主题三 第八章 第3节 圆的方程-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（选择性必修第一册） 第八章 平面解析几何 第3节 圆的方程 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 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数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到　定点　的距离等于　定长　的所有点的集合成(轨迹)叫做圆，定点是　圆心　，　定长　是半径 方程 标准方程 一般方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心坐标 (a，b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 半径 r eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 充要条件 　D2＋E2－4F＞0　 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在　圆外　； (2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在　圆上　； (3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在　圆内　. 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程． (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r为定值，a，b是参数． 3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) (5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) 解析：(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq \f(1,4)或m＞1时才表示圆． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P28例2(1)改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：C　[因为圆心为(1，－1)且圆过原点，所以该圆的半径r＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，则该圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.] 2．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(　　) A.eq \r(2) 　　 B．2　　　 C．3　　　 D．3eq \r(2) 解析：D　[圆x2＋y2－2x＋6y＝0的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝10，圆心坐标为(1，－3)，因此圆心到直线x－y＋2＝0的距离d＝eq \f(|1＋3＋2|,\r(|12＋－12|))＝3eq \r(2).] 3．已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝eq \f(1,4) B．(x－1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝eq \f(1,4) D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1 解析：B　[圆C即(x－1)2＋(y－2)2＝2，半径r＝eq \r(2)， 因为CA⊥CB，所以AB＝eq \r(2)r＝2，又P是AB的中点，所以CP＝eq \f(1,2)AB＝1，所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.] 4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为　____________________　. 解析：设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|， 即eq \r(a＋12＋1)＝eq \r(a－12＋9)，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝eq \r(2＋12＋1)＝eq \r(10)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 5．(忽视检验结论致错)已知Rt△ABC的斜边为AB，点A(－2,0)，B(4,0)，则顶点C满足的方程为　__________　. 解析：设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，则半径为 eq \f(1,2) eq \r(4＋22＋0－02)＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))． 答案：(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0)) 确定圆的方程 1．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为　____________　. 解析：法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上， 所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|， 即eq \r(2a＋3－22＋a＋32)＝eq \r(2a＋3＋22＋a＋52)， 解得a＝－2， 所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝eq \r(10). 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，)) 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法三：(待定系数法)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))). 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.)) 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0. 答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10或x2＋y2＋2x＋4y－5＝0 2．(2025·陕西榆林模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB的外接圆方程是(　　 ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 解析：A　[由圆x2＋y2＝4，得到圆心O(0,0)，由题意知O、A、B、P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，eq \f(1,2)|OP|＝eq \r(5)为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.] 3. (2025·北京西城二模)与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是(　　 ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝4 解析：C　[如图，过圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心C(－1,1)作直线l：x－y－4＝0的垂线CE，垂足为E， 则以OE为直径的圆D(设其半径为r)即为所求圆．