主题三第七章第1节基本立体图形、直观图及其简单几何体的表面积和体积-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-09-10

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主题三几何与代数（必修第二册+选择性必修第一册）第七章立体几何与空间向量第1节基本立体图形、直观图及其简单几何体的表面积和体积下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题三第七章立体几何与空间向量　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图． 3．掌握求解球、柱、锥、台的表面积和体积． 4．会用相关计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题． 1．多面体的结构特征图形结构特征棱柱两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行棱锥底面是多边形，侧棱交于一点棱台上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点 2.旋转体的结构特征图形结构特征圆柱两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形圆锥底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形圆台上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形球过球心的截面是大小相等的圆 3.直观图斜二测画法主要用于画几何体的直观图，它的具体步骤是： (1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. (2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝　45°(或135°)　，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示　水平平面　. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成　平行　于x′轴、y′轴或z′轴的线段． (4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度　不变　；平行于y轴的线段长度为原来的一半． (5)擦去辅助线，并将被遮线化成虚线． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S圆柱侧＝　2πrl　 S圆锥侧＝　πrl　 S圆台侧＝　π(r1＋r2)l　 5.柱、锥、台、球的表面积和体积　　　　名称几何体　　表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝　Sh　锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝eq \f(1,3)Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h 球 S＝　4πR2　 V＝eq \f(4,3)πR3 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝eq \f(\r(3),2)a(a为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝eq \f(a,2)(a为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r＝eq \f(\r(2),2)a(a为正方体的棱长)． 2．正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq \f(\r(6),4)a(a为正四面体的棱长)． (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq \f(\r(6),12)a(a为正四面体的棱长)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)球的任何截面都是圆．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)若一个球的体积为4eq \r(3)π，则它的表面积为12π.(　　) (4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　　) (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A ＝ 90°，则在直观图中∠A＝45°.(　　) (6)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3) √　(4)×　(5)×(6)× ◆[小题查验] 1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等解析：B　[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．] 2．(BSD必修第二册P198习题6－1A组T2改编)下列几何体中的棱台是(　　) 解析：D　[A、C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A、C不符合题意；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不符合题意；D符合棱台的定义，故D符合题意．] 3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为eq \r(3)，则圆锥的体积为(　　) A．2eq \r(3)π　　 B．3eq \r(3)π　　 C．6eq \r(3)π　　 D．9eq \r(3)π 解析：B　[由题意，侧面积相等，则圆锥的母线长是圆柱高的2倍，即2eq \r(3)，故其底面半径为3，所以圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×32×eq \r(3)＝3eq \r(3)π.] 4．某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40 cm，底面半径为10 cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为　________　cm. 解析：由圆锥侧面展开为半径为40 cm，弧长为 2π×10＝20π cm的扇形，所以圆心角为eq \f(π,2)，而该扇形圆心角所对的弦长为最短金色彩线长度，故所用金色彩线的最短长度为40eq \r(2) cm. 答案：40eq \r(2) 5．(长度变换不清致误)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形的面积为　________　. 解析：法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq \r(2)倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 法二：依题意可知，S直观图＝2eq \r(2) cm2，故S原图形＝2eq \r(2)S直观图＝8 cm2. 答案：8 cm2 基本立体图形 ►[命题点1]　空间几何体的结构特征　 1．(多选)(2025·江西上饶期末)下列命题正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面解析：BD　[根据空间几何体的定义，对于A，如图所示，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但不是棱柱，错误；对于B，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；对于C，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，正确．] 1．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断． 2．解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析． 1．(多选)给出下列命题，其中真命题是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体解析：BCD　[A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形．] ►[命题点2]　直观图　 2．(2025·福建期中)如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是(　　 ) A．AB＝2 B．A′D′＝2eq \r(2) C．四边形ABCD的周长为4＋2eq \r(2)＋2eq \r(3) D．