4)))2＋\f(9,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y\o\al(2,0)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x0－\f(3,4)))))＋\f(81,16)) ＝eq \r(9x\o\al(2,0)＋18x0＋9)＝3|x0＋1|. ∵x0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)． ∴|FA|·|FB|的取值范围是[3，＋∞)． ①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧． ►[命题点2]　与抛物线弦长(中点)有关的问题　 2．(2025·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点 P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(3,2))).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝eq \f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq \f(1,2)，因为－eq \f(1,2)＜x＜eq \f(3,2)， 所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP与BQ的方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得点Q的横坐标是xQ＝eq \f(－k2＋4k＋3,2k2＋1). 因为|PA|＝eq \r(1＋k2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq \r(1＋k2)(k＋1)， |PQ|＝eq \r(1＋k2)(xQ－x)＝－eq \f(k－1k＋12,\r(k2＋1))， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上单调递增，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减， 因此当k＝eq \f(1,2)时，|PA|·|PQ|取得最大值eq \f(27,16). (1)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． (2025·天津市模拟预测)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，|AB|＝4. (1)求抛物线C的方程； (2)若P，Q为抛物线C上两个动点，|PQ|＝m(m＞0)，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值． 解：(1)由题设，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))且yA＝yB＝eq \f(p,2)， 则|AB|＝2p＝4，所以抛物线C的方程x2＝4y. (2)设直线PQ为y＝kx＋b，联立抛物线可得x2－4kx－4b＝0，所以Δ＝16k2＋16b＞0，即k2＋b＞0， xP＋xQ＝4k，xPxQ＝－4b，则yP＋yQ＝k(xP＋xQ)＋2b＝4k2＋2b，故yE＝2k2＋b， 又|PQ|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xP＋xQ2－4xPxQ)＝ 4eq \r(1＋k2k2＋b)＝m，可得b＝eq \f(m2,161＋k2)－k2， 所以yE＝eq \f(m2,161＋k2)＋(1＋k2)－1且t＝1＋k2≥1，则yE＝eq \f(m2,16t)＋t－1， 由对勾函数的性质： 当eq \f(m,4)≤1,0＜m≤4时，yE在(1，＋∞)上递增，则最小yE＝eq \f(m2,16)； 当eq \f(m,4)＞1，m＞4时，yE在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(m,4)))上递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)，＋∞))上递增，则最小yE＝eq \f(m,2)－1；综上，0＜m≤4时最小yE＝eq \f(m2,16)；m＞4时最小yE＝eq \f(m,2)－1. $$