主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（选择性必修第一册） 第八章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－a2＋y－b2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 　　方法 位置关系　　　 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \o\al(2,1)，圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \o\al(2,2)，两圆的圆心距d＝|O1O2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)，则有 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2 的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝r1－r2 0＜d＜ |r1－r2| (2)代数法： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \o\al(2,1)＋Eeq \o\al(2,1)－4F1>0)，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \o\al(2,2)＋Eeq \o\al(2,2)－4F2>0)，两圆的方程联立得方程组，则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切　或　内切 外离　或　内含 1．两圆的位置关系与公切线的条数 (1)内含：0条；(2)内切：1条；(3)相交：2条；(4)外切：3条；(5)外离：4条． 2．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 3．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　) (4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　) (6)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P38习题1－2B组T1改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0被直线ax＋y－1＝0所截的弦长为2eq \r(3)，则a＝(　　) A．－eq \f(4,3)　　 B．－eq \f(3,4)　　　 C.eq \r(3)　　 D．2 解析：A　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4， 所以圆心的坐标是(1,4)，半径为2. 因为圆心到直线的距离d＝eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|a＋3|,\r(a2＋1))，弦长为2eq \r(3)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋3|,\r(a2＋1))))2＋(eq \r(3))2＝22，解得a＝－eq \f(4,3).] 2．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1或2 D．1或－2 解析：C　[由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，因为圆C1与圆C2内切，所以|C1C2|＝eq \r(a＋12＋－2＋a2)＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2.] 3．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为　________　. 解析：由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得圆心C1(1,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|1－0＋1|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2eq \r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq \r(32－\r(2)2)＝2eq \r(7). 答案：2eq \r(7) 4．(忽视隐含条件致错)若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C：(x－3m)2＋(y－4m)2＝25(m＋4)2相切，则点A在圆C的　________　(填“外部”“内部”或“上面”)，m的取值范围是　________　. 解析：因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部．因为点A在圆的外部，则有(4－3m)2＋(2－4m)2>25(m＋4)2，因此有240m<－380，解得m<－eq \f(19,12).再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m＋4)2>0，所以m≠－4，因此m的取值范围是m<－eq \f(19,12)且m≠－4. 答案：外部　m<－eq \f(19,12)且m≠－4 5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为　________　. 解析：圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq \f(3\r(5),5)，所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2)＝eq \f(2\r(55),5). 答案：eq \f(2\r(55),5) 直线与圆的位置关系 1．(多选)(2025·山东青岛模拟)已知C：x2＋y2－6x＝0，则下述正确的是(　　) A．圆C的半径r＝3 B．点(1,2eq \r(2))在圆C的内部 C．直线l：x＋eq \r(3)y＋3＝0与圆C相切 D．圆C′：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交 解析：ACD　[由x2＋y2－6x＝0，得(x－3)2＋y2＝9，则圆心C(3,0)，半径r1＝3，所以A正确； 对于B，因为点(1,2eq \r(2))到圆心的距离为eq \r(3－12＋0－2\r(2)2)＝2eq \r(3)＞3，所以点(1,2eq \r(2))在圆C的外部，所以B错误；对于C，因为圆心C(3,0)到直线l：x＋eq \r(3)y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|3＋3|,\r(12＋\r(3)2))＝3＝r1，所以直线l：x＋eq \r(3)y＋3＝0与圆C相切，所以C正确； 对于D，圆C′：(x＋1)2＋y2＝4的圆心为C′(－1,0)，半径r2＝2，因为|CC′|＝eq \r(3＋12)＝4，r1－r2＜4＜r1＋r2，所以圆C′：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交，所以D正确．] 2．