四边形ABCD的面积为6eq \r(2) 解析：D　[如图可知，AB＝4，A′D′＝eq \r(2)，AD＝2eq \r(2)，四边形ABCD的周长为6＋2eq \r(2)＋2eq \r(3)，四边形ABCD的面积为eq \f(1,2)×(4＋2)×2eq \r(2)＝6eq \r(2). 直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线． 2.(2025·河北保定市高三期中)如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝2eq \r(2)，则△ABC的边AB上的高为(　　) A．2　　 B．4　　　 C．4eq \r(2)　　 D．8 解析：D　[如图，过C′作C′M′∥y′轴，交x′轴于M′，在△C′M′B′中，因为B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝2eq \r(2)，∠C′M′B′＝45°，所以C′M′＝eq \f(B′C′,sin 45°)＝eq \f(2\r(2),\f(\r(2),2))＝4，由斜二测画法知：CM＝2C′M′＝8，所以△ABC的边AB上的高为8.] ►[命题点3]　展开图　 3．(2025·安徽马鞍山模拟预测)在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为线段BB1，BD1上的动点，点O为侧面BCC1B1的中心，则△OEF的周长的最小值为　________　. 解析：如图①，设侧面ABB1A1的中心为M，根据正方体的结构特征可得FM＝FO，则△OEF周长的最小值即OE＋EF＋FM的最小值．将侧面BCC1B1绕着BB1旋转至与平面B1D1B在同一平面上，将平面A1D1B绕着BD1旋转至与平面B1D1B在同一平面上，过点O作OS⊥BC于点S，则OS＝BS＝2，其中MB＝2eq \r(2)，如图②，则OE＋EF＋FM≥OM＝eq \r(MS2＋OS2) ＝eq \r(2＋2\r(2)2＋22)＝2eq \r(4＋2\r(2))，故△OEF的周长的最小值为2eq \r(4＋2\r(2)). 答案：2eq \r(4＋2\r(2)) 空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把几何体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解． 3．(2025·重庆模拟)如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数y＝eq \r(3)sin ωx(ω＞0)图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为eq \f(\r(3),2)，则ω的值为(　　 ) A.eq \f(\r(3),2) B．1 C.eq \r(3) D．2 解析：B　[由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数y＝eq \r(3)sin ωx(ω＞0)图象的一部分，可得AB＝2eq \r(3). 设圆柱底面半径为r，则T＝eq \f(2π,ω)＝2πr，所以ω＝eq \f(1,r)，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为eq \f(\r(3),2)，得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，则a2＝b2＋c2＝b2＋eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2，即a2＝4b2，所以eq \f(b,a)＝eq \f(2r,AC)＝eq \f(1,2)，得AC＝4r，又由勾股定理得AC2－BC2＝16r2－4r2＝(2eq \r(3))2，解得r＝1，故ω＝1.] 空间几何体的表面积 [典例1]　(2025·黑龙江铁人中学模拟)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为(　　) A．30π B．32π C．37π D．39π [解析]　设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则r＝6，eq \f(1,3)πr2·h＝30π，即eq \f(1,3)π×36h＝30π，解得h＝eq \f(5,2)，所以l＝eq \r(r2＋h2)＝eq \r(36＋\f(25,4))＝eq \f(13,2)，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π×6×eq \f(13,2)＝39π. [答案]　D [典例2]　(2025·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3) C．12 D．8＋4eq \r(2) [解析]　连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(2).又AB⊥BC，则AB＝eq \r(2)，则该三棱柱的侧面积为2eq \r(2)×2＋2×2＝4＋4eq \r(2). [答案]　A 几何体表面积的求法 (1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．提醒：组合体的表面积应注意重合部分的处理中． 1．(2025·河南驻马店期末)已知三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为6，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则该三棱柱的侧面积等于(　　) A．36eq \r(3) B．54eq \r(3) C．36＋36eq \r(3) D．36＋54eq \r(3) 解析：D　[由于三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均等于6，且∠A1AB＝∠A1AC＝60°，所以点A1在底面内的投影点O必定在底部正三角形ABC的∠BAC的角平分线上，所以A1O⊥平面ABC，延长AD交BC于点D，D为BC的中点，所以AD⊥BC，A1O⊥BC，所以AD∩A1O＝O，AD，A1O⊂平面A1AO，所以BC⊥平面A1AO，又因为A1A⊂平面A1AO，所以BC⊥AA1，又因为AA1//BB1，∴BC⊥BB1，所以矩形B1BCC1的面积为6×6＝36，正三角形ABC的面积为eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，四边形A1ABB1，A1ACC1的面积为eq \f(1,2)×6×6×sin 60°×2＝18eq \r(3)，所以该三棱柱的表面积为18eq \r(3)×2＋36＋9eq \r(3)×2＝36＋54eq \r(3).] 2．(2025·重庆市第七中学校高一期末)若一个正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，它的高为2，则该四棱台的表面积为　________　. 解析：如图所示，AB＝DE＝2，AD＝eq \f(1,2)×2＝1，BC＝eq \f(1,2)×4＝2，所以DC＝eq \r(22＋2－12)＝eq \r(5)，所以该四棱台的表面积为：22＋42＋4×eq \f(1,2)(2＋4)×eq \r(5)＝20＋12eq \r(5). 答案：20＋12eq \r(5) 空间几何体的体积 ►[命题点1]　直接利用公式求体积　 1．(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为　________　. 解析：由题意知eq \f(h甲,h乙)＝eq \f(\r(22－12),\r(32－1))＝eq \f(\r(3),2\r(2))，eq \f(V甲,V乙)＝eq \f(h甲,h乙)＝eq \f(\r(3)r1－r2,2\r(2)r1－r2)＝eq \f(\r(6),4). 答案：eq \f(\r(6),4) ►[命题点2]　割补法求体积　 2．(2024·天津卷)一个五面体ABCDEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(3\r(3),4)＋eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3\r(3),4)－eq \f(1,2) 解析：C　[用一个完全相同的五面体HIJLMN(顶点与五面体ABCDEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，N；E，M；F，L 重合，因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，VABCDEF＝eq \f(1,2)VABCHIJ＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(3),2)×4＝eq \f(\r(3),2).] ►[命题点3]　等体积法求体积　 3．