主题三 第七章 第5节 空间直角坐标系、空间向量-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（必修第二册+选择性必修第一册） 第七章 立体几何与空间向量 第5节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第七章 立体几何与空间向量　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的概念 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴，y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz. (2)相关概念①坐标原点：　O　；②坐标轴：　x　轴(横轴)、　y　轴(纵轴)、　z　轴(竖轴)；③坐标平面：通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为　xOy　平面、　yOz　平面、　xOz　平面． (3)点的坐标表示 空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个　三元有序数组唯一　来刻画．三元有序数组(x, y, z)叫作点P在空间直角坐标系中点的坐标，记作P(x, y, z)，其中，x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． (4)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12). 特殊情况，空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|＝eq \r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋z\o\al(2,0)). 2．空间向量的概念 (1)定义：在空间中，我们把具有　大小　和　方向　的量叫作空间向量． (2)长度或模：空间向量的　大小　叫作空间向量的长度或模． (3)表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示. 表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))表示．②字母表示法：用字母a, b, c，…表示． 3．空间向量的有关概念 名称 定义 表示法 自由向量 与向量的起点无关 零向量 模为　0　的向量 0 单位向量 模为　1　的向量 |a|＝　1　或|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝　1　 相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量 A＝b或eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→)) 相反向量 方向　相反　且模　相等　的向量 　－a　 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线　平行　或　重合　时，称这两个向量互为共线向量或　平行　向量 a∥b 规定：零向量与任意向量　平行　 0∥a 共面向量 当表示向量a的有向线段所在直线　平行于　平面α或　在　平面α内时，就说向量a平行于平面α a∥α 平行于同一平面的向量，叫作共面向量．空间中，任意两个向量总是　共面　的 4.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝a－b；eq \o(OP,\s\up16(→))＝λa(λ∈R)． (2)空间向量加法的运算律 ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；其中λ∈R，μ∈R. 5．关于空间向量的有关定理 定理 语言描述 共线向量定理 两个空间向量a，b (b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ使　a＝λb　.把这个定理称为共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”) 共面向量定理 任意给定两个不共线的向量a，b，若存在实数x，y, 使得向量c＝xa＋yb.则向量c与a，b为共面向量 空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个　不共面　的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝　xa＋yb＋zc　 6.空间两向量的夹角及取值范围 (1)两个向量夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则　∠AOB　叫作向量a，b的夹角，记作　〈a，b〉　. (2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉＝　π　时，向量a与b方向相反，所以若a∥b，则〈a，b〉＝　0或π　；当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，向量a，b互相　垂直　，记作　a⊥b　. 7．空间两向量的数量积及运算律 (1)空间向量数量积定义：已知两个　空间　向量a，b，把　|a||b|cos〈a，b〉　叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝　|a||b|cos 〈a，b〉　.零向量与任意向量的数量积为　0　，即0·a＝　0　. (2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 8．空间向量投影 (1)向量b在向量a方向上的投影向量 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，过点　B　作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量eq \o(OB1,\s\up16(→))为向量b在向量a方向上的投影向量，则eq \o(OB1,\s\up16(→))＝|b|cos 〈a，b〉eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))). (2)向量b在向量a方向上的投影数量 称　|bcos〈a，b〉|　为投影向量eq \o(OB1,\s\up16(→))的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|). 9．空间向量的坐标运算 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量和 a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　 向量差 a－b＝　(x1－x2，y1－y2，z1－z2)　 数量积 a·b＝　 x1x2＋y1y2＋z1z2　 数乘向量 λa＝　(λx1，λy1，λz1)　，λ∈R 向量平行(共线) a∥b(b≠0)⇔∃λ∈R，使得a＝λb⇔∃λ∈R，使得 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))(a≠0，b≠0) 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)eq \o(PA,\s\up16(→))＝λeq \o(PB,\s\up16(→))(λ∈R)； (2)对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋teq \o(AB,\s\up16(→))(t∈R)； (3)对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))(x＋y＝1)． 