(2025·广西桂林市月考)圆x2－2x＋y2＋4y＋2＝0到直线2eq \r(2)x－y＋2＝0的距离为1的点的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　 D．0 解析：B　[由x2－2x＋y2＋4y＋2＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝3，则圆心为(1，－2)，半径r＝eq \r(3)， 因为圆心(1，－2)到直线2eq \r(2)x－y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|2\r(2)＋2＋2|,\r(8＋1))＝eq \f(2\r(2)＋4,3)＞eq \r(3)，且d－eq \r(3)＝eq \f(2\r(2)＋4,3)－eq \r(3)＝eq \f(2\r(2)＋4－3\r(3),3)＜1， 所以圆x2－2x＋y2＋4y＋2＝0到直线2eq \r(2)x－ y＋2＝0的距离为1的点有2个．] 3．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝a}(a＞0)，集合B＝{(x，y)||x|＋|y|＝2}，若A∩B中有8个元素，则a的值可能为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：B　[由|x|＋|y|＝2，当x≥0，y≥0时，上式变为x＋y＝2， 当x＞0，y＜0时，上式变为x－y＝2， 当x＜0，y＜0时，上式变为－x－y＝2， 当x＜0，y＞0时，上式变为－x＋y＝2， 其对应图象如图所示正方形，集合A表示以坐标原点O为圆心，eq \r(a)为半径的圆， 由A∩B含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，即圆与正方形的关系介于内切与外接之间，则eq \r(2)＜eq \r(a)＜2，解得2＜a＜4.] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． 直线与圆相交、相切问题 ►[命题点1]　求弦长或由弦长求直线(圆)的方程　 1．(2025·天津武清模拟预测)已知直线x＋y－5＝0与圆C：x2＋y2－4x＋2y－m2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝4，则实数m＝　____________　. 解析：根据题意，圆x2＋y2－4x＋2y－m2＝0， 即(x－2)2＋(y＋1)2＝5＋m2，其圆心为(2，－1)，半径r＝eq \r(5＋m2)， 若|AB|＝4，则圆心到直线l即AB的距离d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2)＝eq \r(5＋m2－4)＝eq \r(1＋m2)， 又由圆心到直线x＋y－5＝0的距离d＝eq \f(|2－1－5|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)， 则有eq \r(1＋m2)＝2eq \r(2)，解得m＝±eq \r(7). 答案：±eq \r(7) 弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2). 　提醒：代数法计算量较大，我们一般选用几何法． ►[命题点2]　由弦长求参数取值(范围)　 2．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2eq \r(5) 解析：C　[因为a，b，c成等差数列，所以a－2b＋c＝0，直线ax＋by＋c＝0恒过P(1，－2)，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|PC|＝1，|AB|＝2eq \r(5－|PC|2)＝4.] 解决与弦长有关参数或取值范围问题，一般是找到与弦长公式l＝2eq \r(r2－d2)有关的方程或不等式，解方程或不等式即可． ►[命题点3]　求切线方程(切线长)　 3．(2025·贵州安顺期末)在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点A(2,0)射出，经直线y＝x反射后，与圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1相切，写出一条反射后光线所在直线的方程　__________________　. 解析：依题意，点A(2,0)关于直线y＝x的对称点A(0,2)， 由光的反射定理知，从点A射出的光线经直线y＝x反射后，与圆C相切， 相当于从点A′发出的光线与圆C相切，显然该切线斜率存在，设方程为y＝kx＋2， 因此圆心C(4,2)到直线kx－y＋2＝0的距离d＝eq \f(|4k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(15),15)，所以所求直线方程为y＝－eq \f(\r(15),15)x＋2或y＝eq \f(\r(15),15)x＋2. 答案：y＝eq \f(\r(15),15)x＋2(答案不唯一，另一条为y＝－eq \f(\r(15),15)x＋2) 4．(2025·河北廊坊模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a,2)，从点A观察点B，要使视线不被圆O挡住，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，\f(4\r(3),3))) 解析：B　[易知点B(a,2)在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线， 设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2， 即kx－y－2＝0， 由d＝eq \f(|0－0－2|,\r(1＋k2))＝1，得k＝±eq \r(3)， ∴切线方程为y＝±eq \r(3)x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(3),3)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，2)). 故要使视线不被圆O挡住，则实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－4\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，＋∞)).] 1．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解，利用点斜式直接求解；若点在圆外，有两解．设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况． 2．切线长问题，利用圆心到定点的距离，半径，切线长三者之间的勾股定理来解决． ►[命题点4]　圆的最值问题　 5．(2025·全国模拟)已知圆O：x2＋y2＝3，l为过M(1，eq \r(2))的圆的切线，A为l上任一点，过A作圆N：(x＋2)2＋y2＝4的切线，则切线长的最小值是　________　. 解析：由题，直线OM的斜率为eq \r(2)，故直线l的斜率为－eq \f(\r(2),2)，故l的方程为y－eq \r(2)＝－eq \f(\r(2),2)(x－1)，即x＋eq \r(2)y－3＝0.又N到l距离d＝eq \f(|－2＋0－3|,\r(12＋\r(2)2))＝eq \f(5,\r(3))，故切线长的最小值是eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,\r(3))))2－4)＝eq \r(\f(13,3))＝eq \f(\r(39),3). 