主题三 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（选择性必修第一册） 第八章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 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平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第八章 平面解析几何　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素． 1．一次函数的图象与直线的方程 一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图 象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x, y值为坐标的点构成的，同时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元一次方程． 2．直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　0　 记法 α 图示 范围 [0，π) 作用 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的　倾斜程度　，倾斜角越接近eq \f(π,2)，　倾斜程度　越大 3.直线的斜率 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记Δx＝x2－x1(Δx　≠　0)，Δy＝y2－y1，则在直线l上点P1平移到点P2，相当于在横轴上改变了Δx，即横坐标的改变量为Δx，在纵轴上改变了Δy，即纵坐标的改变量为Δy.因此，比值k＝eq \f(Δy,Δx)反映了直线l的倾斜程度． 由图可知，k＝eq \f(Δy,Δx)的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关，称k＝　eq \f(y2－y1,x2－x1)　(其中x1　≠　x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 4．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)倾斜角不是eq \f(π,2)的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝　tan α　(其中α≠eq \f(π,2)，0≤α＜π)． (2)结合正切函数的图象与性质，发现斜率k与倾斜角α有如下关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) α＝eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．向量eq \o(P1P2,\s\up16(→))是直线l的方向向量，它的坐标是　(x2－x1，y2－y1)　，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量eq \o(P1P2,\s\up16(→))分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度，它们之间的关系是k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝tan α(其中x1≠x2)．若k是直线l的斜率，则x＝(1，　k　)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝eq \f(y,x). 5．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　y－y0＝k(x－x0)　 不含直线x＝x0 斜截式 　y＝kx＋b　 不含垂直于x轴的直线 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)　 平面直角坐标系内的直线都适用 点法式 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0 平面直角坐标系内的直线都适用 1．线段的中点坐标公式：若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 2．谨防3种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　) (3)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (4)过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y－y1＝k(x－x1)．(　　) (5)不经过原点的直线都可以用eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示．(　　) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P25习题1－1A组T3改编)过点M(－2，a)和N(a,4)的直线的方向向量为(1,1)，则a的值为(　　) A．1　　　　　　　 B．4 C．1或3 D．1或4 解析：A　[由题意得eq \f(a－4,－2－a)＝1，解得a＝1.] 2．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) 解析：B　[设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的斜率k＝tan α≥－1，则α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).] 3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象有可能是(　　) 解析：B　[当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合．] 4．(忽视截距为零致误)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　____________　. 解析：截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1， 则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0. 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 5．直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)过定点　________　，倾斜角的最大值是　________　. 解析：直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)可以化为m2(y＋1)＋y＋x＝0恒定点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＋1＝0,y＋x＝0))⇒(1，－1)． 直线可化为y＝－eq \f(1,m2＋1)x－eq \f(m2,m2＋1)， m2≥0⇒m2＋1≥1⇒0＜eq \f(1,m2＋1)≤1⇒－1≤－eq \f(1,m2＋1)＜0. 则倾斜角的最大值是135°. 答案：(1，－1)　135° 直线的倾斜角与斜率 1．设直线l的方程是x＋By－4＝0倾斜角为α. 若eq \f(π,6)＜α＜eq \f(3π,4)，则B的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1)) B．(－eq \r(3)，1) C．(－eq \r(3)，0)∪(0,1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪(1，＋∞) 解析：B　[∵直线l的方程是x＋By－4＝0倾斜角为α， 当α＝eq \f(π,2)时，直线l的斜率不存在，则B＝0； 当α≠eq \f(π,2)时，tan α＝－eq \f(1,B).若eq \f(π,6)＜α＜eq \f(π,2)， 则tan α＝－eq \f(1,B)＞eq \f(\r(3),3)，求得－eq \r(3)＜B＜0； 若eq \f(π,2)＜α＜eq \f(3π,4)，则tan α＝－eq \f(1,B)＜－1，求得0＜B＜1. 综上可得，B的取值范围为(－eq \r(3)，1)．] 2．(2025·湖南师大附中期末)已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　) A．－1＜k＜eq \f(1,5)　　　　　 B．k＞1或k＜eq \f(1,2) C．k＞eq \f(1,5)或k＜1 D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1 解析：D　[已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0，所以(x＋y－3)a＋2x－y＝0， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0,2x－y＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以直线l过点A(1,2)， 由题知，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)， 所以直线端点的斜率分别为：eq \f(2－0,1－3)＝－1，eq \f(2－0,1＋3)＝eq \f(1,2)，如图， ∴k＞eq \f(1,2)或k＜－1.] 