主题三第八章第5节椭　圆-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-09-10

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主题三几何与代数（选择性必修第一册）第八章平面解析几何第5节椭圆下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题三第八章平面解析几何　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 3．了解椭圆的简单应用． 4．理解数形结合思想． 1．椭圆的定义定义平面内到两个定点F1，F2的　距离之和等于常数　(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆焦点两个　定点　F1，F2叫作椭圆的焦点焦距两焦点间的　距离　|F1F2|叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距集合语言 P＝{M|　|MF1|＋|MF2|＝2a　，2a＞|F1F2|} 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质图形标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 性质范围　－a　≤x≤　a　　－b　≤y≤　b　　－b　≤x≤　b　　－a　≤y≤　a　对称性对称轴：　坐标轴　对称中心：　原点　顶点 A1　(－a,0)　， A2　(a,0)　 B1　(0，－b)　， B2　(0，b)　 A1　(0，－a)　， A2　(0，a)　 B1　(－b,0)　， B2　(b,0)　性质轴长轴A1A2的长为　2a　短轴B1B2的长为　2b　焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝eq \f(c,a)∈　(0,1)　 a，b，c的关系 a2＝　b2＋c2　 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a). 4．AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0). ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (5)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　) (6)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P51练习T4改编)如果椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是(　　) A．6　　 B．12　　　 C．14　　 D．26 解析：C　[∵eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1, ∴a＝10；∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，∴|PF2|＝20－|PF1|＝20－6＝14.] 2．(忽视焦点的位置致误)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m)＝1的焦距为2eq \r(7)，则m的值为(　　) A．9 B．23 C．9或23 D．16－eq \r(7)或16＋eq \r(7) 解析：C　[椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m)＝1的焦距为2eq \r(7)，可得2eq \r(16－m)＝2eq \r(7)，或2eq \r(m－16)＝2eq \r(7)，解得m＝9或23.] 3．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝λ(λ＞0)，则该椭圆的离心率e＝(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),2) 解析：C　[因为椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝λ(λ＞0)，即eq \f(x2,4λ)＋eq \f(y2,λ)＝1，故c2＝4λ－λ＝3λ，又e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(3λ,4λ)＝eq \f(3,4)，故e＝eq \f(\r(3),2).] 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1(y＞0)　 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1(y＞0) C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1(y＞0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,8)＝1(y＞0) 解析：A　[设P点坐标为(x′，y′)，中点M坐标为(x，y)，则x′＝x，y′＝2y，代入圆的方程为x2＋4y2＝16，化为标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1(y＞0)．] 5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为　________　. 解析：如图，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又△ABF2的周长为16，所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝16，即4a＝16，a＝4，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，则c＝2eq \r(2)，b＝eq \r(a2－c2)＝2eq \r(2)，故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1. 答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1 椭圆的定义及其应用 1．(2025·云南昆明市第三中学校考模拟预测)已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜3)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则△F1PF2的面积为(　　 ) A．6eq \r(3)　　 B．3eq \r(3)　　　 C．2eq \r(3)　　　 D.eq \r(3) 解析：C　[设椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜3)的长半轴为a，则a＝3，设F1关于∠F1PF2平分线的对称点为Q，由椭圆对称性及角平分线性质可知P，F2，Q三点共线且|PQ|＝|PF1|，又因为∠F1PF2＝eq \f(π,3)，所以△PQF1是正三角形，设|PF1|＝|QF1|＝|PQ|＝m，由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|QF1|＋|QF2|＝6，又|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|PQ|＝12－|PF1|－|QF1|＝12－2m，所以m＝4，即|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).] 2．