2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面： (1)eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→))； (2)对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→))； (3)eq \o(PM,\s\up16(→))∥eq \o(AB,\s\up16(→))(或eq \o(PA,\s\up16(→))∥eq \o(MB,\s\up16(→))或eq \o(PB,\s\up16(→))∥eq \o(AM,\s\up16(→)))． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＝0.(　　) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　) (3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　) (4)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　) (5)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (6)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．有下列命题： ①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb； ③若eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→))，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→)). 其中真命题的个数是(　　) A．1　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：B　[其中①③为正确命题．] 2．在三棱锥P­ABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°，则eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(2) 解析：A　[因为三棱锥P­ABC中，PB＝PC＝1，∠APB＝∠APC＝90°，∠BPC＝60°，所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝(eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝|eq \o(PB,\s\up16(→))||eq \o(PC,\s\up16(→))|·cos∠BPC－0＝1×1×cos 60°＝eq \f(1,2).] 3．(BSD选择性必修第一册P109练习T2(4)改编)若〈a，b，c〉是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基的向量是(　　) A．a B．b C．c D．2a 解析：C　[由题意知，a，b，c不共面，对于选项A， a＝eq \f(1,2)[(a＋b)＋(a－b)]＝eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝eq \f(1,2)[(a＋b)－(a－b)]＝eq \f(1,2)m－eq \f(1,2)n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.] 4．(易错自纠)已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(BC,\s\up16(→))，则点M　________　(填“属于”或“不属于”)平面ABC. 解析：∵eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(4,5) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5)(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,5) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(OC,\s\up16(→))， ∵eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(2,5)＝1，∴M，A，B，C四点共面．即点M∈平面ABC. 答案：属于 空间向量的线性运算 1．(2025·四川省绵阳南山中学模拟)如图，设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，若eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \o(NB,\s\up16(→))，eq \o(BM,\s\up16(→))＝2eq \o(MC,\s\up16(→))，则eq \o(MN,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b－eq \f(2,3)c　　　 B．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b＋eq \f(2,3)c C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b－eq \f(1,3)c D．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)c 解析：A　[由题意得eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))) ＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,6)b－eq \f(2,3)c.] 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝a，eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝b，eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则eq \o(AG,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(5,6)c B.eq \f(2,3)a＋b＋eq \f(5,6)c C.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,6)c D．a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(5,6)c 解析：A　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝a，eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝b，eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，连接OG(图略)， 则eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OG,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＋eq \f(1,3)(eq \o(OD1,\s\up16(→))＋eq \o(OC1,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c)＋ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BA,\s\up16(→))＋\o(BC,\s\up16(→))＋\o(DD1,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))＋\o(CC1,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,2)(b＋c)＋eq \f(1,6)(－b＋c)＋eq \f(1,3)a＋eq \f(1,6)(b＋c)＋eq \f(1,3)a＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(5,6)c.] 3．