主题二 第二章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题二 函数（必修第一册） 第二章 函 数 　 第9节 函数模型及应用 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 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\r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减．当x＞0，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)；当x＜0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a). 2．当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． 3．当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． 4．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．(　　) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝eq \f(S－1,ln N)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．Neq \o\al(2,2)＝Neq \o\al(3,1) D．Neq \o\al(3,2)＝Neq \o\al(2,1) 解析：D　[由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2.1＝\f(S－1,ln N1)，,3.15＝\f(S－1,ln N2)，)) 两式相除得2.1 ln N1＝3.15 ln N2， 所以ln Neq \o\al(2.1,1)＝ln Neq \o\al(3.15,2)，即Neq \o\al(2.1,1)＝Neq \o\al(3.15,2)，故Neq \o\al(2,1)＝Neq \o\al(3,2).] 3．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少eq \f(1,3)，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6　　　 B．9　　　　 C．8　　　 D．7 解析：BC　[设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则eq \f(2,100)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,1 000)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq \f(1,20)， 由nlg eq \f(2,3)≤－lg 20，即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4.] 4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到　________　只． 解析：由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100， ∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log39＝200. 答案：200 5．(忽视整体代入致误)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足等式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt，其中k为常数．现有62 ℃的物体放到22 ℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42 ℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到　________　. 解析：依题意42＝22＋(62－22)·e－2k，e－2k＝eq \f(1,2)，故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到22＋(42－22)·e－4k＝22＋20·(e－2k)2 ＝22＋20×eq \f(1,4)＝27 ℃. 答案：27 ℃ eq \a\vs4\al(　　　用函数图象刻画实际问题,　中两变量的变化过程) 1．(2025·内蒙古赤峰模拟)在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　 ) 解析：D　[对于A，点P在第一条边上时，y＝x，但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小(减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度)，然后再增大，对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为a， 点P在第一条边上时(即0≤x≤a时)，y＝x， 点P在第二条边上运动时(即a≤x≤2a时)， y＝eq \r(a2＋x－a2)，依然单调递增， 点P在第三条边上运动时(即2a≤x≤3a时)， y＝eq \r(a2＋3a－x2)，单调递减， 点P在第四条边上运动时(即3a≤x≤4a时)， y＝4a－x，单调递减， 且已知y与x的图象关于x＝2a＝eq \f(l,2)(其中l＝4a)对称，D正确．] 2．(2025·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是(　　) 解析：A　 [根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．] 3．(2025·湖南衡阳一模)衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y(单位：万元)随经营利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是(　　) (参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041) A．y＝0.04x　　　　　 B．y＝1.015x－1 C．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,19)－1)) D．y＝log11(3x－10) 解析：D　[对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4＞3，不符合题意； 对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432＞3，不符合题意； 对于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,19)－1))，不满足递增，不符合题意； 对于函数y＝log11(3x－10)，满足x∈(6,100]是增函数，且y＝log11(3×100－10)＝log11290＜log111 331＝3，结合图象，y＝eq \f(1,5)x与y＝log11(3x－10)的图象如图所示，符合题意．] 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 应用所给函数模型解决实际问题 [典例]　(2025·西城区模拟)星等分为两种：目视星等与绝对星等，但它们之间可用公式M＝m＋5－5lgeq \f(d,3.26)转换，其中M为绝对星等，m为目视星等，d为到地球的距离(单位：光年)．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03， 绝对星等为0.5.