主题二 第二章 第6节 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题二 函数（必修第一册） 第二章 函 数 　 第6节 对数与对数函数 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） ★[课程标准] 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)． 1．对数的概念 (1)对数的定义： 一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为　以a为底N的对数　，记作　logaN　＝b，其中a叫作对数的　底数　，N叫作　真数　. (2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是指数运算的　逆运算　，即ab＝N⇔b＝　logaN　. (3)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为　10　 　lg N　 自然对数 底数为　e　 　ln N　 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝　0　；②logaa＝　1　；③alogaN＝　N　；④logaab＝　b　(a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N>0，b＞0，那么 ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②logaeq \f(M,N)＝　logaM－logaN　； ③logaMb＝blogaM(n∈R)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝　eq \f(logcb,logca)　； ②logab＝eq \f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数及其性质 (1)概念：给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上，值域为(0，＋∞)的单调函数，所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay.习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成　y＝logax　(a＞0，且a≠1)，其中a称为　底数　. (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图 象 性质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 4.反函数 习惯上，对数函数表示为y＝logax(a＞0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，且a≠1)．指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的　反函数　，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的　反函数　.即它们　互为反函数　，它们的图象关于直线y＝x对称． 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2) (　　) (3)当x>1时，logax>0.(　　) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．(　　) (5)函数y＝lneq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P101练习T2(4)改编)计算：2lgeq \r(5)－lg 4－eq \f(1,2)＝(　　) A．10　　　　　　　 B．1 C．2 D．lg 5 解析：B　[原式＝lg(eq \r(5))2＋lgeq \r(4)＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.] 2．已知a＝log52，b＝log83，c＝eq \f(1,2)，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：C　[以c＝eq \f(1,2)为中间量，构造增函数y＝log5x和y＝log8x，log52＜log5eq \r(5)＝eq \f(1,2)＝log82eq \r(2)＜log83.] 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B.eq \f(1,2x) C．log0.5x D．2x－2 解析：A　[由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)． ∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.] 4．(BSD必修第一册P113练习T2(2)改编)函数y＝log7eq \f(1,1－3x)的定义域为　　________　　. 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3))))) 5．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是　________　. 解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0， ∴u＝2－ax在[0,1]上是减函数， 由复合函数关系知y＝logau应为增函数，∴a＞1， 又由于x在[0,1]上时y＝loga(2－ax)有意义， u＝2－ax又是减函数， ∴x＝1时，u＝2－ax取最小值是umin＝2－a＞0即可，∴a＜2， 综上可知，所求a的取值范围是(1,2)． 答案：(1,2) 对数的基本运算 1．(多选)已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则eq \f(a,b)可以是(　　) A.eq \f(1,2)　　 B.eq \f(\r(2),2)　　　 C.eq \r(2)　　 D．2 解析：AD　[令t＝logab，则t＋eq \f(1,t)＝eq \f(5,2)， ∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝eq \f(1,2)或t＝2，∴logab＝eq \f(1,2)或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b. ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴eq \f(a,b)＝2或eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).] 2．(2025·陕西安康模拟预测)若log312＝x，log412＝y，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 解析：B　[因为log312＝x，log412＝y，所以x＝eq \f(log1212,log123)＝eq \f(1,log123)，y＝eq \f(log1212,log124)＝eq \f(1,log124)，所以eq \f(1,x)＝log123，eq \f(1,y)＝log124，因此，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝log123＋log124＝log12(3×4)＝1.] 3．(2025·内蒙古包头市月考)已知9x＝4y＝eq \r(6)，则eq \f(x＋y2,x2y2)＝(　　) A．25 B．16 C．9 D．4 4.eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)lg \r(27)＋lg 8－lg \r(1 000),lg 0.3·lg 1.2)＝　________　. 