如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为(　　) A.eq \f(\r(3),12) B.eq \f(\r(3),4) C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),4) 解析：A　[易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为eq \f(\r(3),2)，底面积为eq \f(1,2)，故其体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12).] 求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积提醒：求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决． 1.(2025·新疆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为5，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积V＝　_________　. 解析：连接CE，BE，V＝VEABCD＋VCBEF＝VEABCD＋eq \f(5,3)VDABE＝VEABCD＋eq \f(5,3)VEABD＝VEABCD＋eq \f(5,7)VEABCD＝eq \f(12,7)VEABCD＝eq \f(12,7)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(6＋8)×10×5＝200. 答案：200 2．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为eq \r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝eq \f(2π,3)，若△PAB的面积等于eq \f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为(　　) A．π B.eq \r(6)π C．3π D．3eq \r(6)π 解析：B　[在△AOB中，∠AOB＝eq \f(2π,3)，而OA＝OB＝eq \r(3)，取AB中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图， ∠ABO＝eq \f(π,6)，OC＝eq \f(\r(3),2)，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为eq \f(9\r(3),4)，得eq \f(1,2)×3×PC＝eq \f(9\r(3),4)，解得PC＝eq \f(3\r(3),2)，于是PO＝eq \r(PC2－OC2)＝eq \r(\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2－\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(6)，所以圆锥的体积V＝eq \f(1,3)π×OA2×PO＝eq \f(1,3)π×(eq \r(3))2×eq \r(6)＝eq \r(6)π.] 球与空间几何体的接、切问题 ►[命题点1]　球的内切问题　 1．(2025·北京二中模拟)如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为(　　) A．64π B．40π C．84π D．72π 解析：D　[设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r＝3，圆锥的高h，则R＝eq \f(r,tan α)＝eq \f(3,tan α)，h＝R·tan 2α＝eq \f(3,tan α)·tan 2α＝eq \f(6,1－tan2α)，圆锥的体积V＝eq \f(1,3)πR2h＝eq \f(1,3)π×eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(3,tan α)))2×eq \f(6,1－tan2α)＝18π×eq \f(1,tan2α1－tan2α)，而0°<2α<90°，0°<α<45°，所以0<tan α<1，1－tan2α>0 又因为tan2α＋(1－tan2α)＝1定值，所以tan2α(1－tan2α)≤eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(tan2α＋1－tan2α,2)))2＝eq \f(1,4)，当且仅当tan2α＝1－tan2α，即tan α＝eq \f(\r(2),2)时，所以Vmin＝18π×eq \f(1,\f(1,2)×\f(1,2))＝72π.] 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 1．(2025·晋中市模拟)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　) A．6　　　 B．5　　　　 C.eq \f(9,2)　　　　 D.eq \f(9,4) 解析：D　[由题意，四棱锥PABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面，如图所示，其中PE，PF是斜高，A′为球面与侧面的切点．设PH＝h，由几何体可知， Rt△PA′O∽Rt△PHF，∴eq \f(OA′,FH)＝eq \f(PO,PF)，即eq \f(1,3)＝eq \f(h－1,\r(h2＋32))，解得h＝eq \f(9,4).] ►[命题点2]　球的相接问题　 2．(2025·贵州模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　 ) A.eq \f(40π,3) B.eq \f(40\r(30)π,27) C.eq \f(320\r(30)π,27) D．20π 解析：B　[设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示，由题意可得该三棱柱的外接球的球心O为O1O2的中点．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，则BC＝eq \r(7)，由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r＝eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(2\r(7),\r(3))，则r＝eq \f(\r(7),\r(3))，而球心O到截面ABC的距离d＝OO2＝eq \f(1,2)AA1＝1，设直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2＝d2＋r2＝12＋eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),\r(3))))2 ＝eq \f(10,3)，故R＝eq \f(\r(30),3)，所以该三棱柱的外接球的体积为 V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(\r(30),3)))3＝eq \f(40\r(30)π,27).] 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 2．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为　______　. 解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝eq \r(OQ2－O′Q2)＝eq \r(52－42)＝3. 据此可得圆台的体积V＝eq \f(1,3)π×3×(52＋5×4＋42)＝61π. 答案：61π 3．(2025·湖北宜昌市夷陵中学模拟)已知正四面体ABCD的表面积为2eq \r(3)，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为　________　. 解析：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，所以该正四面体的表面积为S＝4×eq \f(1,2)×a×eq \r(a2－\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq \r(3)a2，所以a＝eq \r(2)，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为eq \r(2)，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为eq \r(3)，半径为eq \f(\r(3),2)，所以球O的体积为eq \f(\r(3),2)π. 答案：eq \f(\r(3),2)π $$

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