主题三第七章第3节平行关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-09-10

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主题三几何与代数（必修第二册+选择性必修第一册）第七章立体几何与空间向量第3节平行关系下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题． 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与　此平面内的一直线平行　，那么该直线与此平面平行 ∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α 性质定理一条直线与一个平面平行，如果　过该直线的平面与此平面相交　，那么该直线与交线平行 ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b，∴l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的　两条相交直线　与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α， b⊂α，∴α∥β 性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线　平行　 ∵α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b，∴a∥b 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． 6．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　) (4)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　) (5)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，则直线a∥平面β.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(BSD必修第二册P223习题6－4A组T1(3)改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交解析：D　[因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a和平面α内的任意一条直线都不相交．] 2．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 解析：A　[由正方体可得EG∥E1G1，E1F∥GH1，EG∩GH1＝G，E1G1∩E1F＝E1，由面面平行的判定定理可知平面E1FG1与平面EGH1平行．] 3．如图所示，四棱锥PABCD中，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH，则GH与EF的位置关系为(　　) A．相交　 B．平行　　 C．垂直　 D．异面解析：B　[因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEHF＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.] 4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E，交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为　________　. 解析：由面面平行的性质定理可得AE∥C1F，AF∥C1E，故四边形AEC1F为平行四边形．答案：平行四边形 5．(空间图形位置关系考虑不全面致误) ①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b. 其中正确命题的序号有　________　. 解析：②中α，β可能平行可能相交．③a，b可能平行可能异面，①④正确．答案：①④ 平行关系的基本问题 1．(2025·贵州遵义模拟)已知平面α，β，γ满足α⊥β，β⊥γ，α⊥γ，下列结论正确的是(　　 ) A．若直线l⊥α，则l∥β或l∥γ B．若直线l∥α，则l与β和γ相交 C．若l⊂α，则l⊥β，且l⊥γ D．若直线l过空间某个定点，则与α，β，γ成等角的直线l有且仅有4条解析：D　[在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD，平面ADD1A1，平面CDD1C1两两垂直，令平面ABCD为平面α，平面ADD1A1为平面β，平面CDD1C1为平面γ，对于A，直线DD1⊥α，DD1⊂β，DD1⊂γ，当l为直线DD1时，l⊂β，l⊂γ，A错误；对于B，A1B1∥α，当l为直线AB时，l∥γ，B错误；对于C，AB⊂α，当l为直线AB时，l∥γ，C错误；对于D，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AC1，A1C，BD1，B1D相交于点O，它们与平面ABCD，平面ADD1A1，平面CDD1C1所成的角都相等，而正方体过其中心的直线有且只有4条直线与该正方体各个面所成的角相等，过空间给定点作直线平行于直线AC1，A1C，BD1，B1D之一，所得直线与α，β，γ所成角相等，因此直线l过空间某个定点，与α，β，γ成等角的直线l有且仅有4条，D正确．] 2．(2025·陕西西北工业大学附属中学模拟)如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定解析：B　[连接AC交BD于点E，连接MN，EN，A′C′，而M，N分别是A′D′，D′C′的中点，所以MN∥A′C′∥AC，即MN∥AE，且2MN＝A′C′＝AC＝2AE，即MN＝AE，则AENM为平行四边形，故AM∥EN，由AM⊄平面BND，EN⊂平面BND，则AM∥平面BND.] 3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝eq \f(2,3)BD1，则下面说法正确的是　________　(填序号)． ①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC. 解析：如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN⊂平面APC，所以MN∥平面APC是错误的．对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q⊄平面APC.所以C1Q∥平面APC是正确的．对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的．对于④，由①知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．答案：②③ 解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意： (1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．直线与平面平行的判定与性质 ►[命题点1]　直线与平面平行的判定　 [典例1]　(2025·陕西商洛模拟预测)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是PD和BC的中点，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD＝2. (1)证明：MN∥平面PAB； (2)求三棱锥MABC的体积．