理由如下： 另作一个圆F，与圆C相切，与直线l切于点G，设其半径为r′， 由图知|CF|＋|FG|＞|CG|＞|CE|，即eq \r(2)＋2r′＞eq \r(2)＋2r，即r＞r′，即圆D是符合要求的最小圆． 由点C(－1,1)到直线l：x－y－4＝0的距离为 |CE|＝eq \f(|－1－1－4|,\r(2))＝3eq \r(2)，则r＝eq \f(3\r(2)－\r(2),2)＝eq \r(2)， 设点D(x，y)，由CD⊥l，可得eq \f(y－1,x＋1)＝－1， 即y＝－x，① 由点D(x，y)到直线l：x－y－4＝0的距离等于eq \r(2)可得eq \f(|x－y－4|,\r(2))＝eq \r(2)，② 联立①②可解得x＝3或x＝1，由图知仅x＝1符合题意， 即得D(1，－1)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.] 1．求圆的方程，一般采用待定系数法 (1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程． (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择设圆的一般方程． 2．在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的垂直平分线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 与圆有关的最值、范围问题 ►[命题点1]　与圆的几何性质有关的最值　 1．(2025·辽宁模拟预测)已知点M，N在圆x2＋y2－2y－3＝0上，点P在直线eq \r(3)x－y－3＝0上，点Q为MN的中点，若|MN|＝2eq \r(3)，则|PQ|的最小值为(　　 ) A．1　　　 B.eq \r(3)　　　　 C．2　　　 D．3 解析：A　[由题意可得圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝4， 设圆心为C，半径为r，则C(0,1)，r＝2， 所以由垂径定理可得|CQ|＝eq \r(22－\r(3)2)＝1， 故点Q在以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上， 因为点C到直线eq \r(3)x－y－3＝0的距离d＝eq \f(|0－1－3|,\r(3＋1))＝2， 所以|PQ|的最小值为2－1＝1.] 2．(2025·济宁模拟)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为　________　. 解析：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1， 1．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函数求最值． 2．与圆的几何性质有关的最值 (1)记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为|AO|－r，最大为|AO|＋r； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦； (3)记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r； (4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． ►[命题点2]　利用对称性求最值　 3．(2025·全国模拟)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5及点A(0,2)，点P、Q分别是直线x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为　________　. 解析：如图所示： 设点A于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为A′(x，y)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y＋2,2)＋2＝0，,\f(y－2,x)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))则A′(－4，－2)， 因为|PA|＝|PA′|，所以|PA|＋|PQ|的最小值为|A′C|－r＝eq \r(－4－22＋－2－12)－eq \r(5)＝2eq \r(5). 答案：2eq \r(5) 与圆有关的最值问题有时利用点关于直线的对称性，寻找对称点，利用化折为直的思想求最值． ►[命题点3]　利用式子的几何意义求最值　 [母题]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则y－x的最大值和最小值分别为　______　和　______　. [解析]　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)， 解得b＝－2±eq \r(6). 所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6). [答案]　－2＋eq \r(6)　－2－eq \r(6) [子题1]　在母题已知条件下,eq \f(y,x)的最大值和最小值分别为　________　和　________　. 解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆.eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3). 所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3). 答案：eq \r(3)　－eq \r(3) [子题2]　在母题已知条件下，x2＋y2的最大值和最小值分别为　________　和　________　. 解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq \r(2－02＋0－02)＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3). 答案：7＋4eq \r(3)　7－4eq \r(3) 根据代数式的几何意义求与圆有关的最值问题，可借助数形结合思想求解． (1)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，利用圆心到直线的距离列不等式即可，也可用三角代换求解． (2)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，最后都转化为动直线斜率的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． ►[命题点4]　建立函数关系求最值　 4．(2025·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则Peq \o(A,\s\up16(→))·Peq \o(B,\s\up16(→))的最大值为　________　. 解析：由题意，知Peq \o(A,\s\up16(→))＝(2－x，－y)，Peq \o(B,\s\up16(→))＝(－2－x，－y)，所以Peq \o(A,\s\up16(→))·Peq \o(B,\s\up16(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以Peq \o(A,\s\up16(→))·Peq \o(B,\s\up16(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，Peq \o(A,\s\up16(→))·Peq \o(B,\s\up16(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：12 5．