(2025·深圳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F.P为椭圆C上一动点，定点A(2,4)，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A．1　 B．－1　　 C.eq \r(17)　 D．－eq \r(17) 解析：A　[设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，可得|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4，如图所示，当且仅当P，A，F′三点共线(点P在线段AF′上)时，此时|PA|＋|PF′|取得最小值，又由椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可得F′(－1,0)且A(2,4)，所以|AF′|＝eq \r(2＋12＋16)＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1.] 3．(2025·河北深州长江中学模拟)已知A(－1,0)，B是圆C：(x－1)2＋y2＝8上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为　________　. 解析：如图所示，圆C：(x－1)2＋y2＝8的圆心坐标为C(1,0)，半径r＝|CB|＝2eq \r(2)，因为P是线段AB的垂直平分线上的点，所以|PA|＝|PB|，则|AP|＋|PC|＝|CB|＝2eq \r(2)，根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，C为焦点的椭圆，其中a＝eq \r(2)，c＝1，则有b＝eq \r(a2－c2)＝1，故点P的轨迹方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. 答案：eq \f(x2,2)＋y2＝1 4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为eq \f(1,2).过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是　________　. 解析：∵椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示， ∵AF2＝a，OF2＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝eq \f(π,3)， ∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为eq \f(\r(3),3)，斜率倒数为eq \r(3)，直线DE的方程：x＝eq \r(3)y－c，代入椭圆方程3x2＋ 4y2－12c2＝0，整理化简得到：13y2－6eq \r(3)cy－9c2＝0，判别式Δ＝(6eq \r(3)c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴|CD|＝eq \r(1＋\r(3)2)|y1－y2| ＝2×eq \f(\r(Δ),13)＝2×6×4×eq \f(c,13)＝6， ∴c＝eq \f(13,8)，得a＝2c＝eq \f(13,4)， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD＝DF2，AE＝EF2，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋ |EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13. 答案：13 1．求椭圆的标准方程有以下五种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． ③直接法：若已知中有明显的等量关系，常列出关系，化简可得椭圆方程． ④参数法：若已知x，y都与某个参数有关，列出x，y与其关系消去参数可得椭圆方程． ⑤相关点法(代入法)：若动点与某个参动点有关，常用动点坐标表示参动点坐标，然后代入参动点满足关系即可得方程． 2．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． 3．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．提醒：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m2≠n2)的形式．椭圆的标准方程 [典例]　(2025·广东深圳市模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝eq \f(3,2)|AF1|，则椭圆C的方程为(　　) A.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 [解析]　|AF2|＝2|F2B|，所以可得|AB|＝eq \f(3,2)|AF2|，又因为|AB|＝eq \f(3,2)|AF1|，所以可得|AF1|＝|AF2|，即A为短轴的顶点，设A为短轴的上顶点(0，b)，F2(1,0)，c＝1，所以|AF2|＝eq \r(b2＋1)＝a，所以直线AB的方程为：y＝－b(x－1)，由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，且c＝1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝－bx－1，))整理可得：eq \f(x2,a2)＋(x－1)2＝1，即(a2＋1)x2＝2a2x，可得xB＝eq \f(2a2,a2＋1)，代入直线的方程可得yB＝eq \f(－ba2－1,a2＋1)，所以|BF2|＝eq \r(\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,a2＋1)－1))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(ba2－1,a2＋1)))2)＝eq \r(\f(a2－12＋a2－13,a2＋1))，因为|AF2|＝2|F2B|，所以a＝eq \r(\f(a2－12＋a2－13,a2＋12))，整理可得a2＋1＝2(a2－1)，解得a2＝3，可得b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1. [答案]　D (1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． (2)椭圆的标准方程的两个应用 ①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0)有相同的离心率． ②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． (2025·河北衡水模拟)过四点(0,1)，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))中的三点的一个椭圆标准方程可以是　______________________　，这样的椭圆方程有　________　个．解析：因为点eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))关于x轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有(0,1)，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))和eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))两种情况．设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．