3．(2025·八省模拟)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　________　. 解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图的平面直角坐标系． 设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2.由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq \f(tan θ－tan 45°,1＋tan θtan 45°)＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3)， kOC＝tan(θ＋45°)＝eq \f(tan θ＋tan 45°,1－tan θtan 45°)＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3. 答案：－3和eq \f(1,3) 1．在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为eq \f(π,2)这一特殊情形． 2．求倾斜角α的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 直线的方程 [典例]　(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为　________　. (2)(2025·浙江杭州期末)已知△ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为D(0,2)，斜边上中线CE所在直线方程为3x＋y－7＝0，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为　_______________________　. (3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为　________　. [解析]　(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－eq \f(2,5)，此时，直线方程为y＝－eq \f(2,5)x，即2x＋5y＝0. ②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1， 将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq \f(1,2)，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. (2)因为中线CE所在直线方程为3x＋y－7＝0， 所以可设C(a，－3a＋7)，E(b，－3b＋7)，(a＜b)， 由AC中点为D(0,2)，可得A(－a,3a－3)， 所以kAE＝eq \f(－3b－3a＋10,b＋a)＝－3＋eq \f(10,a＋b)， ∵△ABC为等腰直角三角形，CE为中线， ∴CE⊥AB，∴kAE＝－3＋eq \f(10,a＋b)＝kAB＝eq \f(1,3)， ∴a＋b＝3，① 又|CE|＝|AE|，D是AC的中点，∴AC⊥DE， ∴kCD·kDE＝－1，∴eq \f(－3a＋5,a)×eq \f(－3b＋5,b)＝－1， 化简得2ab＝3(a＋b)－5，② 由①②解得a＝1，b＝2， 所以点E(2,1)，又因为kAB＝eq \f(1,3)，所以直线AB方程为y－1＝eq \f(1,3)(x－2)， 即所求方程为x－3y＋1＝0. (3)设C(x0，y0)，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋x0,2)，\f(y0－2,2)))， Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋x0,2)，\f(y0＋3,2))). 因为点M在y轴上，所以eq \f(5＋x0,2)＝0，所以x0＝－5. 因为点N在x轴上，所以eq \f(y0＋3,2)＝0， 所以y0＝－3，即C(－5，－3)， 所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1,0)， 所以直线MN的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－\f(5,2))＝1， 即5x－2y－5＝0. [答案]　(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0 (2)x－3y＋1＝0　(3)5x－2y－5＝0 求直线方程的常用方法 (1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 提醒：谨防3种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 1．(2025·四川绵阳模拟)已知△ABC的顶点A(－6,0)，B(0,6)，其外心(外接圆圆心)、重心(三条中线交点)、垂心(三条高线点)在同一条直线上，且这条直线的方程为x－y＋3＝0，则顶点C的坐标是　________　. 解析：设顶点C的坐标是(m，n)， 则△ABC的重心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－6,3)，\f(n＋6,3)))， 由题意可知，eq \f(m－6,3)－eq \f(n＋6,3)＋3＝0，即m＝n＋3， 可知线段AB的中点为(－3,3)，斜率kAB＝eq \f(6－0,0－－6)＝1， 则线段AB的中垂线的方程为y－3＝－(x＋3)，即y＝－x， 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x，,x－y＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,2)，,y＝\f(3,2)，)) 即△ABC的外心坐标为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))， 由|MC|＝|MA|，即eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,2)))2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6＋\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,2)))2)， 可得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(9,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,2)))2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)， 解得n＝0或n＝－3， 即C(3,0)或C(0，－3)， 经检验C(3,0)或C(0，－3)均符合题意． 答案：(3,0)或(0，－3) 2．(2025·江苏模拟)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0 解析：A　[把A(2,1)坐标代入两条直线a1x＋ b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0,2a2＋b2＋1＝0， ∴2(a1－a2)＝b2－b1， 过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是：eq \f(y－b1,b2－b1)＝eq \f(x－a1,a2－a1)， ∴y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0， ∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为：2x＋y＋1＝0.] 3．(2025·内蒙古包头模拟)直线l被直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x＋2y＋5＝0所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为　________　. 解析：设直线l与l1：2x＋y－1＝0和l2：x＋2y＋5＝0，分别交于点A(a,1－2a)和B(－5－2b，b)， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－5－2b＝0，,1－2a＋b＝0，))解得a＝－1，b＝－3， 所以A(－1,3)和B(1，－3)，则kAB＝－3， 可得直线l的方程为y－3＝－3(x＋1)， 即3x＋y＝0. 答案：3x＋y＝0 直线方程的综合利用 ►[命题点1]　直线过定点问题　 [典例1] 　(2025·江苏模拟)经过直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2的定点，且斜率为－2的直线方程为　________　. [解析]　直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2化简为a(x＋2y)－x＋3y－2＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0,－x＋3y－2＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,5)，,y＝\f(2,5)，))则恒过的定点为：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(2,5)))，经过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(2,5)))，且斜率为－2的直线方程为：y－eq \f(2,5)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,5)))，化简为：10x＋5y＋6＝0. [答案]　10x＋5y＋6＝0 [思维升华]　直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标． 