主题三 第八章 第2节 两直线的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（选择性必修第一册） 第八章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线位置关系的判定 直线方程 斜截式 一般式 位置关系 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 相交 　k1≠k2　 　A1B2－A2B1≠0　 垂直 　k1k2＝－1　 　A1A2＋B1B2＝0　 平行 　k1＝k2　 且　b1≠b2　 　eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2≠0))　 或　eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1≠0))　 重合 k1＝k2 且b1＝b2 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0B2C1－B1C2＝0)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0A1C2－A2C1＝0)) 2.三种距离 (1)两点间的距离公式 一般地，若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式，|AB|＝　eq \r(x2－x12＋y2－y12)　. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2). (2)点到直线的距离公式 点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)). (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)). 3．两种对称 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．常见的三大直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 2．与对称问题相关的四个结论 (1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (5)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(　　) A．1或3　　　　　　 B．1或5 C．3或5 D．1或2 解析：C　[法一：把k＝1代入已知两条直线， 得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等， 所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D. 法二：因已知两条直线平行，所以k＝3或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≠3，,\f(k－3,2k－3)＝\f(4－k,－2)≠\f(1,3)，))解得k＝3或k＝5.] 2．(2025·南宁市模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 解析：D　[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.] 3．(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是(　　 ) A．若l1∥l2，则a＝6 B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为eq \f(7,4) C．若l1⊥l2，则a＝eq \f(32,3) D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交 解析：AD　[两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，它们不重合， 若l1∥l2，则4a＝3×8，得a＝6，检验符合，故A选项正确； 若l1∥l2，由A选项可知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0， 故两条平行直线之间的距离为eq \f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq \f(7,2)，故B选项不正确； 若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，得a＝－eq \f(32,3)，故C选项不正确； 由A选项知，当a＝6时，l1∥l2，所以若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D选项正确．] 4．(BSD选择性必修第一册P25习题1－1A组T8改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于一点，则m的值为　　________　　. 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.)) 所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0， 即m×1＋2×2＋5＝0， 所以m＝－9. 答案：－9 5．(忽视斜率不存在情况致误)若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为　________　. 解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－eq \f(1,3).∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意． 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1 两条直线的位置关系 1．(2025·北京期末)若关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋1＝0，,2x＋ay＋1＝0))(a∈R)无解，则a＝(　　) A．2　　 B.eq \r(2)　　　 C．1　　　 D.eq \f(\r(2),2) 解析：C　 [可得方程组无解，等价于直线4x＋2y＋1＝0和直线2x＋ay＋1＝0平行，则eq \f(4,2)＝eq \f(2,a)≠eq \f(1,1)，解得a＝1.] 2．(2025·上海宝山模拟)已知集合A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}，B＝{(x，y)|ax＋ay－1＝0}，则下列结论正确的是(　　 ) A．存在a∈R，使得A＝∅ B．当a＝－1时，A∩B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2))) C．当A∩B＝∅时，a＝1 D．对任意的a∈R，都有A≠B 解析：D　[对于A，∵x＋ay＋2a＝0表示过定点(0，－2)，且斜率不为0的直线， ∴集合A表示直线x＋ay＋2a＝0上所有的点， ∴A≠∅，A错误； 对于B，当a＝－1时，A＝{(x，y)|x－y－2＝0}， B＝{(x，y)|－x－y－1＝0}， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,－x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(3,2)，)) ∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,2)))))，B错误； 对于C，当B＝∅时，a＝0，满足A∩B＝∅； 当B≠∅，即a≠0时，直线x＋ay＋2a＝0与 ax＋ay－1＝0平行， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝a2，,－1≠2a2，))解得a＝1. 