当椭圆过(0,1)，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2)))三点时，将(0,1)，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))的坐标代入椭圆方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝1，,m＋\f(3,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n＝1，,m＝\f(1,4)，)) 所以该椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. 同理可得当椭圆经过eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2))) 三点时，代入椭圆方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m＋n＝1，,m＋\f(3,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(4,13)，,n＝\f(12,13)，)) 该椭圆的方程为eq \f(4x2,13)＋eq \f(12y2,13)＝1. 综上可知，这样的椭圆方程有2个．答案：eq \f(x2,4)＋y2＝1或eq \f(4x2,13)＋eq \f(12y2,13)＝1(写一个即可)　2 椭圆的几何性质 ►[命题点1]　椭圆的离心率　 [母题]　设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点M在y轴上，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　 B.eq \f(\r(3),6)　　　 C.eq \f(1,3)　　　 D.eq \f(1,6) [解析]　如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|＝eq \r(|PF1|2－|PF2|2)＝eq \r(3)|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝eq \f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|⇒c＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)|PF2|,2)·eq \f(2,3|PF2|)＝eq \f(\r(3),3). [答案]　A [子题1]　母题条件变为“若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cos α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)”，则椭圆的离心率为　________　. 解析： ∵cos α＝eq \f(\r(5),5)⇒sin α＝eq \f(2\r(5),5). sin(α＋β)＝eq \f(3,5)⇒cos(α＋β)＝－eq \f(4,5). ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝eq \f(11\r(5),25). 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 由正弦定理得eq \f(r1,\f(11\r(5),25))＝eq \f(r2,\f(2\r(5),5))＝eq \f(\f(2c,3),5) ∴eq \f(r1＋r2,\f(21\r(5),25))＝又r1＋r2＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),7). 答案：eq \f(\r(5),7) [子题2]　(2025·陕西铜川模拟预测)已知F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，若E上存在不同的两点A，B，使得eq \o(F1A,\s\up16(→))＝eq \r(2) eq \o(F2B,\s\up16(→))，则E的离心率的取值范围为(　　 ) A．(0，eq \r(2)－1)　　　 B．(0，eq \r(2)－1] C．(3－2eq \r(2)，1) D．[3－2eq \r(2)，1) 解析：C　[如图，延长AF1交椭圆于A1，根据椭圆的对称性，得eq \o(F2B,\s\up16(→))＝eq \o(A1F1,\s\up16(→))，eq \o(F1A,\s\up16(→))＝eq \r(2) eq \o(A1F1,\s\up16(→))，当A1，A分别位于E的左，右顶点时，eq \f(|F1A|,|A1F1|)有最大值，又因为A，B不重合，所以eq \f(a＋c,a－c)＞eq \r(2)，即eq \f(1＋e,1－e)＞eq \r(2)，解得e＞3－2eq \r(2)，所以E的离心率的取值范围为(3－2eq \r(2)，1)．] ►[命题点2]　与椭圆有关的最值(或范围)问题　 [典例]　(2025·黑龙江大庆市东风中学模拟)已知焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1，且a,2，c成等差数列，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))的最大值为(　　) A．8　　 B．10　　　 C．12　　 D．16 [解析]　焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1. 所以a2＝8＋c2，又a,2，c，成等差数列，所以4＝a＋c，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－c2＝8，,a＋c＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,c＝1，))所以椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，左焦点F(－1,0)，右顶点A(3,0)，设P(x0，y0)，则eq \f(x\o\al(2,0),9)＋eq \f(y\o\al(2,0),8)＝1，所以yeq \o\al(2,0)＝8eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),9)))， eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))＝(x0＋1，y0)·(x0－3，y0)＝xeq \o\al(2,0)－2x0－3＋yeq \o\al(2,0)＝xeq \o\al(2,0)－2x0－3＋8－eq \f(8,9)xeq \o\al(2,0)＝eq \f(1,9)xeq \o\al(2,0)－2x0＋5，x0∈[－3,3]， eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \f(1,9)(x0－9)2－4，x0∈[－3,3]，x0＝－3时，(eq \o(PF,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→)))max＝12. [答案]　C 1．求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2直接求． (2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 2．椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． 1．