主题三第七章第4节垂直关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-09-10

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主题三几何与代数（必修第二册+选择性必修第一册）第七章立体几何与空间向量第4节垂直关系下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的　任何一条　直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，直线l称为平面α的　垂线　，平面α称为直线l的　垂面　，它们唯一的公共点P称为　垂足　. 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的　两条相交直线　垂直，那么该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线　平行　 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥αb⊥α))⇒a∥b 3.直线与平面的夹角定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．规定：一条直线垂直于平面，它们的夹角是　直角　；一条直线与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是　0°的角　.若直线与平面的夹角为θ，则0°≤θ≤90°. 4．二面角 (1)定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为　半平面　.从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形称为　二面角　.这条直线称为二面角的　棱　，这两个半平面称为二面角的　面　. (2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于　棱　的两条射线，则这两条射线所成的　角　称为二面角的平面角．平面角是　直角　的二面角叫做直二面角．记法：棱为l、面分别为α，β的二面角记为αlβ. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们规定，二面角的取值范围是[0，π]． 5．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是　直二面角　，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作　α⊥β　. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的　横边　垂直．如图所示． (2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的　垂线　，那么这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，如果　一个平面内有一条直线　垂直于这两个平面的　交线　，那么这条直线与另一个平面　垂直　 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两条直线与一个平面的夹角相等，则这两条直线平行．(　　) (4)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.(　　) (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ　　　　　　　　　 B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：D　[若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α，γ可以平行，垂直，相交且不垂直．] 2．已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是(　　) A．3　　　 B．2　　　　 C．1　　　 D．0 解析：C　[如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，夹角为60°，①错误，②正确；对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④错误．] 3．(2025·福建泉州模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是(　　 ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ C．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β D．若m∥n，m∥α，则n∥α 解析：C　[对于A，因为α⊥β，设α∩β＝l，又因为m⊂α，n⊂β，则当m∥l，n∥l时，m∥n，故A错误；对于B，若α∩γ＝l，且l⊥β，则有α⊥β，β⊥γ，故B错误；对于C，因为m⊥α，m∥n，故n⊥α，又由n∥β，故存在直线a⊂β，且a∥n，此时a⊥α，由面面垂直的判定定理知α⊥β，故C正确；对于D，当m∥n，m∥α，则n∥α或者n⊂α，故D错误．] 4．(BSD必修第二册P230练习T2(1)改编)“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的　　________　　条件．解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”⇒/ “直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件．答案：必要不充分 5．(忽视平面到空间的变化致误)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为　________　. 解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．答案：平行、相交或异面垂直关系的基本问题 1．(2025·江西模拟)如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB＝CD＝1，BD＝eq \r(2)，BC＝AD＝eq \r(3)，则四面体中存在面面垂直关系的对数为(　　) A．2　 B．3　　 C．4　 D．5 解析：B　[因为AB＝1，BD＝eq \r(2)，AD＝eq \r(3)，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD，又AB⊥CD，BD∩CD＝D，BD⊂平面BCD，CD⊂平面BCD.所以AB⊥平面BCD.又AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.因为CD＝1，BD＝eq \r(2)，BC＝eq \r(3)，所以CD2＋BD2＝BC2，所以CD⊥BD.又CD⊥AB，BD∩AB＝B，BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，综上可知有3对．] 2．(2025·湖南模拟)已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线AB⊥EF的图形的个数为(　　 ) A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　 D．