1．(2025·重庆三模)当点P(－1,0)到直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的距离最大时，实数λ的值为(　　 ) A．－1　 B．1　　 C．－2　 D．2 解析：B　[直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0， 整理得λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y－4＝0，,x＋y－2＝0，))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，)) 故直线恒过点A(1,1)， 点P(－1,0)到A(1,1)的距离dmax＝eq \r(－1－12＋0－12)＝eq \r(5)， 故kPA＝eq \f(1－0,1＋1)＝eq \f(1,2)； 直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的斜率k＝－eq \f(3λ＋1,λ＋1)， 故－eq \f(3λ＋1,λ＋1)×eq \f(1,2)＝－1，解得λ＝1.] ►[命题点2]　与基本不等式相结合的最值问题　 [典例2]　直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点． 求：(1)当|OA|＋|OB|最小时，直线l的方程； (2)当|PA|·|PB|最小时，直线l的方程． [解]　(1)依题意，l的斜率存在，且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k＜0)． 令y＝0，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0,4－k)． |OA|＋|OB|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)))＋(4－k)＝5－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k＋\f(4,－k)))≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k＝eq \f(4,－k)且k＜0， 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时l的方程为2x＋y－6＝0. (2)|PA|·|PB|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))2＋16)·eq \r(1＋k2) ＝－eq \f(4,k)(1＋k2)＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－k)))＋－k))≥8(k＜0)． ∴当且仅当eq \f(1,－k)＝－k且k＜0， 即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值． 这时l的方程为x＋y－5＝0. 先求出斜率或设出直线方程，准确地求出相关数据，列出不等式，并正确的利用不等关系，特别注意要做到：“一正、二定、三相等”． 2．(2025·安徽蚌埠模拟)在平面直角坐标系中，已知射线OA：x－y＝0(x≥0)，过点P(3,1)作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B. (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求△OAB面积的最小值． 解：(1)由题意可设A(x1，x1)，B(x2,0)，且x1，x2＞0. 当AB的中点为P时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2×3，,x1＋0＝2×1，)) 解得x1＝2，x2＝4，所以A(2,2)，B(4,0)． 所以直线AB的方程为eq \f(y－2,0－2)＝eq \f(x－2,4－2)，一般式方程为：x＋y－4＝0. (2)当过点P(3,1)的直线斜率不存在时，A(3,3)，B(3,0)， 此时S△OAB＝eq \f(1,2)|OB|·h＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2). 当过点P(3,1)的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为y－1＝k(x－3)(k≠1，k≠0)． 直线AB与x－y＝0(x≥0)相交，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－1,k－1)，\f(3k－1,k－1)))， 直线AB与x轴正半轴相交于点B，可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－1,k)，0)). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3k－1,k－1)＞0，,\f(3k－1,k)＞0，))解得k＞1或k＜0. 则S△OAB＝eq \f(1,2)|OB|·h＝eq \f(1,2)xByA＝eq \f(1,2)·eq \f(3k－1,k)·eq \f(3k－1,k－1). 令t＝3k－1，则k＝eq \f(1,3)(t＋1)(t＞2或t＜－1)， 可得S△OAB＝eq \f(9,2)×eq \f(t2,t2－t－2)＝eq \f(9,2)×eq \f(1,1－\f(1,t)－\f(2,t2))， 由t＞2或t＜－1，可得0＜eq \f(1,t)＜eq \f(1,2)或－1＜eq \f(1,t)＜0，1－eq \f(1,t)－eq \f(2,t2)＞0， 当eq \f(1,t)＝－eq \f(1,4)，即t＝－4，k＝－1时，1－eq \f(1,t)－eq \f(2,t2)＝eq \f(9,8)， 即0＜1－eq \f(1,t)－eq \f(2,t2)≤eq \f(9,8)，则(S△OAB)min＝4， 此时A(2,2)，B(4,0)符合题意． 综上，(S△OAB)min＝4. ►[命题点3]　与导数几何意义相结合的问题　 [典例3]　已知曲线y＝eq \f(1,ex＋1)，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为　________　. [解析]　y′＝eq \f(－ex,ex＋12)＝eq \f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)，因为ex>0，所以ex＋eq \f(1,ex)≥2eq \r(ex·\f(1,ex))＝2eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(当且仅当ex＝\f(1,ex)，))即eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝0时取等号))，所以ex＋eq \f(1,ex)＋2≥4，故y′＝eq \f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)≥－eq \f(1,4)(当且仅当x＝0时取等号)．所以当x＝0时， 曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，切线的方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为eq \f(1,2)，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). [答案]　eq \f(1,2) 与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y. (2)将问题转化成关于x(或y)的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值． 3．(2025·江苏模拟)若0＜k＜4，直线l1：y－4＝eq \f(k,2)(x－2)和直线 l2：y－4＝－eq \f(8,k2)(x－2)与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值为　________　. 解析：如图所示，直线l1：y－4＝eq \f(k,2)(x－2)，过定点B(2,4)，与y轴的交点C(0,4－k)， 直线l2：y－4＝－eq \f(8,k2)(x－2)过定点B(2,4)，与x轴的交点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2＋2，0))， 由题意知，四边形的面积等于△ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，所以所求四边形的面积为： eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2＋2－2))＋eq \f(2×4－k＋4,2)＝k2－k＋8， 当k＝eq \f(1,2)时，所求四边形的面积最小． 答案：eq \f(1,2) $$