解析：原式＝eq \f(\r(lg 32－2lg 3＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2))),lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1) ＝eq \f(1－lg 3·\f(3,2)lg 3＋2lg 2－1,lg 3－1·lg 3＋2lg 2－1)＝－eq \f(3,2). 答案：－eq \f(3,2) 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数函数的图象及应用 [母题]　当0<x≤eq \f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2) [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图象，可知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))， 即2<logaeq \f(1,2)，则a>eq \f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 法二：∵0<x≤eq \f(1,2)，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝eq \f(1,2)，x＝eq \f(1,2)， 则有，显然4x<logax不成立，排除选项A. [答案]　B [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由x2－logax<0，得x2<logax， 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax， 要使x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，不等式x2<logax恒成立， 只需f1(x)＝x2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，需f1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))， 所以有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤logaeq \f(1,2)，解得a≥eq \f(1,16)，∴eq \f(1,16)≤a<1. 即实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)). 答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)) [子题2]　将母题变为：当0<x≤eq \f(1,4)时，eq \r(x)<logax，则实数a的取值范围是　________　. 解析：若eq \r(x)<logax在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))成立，则0<a<1，且y＝eq \r(x)的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知eq \r(\f(1,4))<logaeq \f(1,4)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a\f(1,2)>\f(1,4)，))解得eq \f(1,16)<a<1. 即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)) [子题3]　将母题变为：已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　_______　. 解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 答案：(1，＋∞) 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 对数函数的性质及应用 ►[命题点1]　比较对数值的大小　 1．(2025·山东滨州月考)已知a＝log315，b＝log420,2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 解析：D　[a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1，因为log35＝eq \f(lg 5,lg 3)＞eq \f(lg 5,lg 4)＝log45，所以a＞b＞c.] 2．(2025·山东聊城三模)设a＝log49，b＝log25，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a 解析：A　[因为函数y＝log2x在定义域上单调递增， 故b＝log25＞log23＝log49＝a＞log22＝1， 又因为，所以b＞a＞1＞c.] ►[命题点2]　解简单的对数不等式　 3．(2025·运城市新康国际实验学校模拟)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) 解析：A　[定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,1＋x2)为增函数， 由f(x)＞f(2x－1)结合偶函数图象的对称性可知|x|＞|2x－1|， 两边平方并化简得(x－1)(3x－1)＜0，解得eq \f(1,3)＜x＜1.所以不等式f(x)＞f(2x－1)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).] ►[命题点3]　与对数有关的复合函数问题　 4．(2025·全国模拟)已知函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A.eq \f(3,5)≤a＜eq \f(3,4) B.eq \f(3,5)＜a＜1 C.eq \f(3,5)≤a＜eq \f(3,4)或a＞1 D.eq \f(3,5)＜a＜1或a＞1 解析：C　[函数y＝f(x)是由y＝logat与t＝|(x－2)(ax－3)|复合而成， ①当0＜a＜1时，因为y＝logat为减函数，且函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))上单调递增，所以t＝|(x－2)(ax－3)|在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))上单调递减，结合t＝|(x－2)(ax－3)|的图象可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2＋\f(3,a),2)≤\f(7,2)，,\f(3,a)＞4，))解得eq \f(3,5)≤a＜eq \f(3,4)， ②当a＞1时，因为y＝logat为增函数，且函数f(x)＝loga|ax2－(2a＋3)x＋6|在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))上单调递增，所以t＝|(x－2)(ax－3)|在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))上单调递增，又因为此时eq \f(3,a)＜3，结合t＝|(x－2)(ax－3)|的图象可知此时符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为eq \f(3,5)≤a＜eq \f(3,4)或a＞1.] ►[命题点4]　利用对数函数的性质求参数　 5．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0.则a2＋b2的最小值为(　　) A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D．1 解析：C　[当x＜－a时x＋a＜0，当x＞－a时x＋a＞0，当x＜1－b时ln(x＋b)＜0， 当x＞1－b时ln(x＋b)＞0，所以要f(x)恒非负，必须－a＝1－b，即b－a＝1， 所以a2＋b2＝eq \f(a－b2＋a＋b2,2)≥eq \f(1,2)， 当且仅当a＝－eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)时取等号．] 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． $$