4 解析：D　[对于①：如下图所示，点C为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，易证AB⊥FC，由CE⊥平面ACF，得出EC⊥AB，FC，EC⊂平面ECF， FC∩EC＝C，从而由线面垂直的判定得出AB⊥平面ECF，则AB⊥EF，故①正确；图1 对于②：如下图所示，点D为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，易证AB⊥DE，由DF⊥平面BDE，得出DF⊥AB，DE，DF⊂平面DEF， DE∩DF＝D，从而由线面垂直的判定得出AB⊥平面DEF，则AB⊥EF，故②正确；图2 对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，易证EF⊥AG，由BG⊥平面EFG，得出EF⊥BG，AG，BG⊂平面ABG， AG∩BG＝G，从而由线面垂直的判定得出EF⊥平面ABG，则AB⊥EF，故③正确；图3 对于④：如下图所示，点H为所在棱的中点，由③可知，AB⊥HE，由中位线定理及等腰三角形的性质，易证BM⊥FH，由AM⊥平面FHM，得出AM⊥FH，AB，AM⊂平面ABM，AB∩AM＝A，从而由线面垂直的判定得出FH⊥平面ABM，则AB⊥FH，HE，FH⊂平面EFH，HE∩FH＝H，由线面垂直的判定可得AB⊥平面EFH，则AB⊥EF，故④正确．] 图4 解决垂直关系的基本问题要注意 (1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形成印象来判断． (2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了． (3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．直线与平面垂直的判定与性质 ►[命题点1]　直线与平面垂直的判定　 [典例1]　(2025·四川乐山三模)如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，AA1＝eq \r(6)，∠A1AB＝∠A1AD，AA1与平面ABCD所成的角为45°，AC与BD交于点O.证明：A1O⊥平面ABCD. 解：连接BC1，DC1， ∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴AB＝AD. ∵∠A1AB＝∠A1AD，AA1＝AA1， ∴△A1AB≌△A1AD，∴BA1＝DA1. ∵点O为线段BD中点，∴A1O⊥BD. ∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AC∩A1O＝O，AC，A1O⊂平面AA1C，∴BD⊥平面AA1C，又BD⊂平面ABCD， ∴平面A1AC⊥平面ABCD， ∴AA1在平面ABCD上的射影为AC， ∴∠A1AO为直线AA1与平面ABCD所成的角，即∠A1AO＝45°. 在△A1AO中，AA1＝eq \r(6)，AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(3)，∠A1AO＝45°， ∴cos∠A1AO＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(A1A2＋OA2－A1O2,2×A1A×OA)， ∴A1O＝eq \r(3). 则A1A2＝OA2＋A1O2，∴A1O⊥OA. 又OA∩BD＝O，OA⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴A1O⊥平面ABCD. 证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③面面平行的性质a⊥α，α∥β ⇒a⊥β；④面面垂直的性质α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β ⇒l⊥α. 1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝eq \r(3)；③AA1＝eq \r(2). 解：(1)证明：∵ABCA1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点， ∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF. 连接DF，A1B，∴DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，则AB＝eq \r(2)，又AA1＝eq \r(2)，则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1， ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. ∵DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF， ∴AB1⊥平面C1DF. ►[命题点2]　直线与平面垂直的性质　 [典例2]　(2025·山东省莱西市第一中学模拟)如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，AC＝BC，F是EB的中点． (1)求证：DF∥平面ABC； (2)求证：DF⊥平面EAB. [证明]　(1)取AB的中点G，连接CG，FG， ∵F是EB的中点，∴FG∥EA，FG＝eq \f(1,2)EA， ∵EA和DC都垂直于平面ABC，∴EA∥DC， ∵EA＝2DC，∴FG∥DC，FG＝DC， ∴四边形CDFG为平行四边形，从而DF∥CG， ∵DF⊂平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC. (2)∵EA垂直于平面ABC，CG⊂平面ABC， ∴CG⊥EA， ∵AC＝BC，∴CG⊥AB， ∵EA∩AB＝A，EA，AB⊂平面EAB，∴CG⊥平面EAB，由(1)可知：DF∥CG，∴DF⊥平面EAB. 证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．(2025·辽宁沈阳二十中模拟)已知四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且AE＝eq \f(1,3)AD，BC＝3，O为AB的中点，PA＝PB，AB＝eq \f(2,3)AD. 证明：EC⊥PE. 证明：连接OE(图略)，因为平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝PB，O为AB的中点，所以PO⊥AB，所以PO⊥平面ABCD，因为EC⊂平面ABCD，所以PO⊥EC，因为四边形ABCD为矩形，BC＝AD＝3，CD＝AB＝eq \f(2,3)AD＝2，所以AE＝eq \f(1,3)AD＝1，DE＝2，且EC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，OE＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)， OC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，所以OE2＋EC2＝OC2，所以OE⊥EC，又因为PO∩OE＝O且PO，OE⊂平面POE，所以EC⊥平面POE，因为PE⊂平面POE，所以EC⊥PE. 平面与平面垂直的判定与性质 [典例]　如图，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq \f(AE,AC)＝eq \f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)．求证：(1)不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC； (2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD? [证明]　(1)∵AB⊥平面BCD.∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC. 又∵eq \f(AE,AC)＝eq \f(AF,AD)＝λ(0＜λ＜1)．∴不论λ为何值，恒有EF∥CD. ∴EF⊥平面ABC，又∵EF⊂平面BEF. ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. (2)由(1)知，BE⊥EF. 又∵平面BEF⊥平面ACD.∴BE⊥平面ACD. ∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°. ∴BD＝eq \r(2)，AB＝eq \r(2)tan 60°＝eq \r(6). ∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(7)，由AB2＝AE×AC，得AE＝eq \f(6,\r(7)).∴λ＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(6,7). 故当λ＝eq \f(6,7)时，平面BEF⊥平面ACD. 1．掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明． 2．已知两个平面垂直时，在其中一个平面内过一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1BB1C1C的高．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC， A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BCC1B1，所以四棱锥A1BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，又因为A1B＝AB，BC为公共边，所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC. 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x，所以O为CC1中点，OC1＝eq \f(1,2)AA1＝1，又因为A1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq \o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq \r(2)，所以A1O＝eq \r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq \r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱锥A1BB1C1C的高为1. 线面夹角与二面角 [典例]　(2025·山东泰安市模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝4. (1)证明：平面A1BC⊥平面AB1C1； (2)若A1B1与平面AB1C1夹角的正弦值为eq \f(\r(2),4)，求二面角A1ACB1的余弦值． [解]　(1)证明：由题知，四边形ACC1A1为菱形，则AC1⊥CA1，又平面ACC1A1⊥平面ABC，且AC为交线， AC⊥BC，则BC⊥平面ACC1A1，又AC1⊂平面ACC1A1，则BC⊥AC1，又BC∩CA1＝C，BC，CA1⊂平面A1BC，则AC1⊥平面A1BC，又AC1⊂平面AB1C1，所以平面A1BC⊥平面AB1C1. (2)设A1C∩AC1＝E，由(1)知，A1E⊥平面AB1C1，则∠A1B1E即为A1B1与平面AB1C1的夹角， sin∠A1B1E＝eq \f(A1E,A1B1)＝eq \f(\r(2),4)，由AC＝BC＝CC1＝4，结合(1)中结论有，AB＝A1B1＝4eq \r(2)，则A1E＝2，A1C＝4，三角形ACA1为正三角形，在菱形ACC1A1中， AC1＝4eq \r(3)，∠ACC1＝120°，∠CAC1＝30°，由(1)知，B1C1⊥平面ACC1A1，则B1C1⊥AC，延长AC，作C1F⊥AC于点F，则C1F＝ AC1sin∠CAC1＝2eq \r(3)， AC⊥平面B1C1F，从而AC⊥B1F，则∠B1FC1即为二面角A1ACB1的平面角，则tan∠B1FC1＝eq \f(B1C1,C1F)＝eq \f(4,2\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，则cos∠B1FC1＝eq \f(\r(21),7)，即二面角A1ACB1的余弦值为eq \f(\r(21),7). 1．斜线与平面的夹角，首先作出面的垂线，才得出斜线在面内的射影，才可得出斜线与平面的夹角，转化为直角三角形求解． 2．作二面角的平面角的常用方法有 ①直接法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点； ②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角； ③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法．　(2025·贵州黔东南模拟)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E为BC的中点． (1)求证：AE∥平面A1CB1； (2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．解：(1)取BB1中点M，连接AM，ME，B1M＝ eq \f(1,2)BB1＝eq \r(7)＝AA1，如图所示，又因为BB1∥AA1，所以B1M∥AA1，所以四边形AA1B1M为平行四边形，所以A1B1∥AM，又A1B1⊂平面A1B1C，AM⊄平面A1B1C，所以AM∥平面A1B1C，因为点E，M为BC，BB1的中点，所以ME∥B1C，又B1C⊂平面A1B1C，ME⊄平面A1B1C，所以ME∥平面A1B1C，又ME∩AM＝M，ME，AM⊂平面AME，所以平面AME∥平面A1B1C，又AE⊂平面AME，所以AE∥平面A1B1C. (2)因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，因为BB1⊂平面BCB1，所以平面BCB1⊥平面ABC，因为AB＝AC，点E为BC的中点，所以AE⊥BC，因为平面BCB1∩平面ABC＝BC， AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCB1，由(1)得四边形AA1B1M为平行四边形，所以AM∥A1B1，所以直线A1B1与平面BCB1所成角和直线AM与平面BCB1所成角相等，因为AE⊥平面BCB1，所以∠AME即为直线AM与平面BCB1所成角，因为点E为BC的中点，BC＝2eq \r(5)，所以BE＝eq \r(5)，AE＝eq \r(32－5)＝2，EM＝eq \r(5＋\r(7)2)＝2eq \r(3)，所以tan∠AME＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，由∠AME∈eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠AME＝eq \f(π,6)，所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为eq \f(π,6). $$

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