(2025·四川成都外国语学校模拟)已知两定点A(－3,0)和B(3,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝－x＋5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为(　　) A．2eq \r(2) B．4eq \r(2) C.eq \r(26) D．2eq \r(26) 解析：B　[根据题意，设点A(－3,0)关于直线l：y＝－x＋5的对称点A′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y0－0,x0＋3)＝1，,\f(y0＋0,2)＝－\f(x0－3,2)＋5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝5，,y0＝8，))即A′(5,8)．根据椭圆的定义可知，2a＝|AP|＋|BP| ＝|A′P|＋|BP|≥|A′B|＝eq \r(5－32＋82)＝2eq \r(17)，当A′、P、B三点共线时，长轴长取最小值2eq \r(17)，即amin＝eq \r(17)，由a2＝b2＋c2且c＝3，得b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(a2－9)≥eq \r(17－9)＝2eq \r(2)，因此椭圆C的短轴的最小值为4eq \r(2).] 2．(2025·贵州贵阳三模)设椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x－5y－12＝0上的动点，则|PA|－|PF|的最小值为(　　 ) A．－eq \f(16\r(41),41) B.eq \f(16\r(41),41) C.eq \f(16\r(41),41)－4 D．4－eq \f(16\r(41),41) 解析：C　[根据题意知椭圆的右焦点坐标为F(1,0)，左焦点坐标为F′(－1,0)，根据椭圆的定义可知|PF|＋|PF′|＝4，所以|PF|＝4－|PF′|，则|PA|－|PF|＝|PA|－(4－|PF′|)＝|PA|＋|PF′|－4，所以|PA|＋|PF′|最小时，|PA|－|PF|最小，为定点F′到直线4x－5y－12＝0的距离，根据点到直线的距离公式可得 d＝eq \f(|4×－1－0×5－12|,\r(42＋52))＝eq \f(16\r(41),41)，所以|PA|－|PF|＝eq \f(16\r(41),41)－4.] 椭圆的综合问题 [典例]　(2024·北京卷)已知椭圆方程C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 (0，t)(t>eq \r(2))的直线l与椭圆交于A，B，C(0,1)，连接AC交椭圆于D. (1)求椭圆E的方程和离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t. 解：(1)由题意b＝c＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，从而a＝eq \r(b2＋c2)＝2，所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，离心率为e＝eq \f(\r(2),2). (2)显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意不符，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾．从而设AB：y＝kx＋t，(k≠0，t>eq \r(2))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1,y＝kx＋t))，化简并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0，由题意Δ＝16k2t2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8(4k2＋ 2－t2)>0，即k，t应满足4k2＋2－t2>0，所以x1＋x2＝eq \f(－4kt,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2t2－4,2k2＋1)，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(－x2，y2)，所以AD：y＝eq \f(y1－y2,x1＋x2)(x－x1)＋y1，在直线AD方程中令x＝0，得yC＝eq \f(x1y2＋x2y1,x1＋x2) ＝eq \f(x1kx2＋t＋x2kx1＋t,x1＋x2) ＝eq \f(2kx1x2＋tx1＋x2,x1＋x2)＝eq \f(4kt2－2,－4kt)＋t＝eq \f(2,t)＝1，所以t＝2，此时k应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4k2＋2－t2＝4k2－2>0,k≠0))，即k应满足k<－eq \f(\r(2),2)或k>eq \f(\r(2),2)，综上所述，t＝2满足题意，此时k<－eq \f(\r(2),2)或k>eq \f(\r(2),2). (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．　提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c. (1)椭圆C的离心率； (2)M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程．解：(1)法一：A点横坐标为c，代入椭圆得eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，解得|y|＝eq \f(b2,a)＝|AF2|，∴eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),6)c.即a2－c2＝eq \f(\r(3),6)ac，设eq \f(c,a)＝e，∴e2＋eq \f(\r(3),6)e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(3),2). 法二：直角△AF1F2中，|F1F2|＝2c，|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c，∴由勾股定理得|AF1|2＝eq \f(1,12)c2＋4c2，即|AF1|＝eq \f(7\r(3),6)c， ∴2a＝eq \f(7\r(3),6)c＋eq \f(\r(3),6)c＝eq \f(4\r(3),3)c，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，即e＝eq \f(\r(3),2). (2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，则MP方程为y＝eq \f(y0－b,x0)x＋b，令y＝0得到R点横坐标为eq \f(bx0,b－y0)；NP方程为y＝eq \f(y0＋b,x0)x－b，令y＝0得到Q点横坐标为eq \f(bx0,b＋y0)； ∴|OR|·|OQ|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b2x\o\al(2,0),b2－y\o\al(2,0))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2b2\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(b2－y\o\al(2,0),b2))),b2－y\o\al(2,0))))＝a2＝4， ∴c2＝3，b2＝1，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1. $$

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