(2025·辽宁模拟)在直角△ABC中，C＝90°，D为AB的中点，AB＝8，E在边AB上，且满足：eq \o(CE,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝4，则|eq \o(CE,\s\up16(→))|的最大值是(　　) A．2eq \r(2)　　　　　　　 B.eq \r(2) C．2eq \r(3) D.eq \r(3) 解析：A　[以D为原点建立如图坐标系， 则A(－4,0)、B(4,0)、D(0,0)， 设C(4cos θ，4sin θ)，E(t,0)，其中0＜θ＜π，－4≤t≤4， eq \o(CE,\s\up16(→))＝(t－4cos θ，－4sin θ)，eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－4cos θ，－4sin θ)， 所以eq \o(CE,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝(t－4cos θ，－4sin θ)(－4cos θ，－4sin θ)＝－4tcos θ＋16cos2θ＋16sin2θ ＝－4tcos θ＋16，由题知eq \o(CE,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＝4， 所以－4tcos θ＋16＝4，所以tcos θ＝3， |eq \o(CE,\s\up16(→))|＝eq \r(t－4cos θ2＋－4sin θ2) ＝eq \r(16－8tcos θ＋t2)＝eq \r(t2－8)，其中－4≤t≤4， 所以当t＝±4，|eq \o(CE,\s\up16(→))|取得最大值2eq \r(2).] 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．当点在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，点的坐标可设为(a＋rcos θ，b＋rsin θ)，再利用距离公式建立目标函数求最值． 1．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋eq \f(3\r(2),2)　　 B．4 C．1＋3eq \r(2)　　　 D. 7 解析：C　[令x－y＝k，则x＝k＋y， 代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0， 因为存在实数y，则Δ≥0， 即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0， 化简得k2－2k－17≤0， 解得1－3eq \r(2)≤k≤1＋3eq \r(2)， 故x－y的最大值是3eq \r(2)＋1.] 2．(2025·福建福州模拟)已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，圆M为△ABC的外接圆，eq \o(ME,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→)))，则eq \o(ME,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝　________　；若P为圆M上的动点，则eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PE,\s\up16(→))的最大值为　________　. 解析：(1)依题意，M是斜边BC的中点，又eq \o(ME,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→)))，故E是AB中点，于是ME是△ABC中位线，ME∥AC，又AC⊥AB，故ME⊥AB，于是eq \o(ME,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝0. (2)以圆心M为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设MP与x轴正半轴的夹角为θ(θ∈[0,2π])，则P(eq \r(2)cos θ，eq \r(2)sin θ)，又E(0，－1)． ∴eq \o(PM,\s\up16(→))＝(－eq \r(2)cos θ，－eq \r(2)sin θ)，eq \o(PE,\s\up16(→))＝(－eq \r(2)cos θ，－1－eq \r(2)sin θ)， ∴eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PE,\s\up16(→))＝2cos2θ＋eq \r(2)sin θ(1＋eq \r(2)sin θ)＝2＋eq \r(2)sin θ， ∴2－eq \r(2)≤eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PE,\s\up16(→))≤2＋eq \r(2)，当θ＝eq \f(π,2)，eq \o(PM,\s\up16(→))·eq \o(PE,\s\up16(→))取到最大值2＋eq \r(2). 答案：0　2＋eq \r(2) 与圆有关的轨迹问题 [典例]　已知点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程． (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点N的轨迹方程． 解：(1)设AP中点为M(x，y)， 由中点坐标公式可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2＋xP,2)＝x，,\f(yP,2)＝y，)) 可得xP＝2x－2，yP＝2y， 即P点坐标为(2x－2,2y) ∵P点在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，整理得(x－1)2＋y2＝1， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 与圆有关的轨迹问题的求法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程； (4)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式； (5)参数法：通过引入一个参数，分别表示出与x，y之间的关系，然后消去参数，求出轨迹方程．不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键． 　提醒：“轨迹”与“轨迹方程”的区别：“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． (2025·广东梅州模拟)已知圆M经过原点和点(3，－1)，且它的圆心M在直线2x＋y－5＝0上． (1)求圆M的方程； (2)若点D为圆M上的动点，定点C(2,0)，求线段CD的中点P的轨迹方程． 解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则圆心Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))， 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0，,9＋1＋3D－E＋F＝0，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－4，,E＝－2.)) 所以圆M的方程为x2＋y2－4x－2y＝0. (2)设P(x，y)，D(x1，y1)，依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋2,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝2x－2，,y1＝2y.))点D(x1，y1)为圆M上的动点， 得(2x－2)2＋(2y)2－4(2x－2)－2(2y)＝0， 化简得P的轨迹方程为x2＋y2－4x－y＋3＝0. $$