主题三 第六章 第4节 复　数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题三 几何与代数（必修第二册） 第六章 平面向量、复数 第4节 复数 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题三 第六章 平面向量、复数　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几何意义． 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的　实部　，记作Rez，b称为复数z的　虚部　，记作Imz 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数 的分类 复数a＋bi(a，b∈R) 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 若两个复数的实部　相等　，而虚部互为　相反数　，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up16(－))表示 复平面 通过建立直角坐标系来表示复数的平面称为　复平面　，x轴叫做　实轴　，y轴叫做　虚轴　.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的模 向量eq \o(OZ,\s\up16(→))的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作　|z|　或　|a＋bi|　 |z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2) 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点　Z(a，b)　(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)OZ,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE"0+.tif" 平面向量. 3．复数的运算 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 任意两个复数z1＝a＋bi和z2＝c＋di(a，b，c，d∈R) 加法 减法 运算 法则 (a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋　(b＋d)　i (a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋　(b－d)　i 运算 法则 两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的　实部　是它们的实部的和，两个复数的和的　虚部　是它们的虚部的和 两个复数的差仍是一个复数，两个复数差的　实部　是它们实部的差，两个复数的差的　虚部　是它们的虚部的差 几何 意义 复数的加法可以按照　向量　的加法来进行，这是复数加法的几何意义 复数的差z1－z2与向量eq \o(OZ1,\s\up16(→))－eq \o(OZ2,\s\up16(→))＝eq \o(Z2Z1,\s\up16(→))的坐标对应 运算律 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 交换律：z1＋z2＝z2＋z1 4.复数的乘法 任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R), (a＋bi)(c＋di)＝　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　. 5．复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i. 6．复数乘法的运算律 (1)对任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1z2＝　z2z1　； ②结合律：(z1z2)z3＝　z1(z2z3)　； ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝　z1z2＋z1z3　. (2)对复数z1，z2，z3和正整数m，n，有： zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zeq \o\al(n,1)zeq \o\al(n,2). (3)i的乘方运算： i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. (4)互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方． 即若z＝a＋bi ，则z·eq \o(z,\s\up16(－))＝|z|2＝|eq \o(z,\s\up16(－))|2， 1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．|z1·z2|＝|z1||z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)任何数的平方都不小于0.(　　) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　) (3)两个虚数的和还是虚数．(　　) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　　) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(2024·北京卷)若复数z满足eq \f(z,i)＝－1－i，则z＝(　　) A．－1－i　　　 B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：C　[eq \f(z,i)＝－1－i，则z＝i(－1－i)＝－i－i2＝1－i.] 2．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件. ] 3．(多选)已知复数z＝－1＋eq \r(3)i(i为虚数单位)，eq \o(z,\s\up16(－))为z的共轭复数，若复数w＝eq \f(\o(z,\s\up16(－)),z)，则下列结论正确的是(　　) A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实部为－eq \f(1,2) D．w的虚部为eq \f(\r(3),2)i 解析：ABC　[w＝eq \f(\o(z,\s\up16(－)),z)＝eq \f(－1－\r(3)i,－1＋\r(3)i)＝eq \f(－1－\r(3)i－1－\r(3)i,－1＋\r(3)i－1－\r(3)i)＝eq \f(－2＋2\r(3)i,4)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，w在复平面内对应的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，位于第二象限，|w|＝eq \r(\f(1,4)＋\f(3,4))＝1，w的实部为－eq \f(1,2)，虚部为eq \f(\r(3),2).] 4．(BSD必修第二册P167练习T3改编)在复平面内，向量eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数是2＋i，向量eq \o(CB,\s\up16(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq \o(CA,\s\up16(→))对应的复数是　　________　　. 解析：因为eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))，所以eq \o(CA,\s\up16(→))对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i 5．(对复数的模理解不透致误)设x(1＋i)＝1＋yi，其中x，y为实数，则|x＋yi|＝　________　. 解析：因为x(1＋i)＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi， x＝1，y＝x＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(2). 答案：eq \r(2) 复数的有关概念 1．(多选)若复数z＝eq \f(2,1＋i)，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为－1　 B．