主题二 第二章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题二 函数（必修第一册） 第二章 函 数 　 第8节 方程解的存在性及方程的近似解　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用． 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 1．函数的零点 (1)函数的零点 使得　f(x0)＝0　的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的　零点　.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的　横坐标　. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有　零点　. (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即　f(a)·f(b)＜0　，则在开区间(a, b)内，函数y＝f(x)至少有一个　零点　，即在区间(a, b)内相应的方程f(x)＝0　至少　有一个解． 2．二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a, b]，若函数y＝f(x)的图象是一条　连续　的曲线， 　f(a)·f(b)＜0　，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 　(x1,0)，(x2,0)　 　(x1,0)　 无交点 零点个数 2 1 0 1．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变． 2．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 2．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间有(　　) A．(1,2)　　　　　　 B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7) 解析：BCD　[由所给的函数值表知， f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0， ∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内至少有一个零点．] 3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　 ) A．(0,0.5)，f(0.125)　　 B．(0,0.5)，f(0.375) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25) 解析：D　[因为f(0)f(0.5)＜0，由零点存在性知：零点x0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0.5,2)))，即f(0.25)．] 4．(BSD必修第一册P130练习T3(2)改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(0,1) C．(2，e) D．(e,3) 解析：C　[因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在h的区间为(2，e)．] 5．(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为　________　. 解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1，当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－eq \f(1,4). 综上有a＝0或－eq \f(1,4). 答案：0或－eq \f(1,4) 确定函数零点所在的区间 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．] 2．(2025·浙江绍兴期末)定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)满足：∀x∈(0，＋∞)，f[f(x)－log2x]＝3，则方程f(x)－eq \f(1,x)＝2的解所在区间是(　　 ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C．(1,2) D．(2,3) 解析：C　[由题设t＝f(x)－log2x＞0为定值，且f(t)＝3， 所以f(x)＝t＋log2x，则f(t)＝t＋log2t＝3，易知t＝2，故f(x)＝2＋log2x，由f(x)－eq \f(1,x)＝2＋log2x－eq \f(1,x)＝2，则log2x＝eq \f(1,x)，显然在第一象限有一个交点，又因为y＝log2x，y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上分别单调递增，单调递减， 由log2eq \f(1,2)＜eq \f(1,\f(1,2))，log21＜eq \f(1,1)，log22＞eq \f(1,2)，故方程解在(1,2)上．] 3．已知函数f (x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝　________　. 解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内， ∴函数f (x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2. 答案：2 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 判断函数零点的个数 [典例]　已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是　________　. [解析]　第一步：作函数y＝f(x)的图象 作出函数y＝f(x)的图象． 第二步：解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1. 第三步：观察y＝eq \f(1,2)和y＝1与y＝f(x)的图象交点个数 由图象知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点． 第四步：得出函数的零点个数 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个． [答案]　5 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)． 1．(2025·河北邯郸二模)若直角坐标平面内A，B两点满足条件： ①点A，B都在f(x)的图象上； ②点A，B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“兄弟点对”(点对(A，B)与(B，A)可看作一个“兄弟点对”)． 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos xx≤0，,lg xx＞0，))则f(x)的“兄弟点对”的个数为(　　 ) A．2　 B．3　　　C．4　　 D．5 解析：D　[设P(x，y)(x＜0)，则点P关于原点的对称点为(－x，－y)， 于是，cos x＝－lg(－x)，只需判断方程根的个数， 即p(x)＝cos x，x≤0与s(x)＝－lg(－x)，x＜0图象的交点个数， 因为p(－π)＝－1，s(－π)＝－lg π＞－1，p(－3π)＝－1，s(－3π)＝－lg 3π＞－1； p(－5π)＝－1，s(－5π)＝－lg 5π＜－1； 作出两函数的图象，由图知，p(x)＝cos x，x≤0与s(x)＝－lg(－x)，x＜0的图象有5个交点，所以f(x)的“兄弟点对”的个数为5个． 2．(2025·烟台市模拟)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2|x－1|，0＜x≤2，,fx－2－1，x＞2，))则方程f(x)＋eq \f(1,8)x2＝2的根的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：D　[要求方程f(x)＋eq \f(1,8)x2＝2根的个数，即为求f(x)与y＝2－eq \f(x2,8)的交点个数， 由题设知，在(0，＋∞)上的图象如图所示， ∴由图知：有3个交点，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数， ∴在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点．] 函数零点的应用 [母题]　若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为　________　. [解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<eq \f(1,e)；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>eq \f(1,e)， 所以，当0<x<eq \f(1,e)时，函数g(x)单调递减；当x>eq \f(1,e)时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝eq \f(1,e)时，g(x)min＝－eq \f(1,e).在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－eq \f(1,e)<a<0. [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)) [子题1]　若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是　______　. 解析：由母题解析知a＝－eq \f(1,e)或a≥0. 答案：[0，＋∞)∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e))) [子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是　______　. 解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) [子题3]　若函数变为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xln x－a，x>0，,－x2－2x－a，x≤0，)) 函数y＝f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是　______　. 解析：令g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xln x，x>0，,－x2－2x，x≤0，))h(x)＝a，则问题转化为g(x)与h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图． 由图象知－eq \f(1,e)＜a＜1. 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，1)) 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 1．(2025·山西阳泉三模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－logax(其中a＞1)恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围为　__________　. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)关于直线x＝1对称， 又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， 则f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2) ＝－[－f(x)]＝f(x)， 故函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又∵f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－f(－x＋2)， 即f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0， 故函数f(x)关于点(2,0)对称， 令g(x)＝f(x)－logax＝0，则f(x)＝logax， 原题等价于y＝f(x)与y＝logax有3个交点， 且y＝logax(a＞1)的定义域为(0，＋∞)， 如图所示，则可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(loga5＜1，,loga9＞1，,a＞1，))解得5＜a＜9. 答案：(5,9) 2．(2025·全国模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤1，,|lnx－1|＋2，x＞1，))若关于x的方程f(x)－kx＝0有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是　________　. 解析：方程f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出y＝f(x)－2与y＝kx－2的函数图象如图所示： 因为直线y＝kx－2过(0，－2)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y＝x2))得x2－kx＋2＝0， 由Δ＝k2－8＝0，得k＝±2eq \r(2). 又过(1,1)与(0，－2)两点的直线的斜率3， 由图知：当直线y＝kx－2过点(1,1)时，为函数y＝x2与y＝kx－2有两个交点的临界点，此时k＝3， 由图可知，若关于x的方程f(x)＝kx有且只有一个实数根， 则实数k的取值范围为{k|0＜k＜3}∪{－2eq \r(2)}． 答案：{k|0＜k＜3}∪{－2eq \r(2)} $$