则距离地球更近的星球和它们到地球的距离之比(较远距离与较近距离之比)分别是(参考数据：100.19≈1.549,100.906≈8.054,100.716≈5.199)(　　) A．牛郎星，约1.5　　 B．织女星，约1.5 C．牛郎星，约2.9 D．织女星，约2.9 [解析]　设牛郎星到地球的距离为d1，织女星到地球的距离为d2， 所以2.19＝0.77＋5－5lgeq \f(d1,3.26)， 0．5＝0.03＋5－5 lg eq \f(d2,3.26)， 即lgeq \f(d1,3.26)＝0.716，lgeq \f(d2,3.26)＝0.906， 所以eq \f(d1,3.26)＝100.716≈5.199，eq \f(d2,3.26)＝100.906≈8.054， 所以d2＞d1，所以距离地球更近的星球为牛郎星，且eq \f(d2,d1)＝eq \f(\f(d2,3.26),\f(d1,3.26))＝eq \f(100.906,100.716)＝100.19≈1.549. [答案]　A 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 解决实际问题时要注意自变量的取值范围． (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　　　　 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 解析：ACD　[∵L1－L2＝20×lgeq \f(p1,p0)－20×lgeq \f(p2,p0) ＝20×lgeq \f(p1,p2)≥0，∴eq \f(p1,p2)≥1，∴p1≥p2，所以A正确； ∵L2－L3＝20×lgeq \f(p2,p3)＞10，∴lgeq \f(p2,p3)＞eq \f(1,2)， ∴eq \f(p2,p3)＞10eq \f(1,2)，所以B错误； ∵L3＝20×lgeq \f(p3,p0)＝40，∴eq \f(p3,p0)＝100，所以C正确； ∵L1－L2＝20×lgeq \f(p1,p2)≤90－50＝40，∴lgeq \f(p1,p2)≤2， ∴eq \f(p1,p2)≤100，所以D正确．] 构造函数模型解决实际问题 [典例]　(2025·上海长宁模拟)甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t(单) 7 831 8 225 8 338 油费s(元) 107 150 110 264 110 376 平均每单里程k(公里) 15 15 15 平均每公里油费a(元) 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率＝eq \f(出租车没有载客行驶的里程,出租车行驶的总里程)；依据上述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型u＝f(s，t，k，a)，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%,21.68%，x%，则x＝　__________　(精确到0.01)． [解析]　依题意，因为出租车行驶的总里程为eq \f(s,a)，出租车有载客时行驶的里程为tk， 所以出租车空驶率u＝eq \f(\f(s,a)－tk,\f(s,a))＝1－eq \f(tka,s)， 对于甲，1－eq \f(7 831×15×0.7,107 150)≈0.232 6 ＝23.26%，满足题意； 对于乙，1－eq \f(8 225×15×0.7,110 264) ≈0.216 8＝21.68%，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为x%＝1－eq \f(8 338×15×0.7,110 376) ≈0.206 8＝20.68%，即x＝20.68. [答案]　20.68 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行推理或数学运算； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． (2025·浙江宁波效实中学校考期中)黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，R(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,q)，x＝\f(p,q)p，q∈N＋，\f(p,q)为既约真分数,0，x＝0或1或0，1内的无理数)). (1)请用描述法写出满足方程R(x)＝x(x≠0)的解集；(直接写出答案即可) (2)解不等式R(x)＞eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)； (3)探究是否存在非零实数k，b，使得y＝R(kx＋b)为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意，x≠0， 当x＝1时，R(x)＝0，则方程R(x)＝x无解， 当x为(0,1)内的无理数时，R(x)＝0，则方程 R(x)＝x无解， 当x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)时，则R(x)＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数，则由方程R(x)＝x，解得x＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数， 综上，方程R(x)＝x(x≠0)的解集为{x|x＝eq \f(1,q)， q为大于1的正整数}． (2)若x＝0或x＝1或x为(0,1)内无理数时， R(x)＝0，而eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)＞0，此时R(x)＜eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)， 若x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)，则R(x)＝eq \f(1,q)，q为大于1的正整数，由R(x)＞eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)，得eq \f(1,q)＞eq \f(1,5)×eq \f(p,q)＋eq \f(1,5)，解得p＋q＜5，又因为x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)，所以x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，综上，不等式R(x)＞eq \f(1,5)x＋eq \f(1,5)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,3))). (3)存在非零实数k＝1，b＝eq \f(1,2)，使得y＝R(kx＋b)为偶函数，即y＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数，证明如下： 当x＝0或x＝1时，有R(0)＝R(1)＝0成立，满足R(x)＝R(1－x)， 当x为(0,1)内的无理数时，1－x也为(0,1)内的无理数，所以R(x)＝R(1－x)＝0，满足R(x)＝R(1－x)，当x＝eq \f(p,q)(p，q∈N＋，eq \f(p,q)为既约真分数)，则1－x＝1－eq \f(p,q)＝eq \f(q－p,q)为既约真分数，所以R(x)＝R(1－x)＝eq \f(1,q)，满足R(x)＝R(1－x)， 综上，对任意x∈[0,1]，都有R(x)＝R(1－x)， 所以R(x)关于x＝eq \f(1,2)对称，即Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，则Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))为偶函数，所以，存在非零实数k＝1，b＝eq \f(1,2)，使得y＝R(kx＋b)为偶函数． $$