解：(1)如图，取PA的中点E，连接EB，EM，因为ME是△PAD的中位线，所以ME∥AD，且ME＝eq \f(1,2)AD，又因为BN∥AD且BN＝eq \f(1,2)AD，所以ME∥BN且ME＝BN，所以四边形MEBN是平行四边形，所以MN∥BE，又因为MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB. (2)取AB的中点F，连接PF，因为PA＝PB＝AB，所以PF⊥AB，且PF＝eq \r(3)，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD，因为S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·BC＝2，PF＝eq \r(3)，所以VPABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·PF＝eq \f(2\r(3),3)，又因为M是PD的中点，所以VM ABC＝eq \f(1,2)VP ABC＝eq \f(\r(3),3). 判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 1．(2025·四川成都模拟)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且CE＝EB，AF＝FP. 求证：EF∥平面PCD. 证明：如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在△PAD中，点G，F分别为PD，AP的中点， ∴GF∥AD且GF＝eq \f(1,2)AD. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点，∴CE∥AD且CE＝eq \f(1,2)AD， ∴GF∥EC且GF＝EC. ∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC∥EF. 又∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD， ∴EF∥平面PCD. ►[命题点2]　直线与平面平行的性质　 [典例2]　如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq \r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． [解]　(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. (2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK，因为PA＝PC，点O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABO内，所以PO⊥平面ABCD，又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH，因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥平面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高，由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝eq \f(1,4)BD＝eq \f(1,2)OB，即点K是OB的中点．再由PO∥GK，得GK＝eq \f(1,2)PO，即点G是PB的中点，同理GH＝eq \f(1,2)BC＝4，由已知可得OB＝4eq \r(2)，PO＝eq \r(PB2－OB2)＝eq \r(68－32)＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝eq \f(GH＋EF,2)·GK＝eq \f(4＋8,2)×3＝18. 线面平行的性质定理是用来证明线线平行的，其关键是转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行． 2.(2025·江苏模拟预测)如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1被平面α所截，截面为CDEF，且EF＝DC，DC＝2AD＝4A1E＝2，∠ADC＝eq \f(π,3)，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为eq \f(4,3) eq \r(3).证明：AD∥BC. 解：在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩α＝CD，平面A1B1C1D1∩α＝EF，则EF∥CD，而C1D1∥CD且C1D1＝CD，又因为EF＝CD，因此C1D1∥EF且C1D1＝EF，则四边形EFC1D1是平行四边形，所以A1D1∥B1C1，又因为A1D1∥AD，BC∥B1C1，所以AD∥BC. 平面与平面平行的判定与性质 ►[命题点1]　平面与平面平行的判定　 [典例1]　(2025·甘肃武威模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点． (1)求证：EF∥平面BCC1B1； (2)在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由． [解]　(1)证明：因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中点，所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B.又因为EF平面BCC1B1，B1B平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1. (2)取BC1的中点G，连接GE，GF(图略)．因为E为AC1的中点，所以GE∥AB. 因为GE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，同理可得，EF∥平面ABB1A1，又因为EF∩EG＝E，EG，EF平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1. 故在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1. 判定面面平行的方法方法一利用定义方法二利用面面平行的判定定理方法三利用线线平行直接证面面平行方法四利用面面平行的传递性(α∥β，β∥γ ⇒α∥γ) 方法五利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β ⇒α∥β) 提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行． 1．(2025·山东模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，点E，F分别为边AA1，DD1的中点． (1)求三棱锥EA1BC的体积； (2)证明：平面CFA1∥平面BDE. 