|z|＝eq \r(2) C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i 解析：ABC　[由题意得z＝eq \f(2,1＋i)＝eq \f(21－i,1＋i1－i)＝1－i.对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确；对于B，|z|＝|1－i|＝eq \r(2)，故B正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；对于D，z＝1－i的共轭复数eq \o(z,\s\up16(－))＝1＋i，故D不正确．] 2．(2025·广东省深圳市模拟)若复数z＝eq \f(1＋i,a＋i)－i为纯虚数，则实数a的值为(　　) A．－1　　 B．－eq \f(1,2)　　　 C．0　　　 D. 1 解析：A　[化简原式可得：z＝eq \f(1＋i,a＋i)－i 0＝eq \f(1＋ia－i,a2＋1)－i＝eq \f(a＋1＋a－a2－2i,a2＋1)， z为纯虚数时，eq \f(a＋1,a2＋1)＝0，a－a2－2≠0即a＝－1，选项A正确，选项B、C、D错误．] 3．(2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋eq \f(2,z)＝m(m∈R)，则实数m为　________　. 解析：设z＝1＋bi(b∈R，且b≠0)， 所以z＋eq \f(2,z)＝1＋bi＋eq \f(2,1＋bi)＝1＋bi＋eq \f(2·1－bi,1＋b2) ＝1＋eq \f(2,1＋b2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(2b,1＋b2)))i， 因为m∈R，所以b－eq \f(2b,1＋b2)＝0，解得b＝±1， 所以m＝1＋eq \f(2,1＋b2)＝1＋1＝2. 答案：2 4．(2025·浙江省临安中学模拟)复数z满足(1＋i)z＝4－2i，则z的虚部为　________　，|z|＝　________　. 解析：因为(1＋i)z＝4－2i，所以z＝eq \f(4－2i,1＋i)＝eq \f(4－2i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(2－6i,2)＝1－3i， 则z的虚部为－3，|z|＝eq \r(12＋－32)＝eq \r(10). 答案：－3　eq \r(10) 复数的几何意义 1．(2025·湖北恩施模拟预测)若复数z满足(2＋3i)z＝i2 024＋8i2 025，则复数eq \o(z,\s\up16(－))在复平面内对应的点位于(　　 ) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为(2＋3i)z＝i2 024＋8i2 025， 所以z＝eq \f(i2 024＋8i2 025,2＋3i)＝eq \f(1＋8i,2＋3i)＝eq \f(1＋8i2－3i,2＋3i2－3i) ＝2＋i，所以eq \o(z,\s\up16(－))＝2－i，所以复数eq \o(z,\s\up16(－))在复平面内对应的点为(2，－1)，位于第四象限．] 2．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝eq \f(1,1－i) ，则复数z在复平面内的点到原点的距离为(　　) A.eq \f(13,2)　　 B.eq \f(\r(26),2)　　　 C.eq \f(\r(10),2)　　　 D.eq \f(5,2) 解析：B　[由z－2i＝eq \f(1,1－i)，得z＝2i＋eq \f(1,1－i)＝2i＋eq \f(1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(5,2)i，∴复数z在复平面内的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，到原点的距离为eq \r(\f(1,4)＋\f(25,4))＝eq \f(\r(26),2).] 3．(2025·江苏扬中市模拟)若i为虚数单位，复数z满足1≤|z＋1＋i|≤eq \r(2)，则|z－1－i|的最大值为　________　. 解析：复数z满足1≤|z＋1＋i|≤eq \r(2)，即1≤|z－(－1－i)|≤eq \r(2)，即复数z对应的点Z到点C(－1，－1)的距离d满足1≤d≤eq \r(2)， 设P(1,1)，|z－1－i|表示复数z对应的点Z到点P(1,1)的距离，数形结合可知|z－1－i|的最大值|AP|＝|CP|＋eq \r(2)＝eq \r(22＋22)＋eq \r(2)＝3eq \r(2). 答案：3eq \r(2) 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \o(OZ,\s\up16(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \o(OZ,\s\up16(→)). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 复数的代数运算 [典例]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若eq \f(z,z－1)＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i [解析]　由题知z＝(1＋i)(z－1)，z＝eq \f(1＋i,i)＝1－i. [答案]　C (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq \f(1－i,2＋2i)，则z－eq \x\to(z)＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 [解析]　因为z＝eq \f(1－i,2＋2i)＝－eq \f(1,2)i，所以eq \x\to(z)＝eq \f(1,2)i，所以z－eq \x\to(z)＝－i. [答案]　A (3)已知复数z＝eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq \o(z,\s\up16(－))是z的共轭复数，则z·eq \o(z,\s\up16(－))＝　______　. 解析：∵z＝eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq \f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i) ＝eq \f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq \f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i) ＝eq \f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,4)i，故eq \o(z,\s\up16(－))＝－eq \f(\r(3),4)－eq \f(1,4)i， ∴z·eq \o(z,\s\up16(－))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))＝eq \f(3,16)＋eq \f(1,16)＝eq \f(1,4). 答案：eq \f(1,4) 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 提醒：在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. 复数z满足z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i，则|z|＝(　　) A．5 B．2eq \r(3) C.eq \r(5) D．2 解析：D　[因为eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)＝eq \f(\r(3)＋i1＋\r(3)i,1－\r(3)i1＋\r(3)i) ＝eq \f(\r(3)＋4i＋\r(3)i2,4)＝i，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＝i100＝(i4)25＝1， 所以z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i)))100＋eq \r(3)i＝1＋eq \r(3)i， 因此，|z|＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2.] $$