综上所述，当A∩B＝∅时，a＝0或a＝1，C错误； 对于D，若A＝B，则a≠0且直线x＋ay＋2a＝0与ax＋ay－1＝0重合， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝a2，,－1＝2a2，))方程组无解，∴A≠B，D正确．] 3．(2025·江苏模拟)已知直线l：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：eq \r(3)bx＋y＝0，且l1⊥l2，则a2＋b2的最小值为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(13,16) 解析：A　[l1⊥l2，则eq \r(3)b＋a－1＝0，∴a＝1－eq \r(3)b， 所以a2＋b2＝(1－eq \r(3)b)2＋b2＝4b2－2eq \r(3)b＋1， 二次函数的抛物线的对称轴为b＝－eq \f(－2\r(3),2×4)＝eq \f(\r(3),4)， 当b＝eq \f(\r(3),4)时，a2＋b2取最小值eq \f(1,4).] 1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率怎样一定要特别注意． 2．两直线交点的求法 求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点． 距离问题 [典例]　(1)(2025·山西期中)设直线l：3x－4y＋2m＝0与直线6x－my＋1＝0平行，则点A(a2,3a)到l的距离的最小值为(　　) A.eq \f(4,5) B．1 C.eq \f(6,5) D.eq \f(7,5) [解析]　(1) 由已知两直线平行，∴eq \f(3,6)＝eq \f(－4,－m)， ∴m＝8，∴直线l：3x－4y＋16＝0， ∴A(a2,3a)到l的距离d＝eq \f(|3a2－12a＋16|,5) ＝eq \f(3a－22＋4,5)≥eq \f(4,5)，当a＝2时取到最小值eq \f(4,5). [答案]　A (2)(2025·高三江苏苏州开学考试)已知直线l1：x＋y＋C＝0与直线l2：Ax＋By＋C＝0交于(1,1)，则原点到直线l2距离的最大值为(　　 ) A．2　　　 B.eq \r(2)　　　　 C.eq \f(\r(2),2)　　　 D．1 [解析]　因为两直线交于(1,1)， 则1＋1＋C＝0，即C＝－2，且A＋B＋C＝0， 则A＋B＝2， 由原点到直线l2的距离d＝eq \f(|C|,\r(A2＋B2)) ＝eq \f(2,\r(A2＋2－A2))＝eq \f(2,\r(2A2－2A＋2)) 由A2－2A＋2＝(A－1)2＋1≥1, 则d≤eq \r(2)，当且仅当A＝1时，d取最大值eq \r(2)，此时B＝1. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大． [答案]　B (3)(2025·海南琼海市嘉积第二中学模拟)若实数a，b，c，d满足b＝2a2－ln a，d＝3c－2，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为　________　. [解析]　令y＝f(x)＝－ln x＋2x2，y＝g(x)＝3x－2， 则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两个函数f(x)与g(x)的图象上的两点之间的距离的最小值的平方，f′(x)＝－eq \f(1,x)＋4x， 设与直线y＝3x－2平行且与曲线f(x)相切的切点为P(x0，y0)， 则－eq \f(1,x0)＋4x0＝3，x0＞0，解得x0＝1，可得切点P(1,2)， 切点P(1,2)到直线y＝3x－2的距离d＝eq \f(|3－2－2|,\r(10))＝eq \f(1,\r(10)). ∴(a－c)2＋(b－d)2的最小值为d2＝eq \f(1,10). [答案]　eq \f(1,10) 距离问题的常见题型与求解策略 题型 求解策略 已知距离，求点的坐标或点的个数 借助于距离公式，建立方程(组)求解或判断解的个数即可 已知距离求参数值 可利用距离公式得出方程，解方程求得 已知距离，求直线方程 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解 与距离最值有关的问题 一是转化为几何问题，利用几何知识求解，二是借助于基本不等式或函数性质求解 1. (2025·辽宁鞍山统考)设d为动点P(cos θ，sin θ)到直线x－y－2＝0的距离，则d的最大值为(　　) A.eq \r(2)－1 B.eq \f(3\r(2),2) C．1＋eq \r(2) D．3 解析：C　[点P(cos θ，sin θ)到直线x－y－2＝0的距离 因为－1≤coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，则－eq \r(2)－2≤eq \r(2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－eq \r(2)≤eq \r(2)－2，所以当coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－1时dmax＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\r(2)－2)),\r(2))＝1＋eq \r(2).] 2．(2025·全国模拟)两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是　________　. 解析：过点P作PR垂直于l2，垂足为R，|PQ|＝eq \r(－1－22＋2＋32)＝eq \r(34). 记PQ与l1的夹角为θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则∠QPR＝eq \f(π,2)－θ， 则PR＝PQ·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq \r(34)sin θ， 所以0＜PR≤eq \r(34)，即l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq \r(34)]． 答案：(0，eq \r(34)] 3．过定点A的动直线x＋ky＝0和过定点B的动直线kx－y－2k＋1＝0交于点M，则|MA|＋|MB|的最大值是(　　 ) A．2eq \r(2) B．3 C.eq \r(10) D.eq \r(15) 解析：C　[由题意知x＋ky＝0过定点A(0,0)， 动直线kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－y＋1＝0过定点B(2,1)， 对于直线x＋ky＝0和动直线kx－y－2k＋1＝0满足1×k＋k×(－1)＝0，故两直线垂直， 因此点M在以AB为直径的圆上，|AB|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)， 则|MA|2＋|MB|2＝5，所以(|MA|＋|MB|)2＝|MA|2＋|MB|2＋2|MA||MB|≤2(|MA|2＋|MB|2)＝10， 当且仅当|MA|＝|MB|＝eq \f(\r(10),2)时等号成立， 故|MA|＋|MB|的最大值为eq \r(10).] 对称问题 ►[命题点1]　点关于点的对称　 1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. 点关于点的对称问题．实际是个中心对称问题，利用中点坐标公式易得：点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ►[命题点2]　点关于线对称　 2．