解：(1)显然三棱锥EA1BC与三棱锥CA1BE的体积相等，即VEA1BC＝VCA1BE， ∵长方体ABCDA1B1C1D1， ∴三棱锥CA1BE的高为BC，且三棱锥CA1BE的底面面积即△A1BE的面积为S＝eq \f(1,2)×1×4＝2，∴ 三棱锥EA1BC的体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×2×2＝eq \f(4,3). (2)证明：∵长方体ABCDA1B1C1D1， ∴AA1∥DD1，AA1＝DD1， ∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点， ∴A1E＝DF，A1E∥DF， ∴四边形A1EDF为平行四边形，∴A1F∥ED，又A1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE， ∴A1F∥平面BDE，如图，连接AC交BD于点O，连接EO， ∴点O为AC的中点， ∴EO∥A1C，又A1C⊄平面BDE，EO⊂平面BDE， ∴A1C∥平面BDE， ∵A1C∩A1D＝A1，∴平面CFA1∥平面BDE. ►[命题点2]　平面与平面平行的性质　 [典例2]　(2025·江苏模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求eq \f(AD,DC)的值． [解]　连接A1B交AB1于点O，连接OD1，如图所示，由棱柱的性质可知，四边形AA1B1B为平行四边形，所以O为A1B的中点，因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1， ∴OD1∥BC1，则D1为A1C1的中点，则D1C1＝eq \f(1,2)A1C1， ∵平面BC1D∥平面AB1D1，平面AA1C1C∩平面BC1D＝C1D，平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥C1D，又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD＝C1D1＝eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(1,2)AC，因此eq \f(AD,DC)＝1. 1．面面平行的性质 (1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面． (2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行． 2．线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向． 2．(2025·陕西宝鸡市模拟)如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点，证明：直线PF∥平面ACG. 证明：如图，连接EC、EB，EB与AC相交于点O，连接OG，因为BC∥AD，AB⊥AD，E为线段AD的中点，AD＝2BC＝2AB，所以四边形ABCE为矩形，O为EB的中点，因为G为PB的中点，所以OG为△PBE的中位线，OG∥PE，因为OG⊄平面PEF，PE⊂平面PEF，所以OG∥平面PEF，因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF∥AC，因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF，因为OG⊂平面ACG，AC⊂平面ACG，AC∩OG＝O，所以平面PEF∥平面ACG，因为PF⊂平面PEF，所以PF∥平面ACG. 空间平行的综合问题 [典例]　(2025·云南昆明一中模拟)在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝eq \f(2π,3)，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点． (1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG∥平面BDF，请说明理由； (2)请在下列两个条件中任选一个，求该五面体ABCDEF的体积． ①cos∠BDF＝eq \f(1,4)；②EM＝2. [解]　(1)连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE，因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB，因为OM∥AB∥EF，OM＝eq \f(1,2)AB＝EF，所以四边形OMEF是平行四边形，所以OF∥EM，因为EM⊂平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EM∥平面BDF，因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以GM∥BD，因为GM⊂平面BDF，BD⊂平面BDF，所以GM∥平面BDF，又GM，EM⊂平面EMG，GM∩EM＝M，平面EMG∥平面BDF. (2)选择①：在△BDF中，BD＝DF＝2，cos∠BDF＝eq \f(1,4)，所以BF＝eq \r(6)，取AD中点N，连接FN，BN，在△BNF中，BN＝FN＝eq \r(3)，BF＝eq \r(6)，所以BN⊥FN，因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，因为AD∩FN＝N，AD，FN⊂平面ADF，所以BN⊥平面ADF，因为BN⊂平面ABCD，所以平面ADF⊥平面ABCD，如图，五面体ABCDEF可由三棱柱ADFBCP截去三棱锥EBCP得到，所以VABCDEF＝VADFBCP－VEBCP ＝eq \f(5,6)VADFBCP＝eq \f(5,6)·S△ADF·BN＝eq \f(5,6)×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)×eq \r(3)＝eq \f(5,2). 选择②：由(1)有OF＝EM＝2，取AD中点N，连接FN，ON，BN，在△ONF中，FN＝eq \r(3)，ON＝1，OF＝2，所以ON⊥FN，因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN，因为AD∩ON＝N，AD，ON⊂平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD，又FN⊂平面ADF，所以平面ADF⊥平面ABCD，因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，因为平面ADF∩平面ABCD＝AD，BN⊂平面ADF，所以BN⊥平面ADF， (选择②求体积时，需多证一组线面垂直，即证明dBADF＝BN) 下同①，略．平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置．把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行． (2025·上海嘉定三模)在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝eq \r(3)，E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点． (1)求三棱锥A GEF的体积； (2)点P在矩形ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，求线段D1P长度的最小值．解：(1)依题意有S△AEF＝eq \f(1,2)·AE·BF ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),8)，所以三棱锥A GEF的体积VA GEF＝VG AEF ＝eq \f(1,3)·S△AEF·DD1＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),8)×1＝eq \f(\r(3),24). (2)如图，连接D1A，AC，D1C， ∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点， ∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1， ∴EF∥平面ACD1 ∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1， ∴EG∥平面ACD1， ∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1， ∵D1P∥平面EFG， ∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝eq \r(2)，AC＝2，CD1＝2， $$

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