(2025·河南濮阳模拟)已知直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的底面为梯形，AB＝BB1＝eq \f(3,2)C1D1＝6，CD∥AB，eq \o(BM,\s\up16(→))＝λeq \o(MB1,\s\up16(→))(0＜λ＜1)，若DD1∩平面AC1M＝N，则DN＝(　　 ) A.eq \f(4λ,λ＋1)　 B.eq \f(4λ＋2,λ＋1)　　 C.eq \f(2λ＋6,λ＋1)　　 D.eq \f(2λ＋4,λ＋1) 解析：C　[因为四棱柱ABCD ­A1B1C1D1为直四棱柱，CD∥AB， 故平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 而平面AMC1N∩平面DCC1D1＝C1N， 平面AMC1N∩平面ABB1A1＝AM， 故AM∥C1N， 又C1D1∥CD∥AB，则∠D1C1N＝∠BAM， 故Rt△C1D1N∽Rt△ABM， 故eq \f(C1D1,D1N)＝eq \f(AM,BM)，又AB＝BB1＝eq \f(3,2)C1D1＝6， eq \o(BM,\s\up16(→))＝λeq \o(MB1,\s\up16(→))(0＜λ＜1)，则BM＝eq \f(6λ,λ＋1)， 则eq \f(4,D1N)＝eq \f(6,\f(6λ,λ＋1))，故D1N＝eq \f(4λ,λ＋1)， 则DN＝6－eq \f(4λ,λ＋1)＝eq \f(2λ＋6,λ＋1).] 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 共线、共面向量定理及应用 [典例]　(1)四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则＝(　　 ) A.eq \f(1,2)　　 B.eq \f(2,3)　　　 C.eq \f(3,4)　　　 D.eq \f(4,5) [解析]　如图：连接DG交BC于点H，则H为BC的中点，连接AH，EH，AG， 因为AG⊂平面AHD，EH⊂平面AHD，设AG∩EH＝K，则K∈EH，K∈AG， 又EH⊂平面BCE，所以K∈平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点， 又因为AG与平面BCE交于点F，所以F与K重合， 又E为AD的中点，G为平面BCD的重心， 因为点A，F，G三点共线， 则eq \o(AF,\s\up16(→))＝meq \o(AG,\s\up16(→))＝m(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DG,\s\up16(→)))＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)\o(DH,\s\up16(→)))) ＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(2,3)×\f(\o(DB,\s\up16(→))＋\o(DC,\s\up16(→)),2))) ＝meq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,3)×\o(AB,\s\up16(→))－\o(AD,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))－\o(AD,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,3)m(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))) 又因为点E，F，H三点共线，则eq \o(AF,\s\up16(→))＝xeq \o(AH,\s\up16(→))＋yeq \o(AE,\s\up16(→))，(x＋y＝1)， eq \o(AF,\s\up16(→))＝xeq \o(AH,\s\up16(→))＋yeq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(x,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＋eq \f(y,2) eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m,3)＝\f(x,2)，,x＋y＝1，,\f(m,3)＝\f(y,2)，))解得m＝eq \f(3,4)，即eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(3,4) eq \o(AG,\s\up16(→))，故eq \f(|AF|,|AG|)＝eq \f(3,4). [答案]　C (2)如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \o(AM,\s\up16(→))＝keq \o(AC1,\s\up16(→))，eq \o(BN,\s\up16(→))＝keq \o(BC,\s\up16(→))(0≤k≤1)．判断向量eq \o(MN,\s\up16(→))是否与向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))共面． [解]　∵eq \o(AM,\s\up16(→))＝keq \o(AC1,\s\up16(→))，eq \o(BN,\s\up16(→))＝keq \o(BC,\s\up16(→))， ∴eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BN,\s\up16(→))＝keq \o(C1A,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋keq \o(BC,\s\up16(→)) ＝k(eq \o(C1A,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝k(eq \o(C1A,\s\up16(→))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→)))＋eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝keq \o(B1A,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－keq \o(AB1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－k(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＝(1－k)eq \o(AB,\s\up16(→))－keq \o(AA1,\s\up16(→))， ∴由共面向量定理知向量eq \o(MN,\s\up16(→))与向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))共面． 