答案：eq \f(\r(39),3) 6．(2025·河南三模)已知M，N为圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上两点，且|MN|＝4，点P在直线l：x－y＋3＝0上，则|eq \o(PM,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))|的最小值为(　　 ) A．2eq \r(2)－2　　 B．2eq \r(2) C．2eq \r(2)＋2 D．2eq \r(2)－eq \r(5) 解析：A　[设线段MN的中点为D，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，半径为eq \r(5)， 则圆心C到直线MN的距离为eq \r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)＝1，所以|CD|＝1， 故点D的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆， 设点D的轨迹为圆D，圆D上的点到直线l的最短距离为d＝eq \f(|1－2＋3|,\r(2))－1＝eq \r(2)－1. 所以|eq \o(PM,\s\up16(→))＋eq \o(PN,\s\up16(→))|＝2|eq \o(PD,\s\up16(→))|≥2d＝2eq \r(2)－2.] 对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值． 圆与圆的位置关系 [母题]　已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　) A.eq \f(\r(6),2)　　 B.eq \f(3,2)　　 C.eq \f(9,4)　　 D．2eq \r(3) [解析]　由圆C1与圆C2相外切， 可得 eq \r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3， 即(a＋b)2＝9， 根据基本不等式可知ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(9,4)， 当且仅当a＝b时等号成立． [答案]　C [子题1]　母题条件中“外切”变为“内切”，则ab的最大值为　________　. 解析：由C1与C2内切得eq \r(a＋b2＋－2＋22)＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,4)，当且仅当a＝b时，等号成立，故ab的最大值为eq \f(1,4). 答案：eq \f(1,4) [子题2]　母题条件“外切”变为“相交”，则公共弦所在的直线方程为　________　. 解析：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，　① 圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，　② 由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0， 即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程． 答案：(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0 [子题3]　母题条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，则直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系是　________　. 解析：由两圆存在四条切线，故两圆外离，eq \r(a＋b2＋－2＋22)>3. ∴(a＋b)2>9.即a＋b>3或a＋b<－3. 又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|a＋b－1|,\r(2))>1， ∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离． 答案：相离 1．处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 提醒：判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含． 1．(2025·江苏南京模拟预测)已知点P是直线2x＋y－3＝0上的动点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(1,3)))到直线AB的距离的最大值为　________　. 解析：设P(x0，y0)，过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B， 则A，B在以OP为直径的圆上，该圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq \f(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0),4)， 将x2＋y2＝1和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq \f(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0),4)相减得x0x＋y0y＝1， 即得到直线AB的方程为x0x＋y0y＝1， 又因为点P是直线2x＋y－3＝0，故y0＝3－2x0， 则直线AB的方程为x0x＋(3－2x0)y－1＝0， 即3y－1＋x0(x－2y)＝0， 当3y－1＝0且x－2y＝0，即x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)时该方程恒成立， 所以直线AB过定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))， 当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大， 此时最大值即为Q，M之间的距离，而|QM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)－\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,3)))2)＝1， 即点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(1,3)))到直线AB的距离的最大值为1. 答案：1 2．(2025·南京市第十三中学模拟)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是(　　) A．2eq \r(2)　 B.eq \f(9,2)　　 C．4　 D．3eq \r(2) 解析：C　[由题意作出图形分析得： 由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过两圆圆心O、O1， 则在Rt△OAO1中，|OA|＝eq \r(5)，|O1A|＝eq \r(20)，所以|O1O|＝5， 斜边上的高为半弦，且OO1⊥AB， 则S△AO1O＝eq \f(1,2)|O1O|·eq \f(|AB|,2)＝eq \f(1,2)|OA|·|O1A|，即eq \f(|AB|,2)·5＝eq \r(5)·eq \r(20)，所以|AB|＝4.] $$