(2025·六安一中月考)点A(1,2)关于直线y＝kx－b对称的点是B(－1,6)，则直线y＝2kx＋b在x轴上的截距是(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析：C　[因为点A(1,2)，B(－1,6)，所以kAB＝eq \f(6－2,－1－1)＝－2，线段AB的中点(0,4)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kAB·k＝－1，,4＝－b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝－4，)) 所以直线y＝2kx＋b即为y＝x－4， 当y＝0时，x＝4，所以直线y＝2kx＋b在x轴上的截距是4.] 点关于线的对称点．牢记两点：(1)点与对称点的中点在已知直线上；(2)点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；设点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) 1．(2025·重庆市云阳江口中学校高三月考)已知A(－1,0)与点B关于直线x＋y－2＝0对称，则|AB|＝(　　) A．2eq \r(2) B．3eq \r(2) C．3eq \r(3) D．5eq \r(3) 解析：B　[点A(－1,0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(|－1＋0－2|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，所以|AB|＝2d＝3eq \r(2).] ►[命题点3]　线关于线对称　 3．(2025·重庆巴蜀中学月考)已知直线l1：ax－y＋3＝0与直线l2关于直线l：x＋y－1＝0对称，直线l2与直线l3：x＋3y－1＝0垂直，则a的值为(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．3 D．－3 解析：B　[直线l2与直线l3：x＋3y－1＝0垂直，则 ∵直线l1：ax－y＋3＝0与直线l2关于直线l：x＋y－1＝0对称， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax－y＋3＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,a＋1)，,y＝\f(3＋a,a＋1)，))得交点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a＋1)，\f(3－a,a＋1)))， 在直线l1上取点(0,3)，设该点关于l对称的点为P(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋\f(n＋3,2)－1＝0，,\f(n－3,m)×－1＝－1，))得m＝－2，n＝1，故＝eq \f(\f(3＋a,a＋1)－1,－\f(2,a＋1)＋2)＝3，解得a＝eq \f(1,3).] 直线关于直线的对称最终转化为点关于直线的对称问题来解决一般要在已知直线上取点，也可取特殊点作对称直线的对称点，再和两条直线的交点联立，求直线即可． 2．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是　________________　. 解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq \f(3,4)， ∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b， 直线l1的方程为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(11,4)＋b， 取直线l上的一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(3,4)m＋b))，则点P关于点(2,3)的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－m，6－b－\f(3,4)m))， 6－b－eq \f(3,4)m＝eq \f(3,4)(4－m)＋b＋eq \f(11,4)，解得b＝eq \f(1,8). ∴直线l的方程是y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,8)，即6x－8y＋1＝0. 答案：6x－8y＋1＝0 ►[命题点4]　对称问题的应用　 4．(2025·江西省峡江中学模拟)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　) A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3) 解析：D　[以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t,0)(0<t<4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线， 由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝eq \f(4－t,4＋t)·(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因为重心Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，所以eq \f(4,3)＝eq \f(4－t,4＋t)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq \f(4,3)(t＝0舍去)，即|AP|＝eq \f(4,3).] 光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称． 3．(2025·重庆沙坪坝模拟预测)设直线l：x＋y－1＝0, 一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出， 经l反射后与x轴交于点M, 再次经x轴反射后与y轴交于点N. 若|MN|＝eq \f(\r(13),6)，则k的值为(　　 ) A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3) 解析：B　[如图，设点O关于直线l的对称点为A(x1，y1)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)＋\f(y1,2)－1＝0，,\f(y1,x1)×－1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝1，))即A(1,1)， 由题意知y＝kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠－1， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k＋1)，,y＝\f(k,k＋1)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)，\f(k,k＋1)))， 故直线AP的斜率为kAP＝eq \f(\f(k,k＋1)－1,\f(1,k＋1)－1)＝eq \f(1,k)， 直线AP的直线方程为y－1＝eq \f(1,k)(x－1)， 令y＝0，得x＝1－k，故M(1－k,0)， 令x＝0，得y＝1－eq \f(1,k)，故由对称性可得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k)－1))， 由|MN|＝eq \f(\r(13),6)，得(1－k)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－1))2＝eq \f(13,36)， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))＝eq \f(13,36)， 解得k＋eq \f(1,k)＝eq \f(13,6)，得k＝eq \f(2,3)或k＝eq \f(3,2)， 若k＝eq \f(3,2)，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件．故k＝eq \f(2,3).] $$