空间共线向量定理、共面向量定理的应用 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 eq \o(PA,\s\up16(→))＝λeq \o(PB,\s\up16(→)) eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋teq \o(AB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－x)eq \o(OB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OM,\s\up16(→))＋yeq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－x－y)eq \o(OB,\s\up16(→)) 1．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且|D1E|＝eq \f(1,3)|EB|，点F在棱D1C1上，若A、E、F三点共线，则|D1F|＝　________　|FC1|. 解析：因为正方体中，eq \o(D1B,\s\up16(→))＝eq \o(D1A,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(D1A,\s\up16(→))＋eq \o(D1C1,\s\up16(→))， 设|D1F|＝λ|FC1|，又|D1E|＝eq \f(1,3)|EB|，所以4eq \o(D1E,\s\up16(→))＝eq \o(D1A,\s\up16(→))＋eq \f(λ＋1,λ) eq \o(D1F,\s\up16(→))， 即eq \o(D1E,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(D1A,\s\up16(→))＋eq \f(λ＋1,4λ) eq \o(D1F,\s\up16(→))，因为A、E、F三点共线，所以eq \f(1,4)＋eq \f(λ＋1,4λ)＝1， 解得λ＝eq \f(1,2)，即|D1F|＝eq \f(1,2)|FC1|. 答案：eq \f(1,2) 2．(2025·全国模拟)已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq \o(PM,\s\up16(→))＝eq \o(PB1,\s\up16(→))＋7eq \o(BA,\s\up16(→))＋6eq \o(AA1,\s\up16(→))－4eq \o(A1D1,\s\up16(→))，那么点M必在平面　________　内． 解析：因为eq \o(PM,\s\up16(→))＝eq \o(PB1,\s\up16(→))＋7eq \o(BA,\s\up16(→))＋6eq \o(AA1,\s\up16(→))－4eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝eq \o(PB1,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋6eq \o(BA1,\s\up16(→))－4eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝eq \o(PB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1A1,\s\up16(→))＋6eq \o(BA1,\s\up16(→))－4eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝eq \o(PA1,\s\up16(→))＋6(eq \o(PA1,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→)))－4(eq \o(PD1,\s\up16(→))－eq \o(PA1,\s\up16(→)))＝11eq \o(PA1,\s\up16(→))－6eq \o(PB,\s\up16(→))－4eq \o(PD1,\s\up16(→))，11－6－4＝1. 所以M，B，A1，D1四点共面，即点M必在平面BA1D1内． 答案：BA1D1 空间向量的数量积及应用 ►[命题点1]　求空间向量的数量积　 1．(2025·黑龙江哈尔滨市模拟)在三棱锥P­ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则eq \o(PD,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))的值为(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．与D点位置关系 解析：A　[如图所示，取AB的中点E，连接PE，CE， ∵△PAB和△ABC都是等边三角形， ∴PE⊥AB，CE⊥AB， ∵PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PEC， ∴AB⊥平面PEC，∵PC⊂平面PEC， ∴AB⊥PC，即AD⊥PC. 在△APC中，AP＝AC＝2，PC＝1， 由余弦定理，cos∠APC ＝eq \f(AP2＋PC2－AC2,2AP×PC)＝eq \f(4＋1－4,4)＝eq \f(1,4)， ∴eq \o(PD,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝2×1×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).] 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. ►[命题点2]　利用数量积求长度　 2．(2025·四川绵阳模拟)如图，空间四边形OABC中，OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝eq \f(π,2)，∠AOB＝eq \f(π,3)，点M，N分别在OA，BC上，且OM＝2MA，BN＝CN，则MN＝(　　) A.eq \f(\r(22),3) B.eq \f(\r(46),3) C.eq \f(\r(34),3) D.eq \f(\r(21),3) 解析：A　[∵OM＝2MA，BN＝CN， ∴eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up16(→)). 又OA＝OB＝OC＝2， ∠AOC＝∠BOC＝eq \f(π,2)，∠AOB＝eq \f(π,3)， 所以eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，eq \o(OB,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|·|eq \o(OB,\s\up16(→))|coseq \f(π,3)＝2， 所以eq \o(MN,\s\up16(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)\o(OA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up16(→))))2 ＝eq \f(4,9) eq \o(OA,\s\up16(→))2＋eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up16(→))2＋eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up16(→))2－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝eq \f(4,9)|eq \o(OA,\s\up16(→))|2＋eq \f(1,4)|eq \o(OB,\s\up16(→))|2＋eq \f(1,4)|eq \o(OC,\s\up16(→))|2－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝eq \f(4,9)×22＋eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22－eq \f(2,3)×2＝eq \f(22,9)， 所以|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(22),3).] 3．(2025·全国模拟)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足A1M⊥C1E，则线段AM的长的最小值为(　　) A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C．1 D.eq \f(\r(5),2) 解析：B　[如图所示，建立空间直角坐标系， 设A1(0,0,1)，C1(1,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，M(x，y,0)， 所以eq \o(A1M,\s\up16(→))＝(x，y，－1)，eq \o(C1E,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1，－1))，由A1M⊥C1E，可得－eq \f(1,2)x－y＋1＝0，即x＋2y－2＝0，所以线段AM的长的最小值为eq \f(2,\r(12＋22))＝eq \f(2\r(5),5).] (1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2)求模长时，可根据|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1)). ►[命题点3]　利用数量积求夹角　 4．(2025·四川省成都市模拟)已知a＝(cos α，－1，sin α)，b＝(sin α，－1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角为(　　) A．90° B．60° C．30° D．0° 解析：A　[因为a＝(cos α，－1，sin α)， b＝(sin α，－1，cos α)， 所以a＋b＝(cos α＋sin α，－2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)， 设向量a＋b与a－b的夹角为β，则cos β＝ ＝eq \f(cos2α－sin2α＋0＋sin2α－cos2α,\r(6＋2sin 2α)×\r(2－2sin 2α))＝0， 因为β∈[0，π]，所以β＝eq \f(π,2)，故向量a＋b与a－b的夹角为eq \f(π,2).] 5．(2025·辽宁沈阳模拟预测)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝CC1＝2，BC＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　 ) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5) C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(3),3) 解析：C　[以B为原点，在平面ABC内过点B作BC的垂线交AC于点D， 以BD为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝CC1＝2，BC＝1，所以A(eq \r(3)，－1,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)， 所以eq \o(AB1,\s\up16(→))＝(－eq \r(3)，1,2)，eq \o(BC1,\s\up16(→))＝(0,1,2)， 设异面直线AB1与BC1所成角为θ， 所以cos θ＝＝eq \f(5,\r(8)×\r(5))＝eq \f(\r(10),4).] 求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos〈a，b〉＝eq \f(|a·b|,|a||b|).要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即a·b＝0⇔a⊥b，〈a，b〉为锐角⇒a·b＞0，〈a，b〉为钝角⇒a·b＜0.由此，通常通过计算a·b的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角． ►[命题点4]　解决平行或垂直及向量的投影问题　 6．(2025·浙江嘉兴模拟预测)设x，y∈R，a＝(1,1,1)，b＝(1，y，z)，c＝(x，－4,2)，且a⊥c，b∥c， 则|2a＋b|＝(　　 ) A．2eq \r(2) B．0 C．3 D．3eq \r(2) 解析：D　[由a⊥c⇒a·c＝0⇒x－4＋2＝0⇒x＝2，由b∥c⇒eq \f(1,2)＝eq \f(y,－4)＝eq \f(z,2)⇒y＝－2，z＝1. 所以|2a＋b|＝|2(1,1,1)＋(1，－2,1)|＝|(3,0,3)|＝3eq \r(2).] 7．(2025·福建莆田一中模拟)已知a＝(2,0,1)，b＝(3,2，－5)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A.eq \f(1,5)(3,2，－5) B.eq \f(1,38)(3,2，－5) C.eq \f(1,5)(2,0,1) D.eq \f(1,38)(2,0,1) 解析：C　[因为a＝(2,0,1)，b＝(3,2，－5)． 则向量b在向量a上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(2×3＋0×2＋1×－5,\r(4＋1))＝eq \f(\r(5),5)， 所以向量b在向量a上的投影向量是eq \f(\r(5),5)×eq \f(a,|a|)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(1,\r(5))a＝eq \f(1,5)a＝eq \f(1,5)(2,0,1)．] 8．(2025·江苏徐州模拟)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为6，点M为CC1的中点，点P为底面A1B1C1D1上的动点，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为(　　) A．2eq \r(2)π　　 B．3eq \r(2)　　 C．6eq \r(3)　　 D．3eq \r(3)π 解析：B　[分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(6,0,0)，B(6,6,0)，M(0,6,3)，设P(x，y,6)，x∈[0,6]，y∈[0,6]， 则eq \o(AM,\s\up16(→))＝(－6,6,3)，eq \o(BP,\s\up16(→))＝(x－6，y－6,6)， 由BP⊥AM，得－6(x－6)＋6(y－6)＋3×6＝0，即y＝x－3， 由于x∈[0,6]，y∈[0,6]， 所以x∈[3,6]，y∈[0,3]， 所以点P的轨迹为平面A1B1C1D1上的直线：y＝x－3，x∈[3,6]，即图中的线段EF， 由图知：EF＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2).] (1)利用向量平行或垂直的坐标表示，将平行或垂直问题转化为向量的坐标运算． (2)利用向量b在向量a方向上的投影向量公式|b|cos 〈a，b〉eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))，转化为向量的坐标运算． $$