主题二 第二章 第4节 幂函数与二次函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题二 函数（必修第一册） 第二章 函 数 　 第4节 幂函数与二次函数　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第二章 函数　 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题二 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\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))　 单调性 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减； 在　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))　上单调递增 在　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))　上单调递增； 在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－eq \f(b,2a)对称 1．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法如下 ①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出； ②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝xeq \f(1,2)画出； ③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出． 2．关于x的一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是eq \f(4ac－b2,4a).(　　) (5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0.))(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 解析：D　[设f(x)＝xα，则2α＝eq \f(1,4)，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．] 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是(　　) 解析：B　[图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.] 3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0， \f(1,20))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0)) 解析：C　[由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－20a＜0，))解得a>eq \f(1,20).] 4．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最　_________　值(填“大”或“小”)，且该值为　___________　. 解析：由已知得，f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比数列，b2＝ac＝－4a，a<0， 所以，f(x)＝ax2＋bx＋c有最大值， 最大值为eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4ac－ac,4a)＝eq \f(3,4)c＝－3. 答案：大　－3 5．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)　____　0(填“>”“<”或“＝”)． 解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，且f(1)>0，f(0)>0， 而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0， ∴f(m－1)>0. 答案：> 幂函数的图象与性质 1．(2025·全国模拟)已知幂函数y＝xeq \f(p,q)(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且eq \f(p,q)＞0 B．q为偶数，p为奇数，且eq \f(p,q)＜0 C．q为奇数，p为偶数，且eq \f(p,q)＞0 D．q为奇数，p为偶数，且eq \f(p,q)＜0 解析：D　[因函数y＝的图象关于y轴对称，于是得函数y＝为偶函数，即p为偶数， 又函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有eq \f(p,q)＜0， 又因p，q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确．] 2．(2025·河南濮阳模拟)设a＝eq \f(ln 0.35,ln 0.53)，b＝0.350.53，c＝0.530.35，则(　　) A．a＞b＞c　　　　　 B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 解析：D　[由a＝eq \f(ln 0.35,ln 0.53)＝log0.530.35＞log0.530.53＝1， ∵y＝0.35x，y＝0.53x在R上单调递减， y＝x0.35在(0，＋∞)上单调递增， ∵0.350.53＜0.350.35＜0.530.35＜0.530＝1， ∴a＞c＞b.] 3．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1＜n＜0＜m＜1　 B．n＜－1,0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 解析：B　[如图，作直线x＝2，y＝x， 直线x＝2与各幂函数的图象及y＝x的图象的交点的纵坐标分别为2n,2－1,2m,21， 从图中可观察得2n＜2－1＜1＜2m＜21， 由指数函数y＝2x在R上是增函数，可得n＜－1,0＜m＜1.] 4．(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－5)·是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f(a)＋f(b)的值(　　) A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 解析：A　[∵函数f(x)＝(m2－m－5) 是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3. ∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0， ∴函数f(x)在(0，＋∞)为增函数，∴m2－6＞0， ∴m＝3(m＝－2舍去)， ∴f(x)＝x3为增函数．对任意a，b∈R，且a＋b＞0， 则a＞－b，∴f(a)＞f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.] 1．幂函数的解析式 y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的图象特征 ①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 3．幂函数的性质 (1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 4．幂值大小的比较 结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 二次函数的图象与性质(多维探究) ►[命题点1]　二次函数的图象　 1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) 解析：A　[由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点(1,0)， 又由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，所以抛物线的开口向上，可排除B、D项， 令x＝0，可得y＝c＜0，可排除C项．] ►[命题点2]　二次函数的单调性与最值　 2．(2025·山东广饶一中模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax－3. (1)已知f(x)在[3，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)求f(x)在[－1,2]上的最小值． 解：(1)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 要使得f(x)在[3，＋∞)上单调递增，则满足a≤3， 所以a的取值范围为(－∞，3]． (2)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 当a＜－1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(－1)＝2a－2； 当－1≤a≤2时，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在[a,2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(a)＝－a2－3； 当a＞2时，函数f(x)在[－1,2]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)＝1－4a， 综上可得，f(x)在[－1,2]上的最小值为f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－2，a＜－1，,－a2－3，－1≤a≤2，,1－4a，a＞2.)) [引申探究] 本题条件不变，求f(x)在[－1,2]上的最大值． 解：由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x＝a， 当a＜－1时，函数f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当－1＜a≤eq \f(1,2)时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当eq \f(1,2)＜a≤2时，函数f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2； 当a>2时，函数f(x)在[－1,2]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 综上，当a≤eq \f(1,2)时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a；当a＞eq \f(1,2)时，f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值． ►[命题点3]　二次函数中恒成立问题　 3．已知正实数x，y满足2x＋3y＝1，且tx2－y2≥x－y对任意x，y恒成立，则实数t的最小值是　__________　. 解析：依题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＝\f(1－2x,3)＞0，))解得0＜x＜eq \f(1,2)，则eq \f(1,x)＞2， 由tx2－y2≥x－y，得t≥eq \f(x－y＋y2,x2)， 其中eq \f(x－y＋y2,x2)＝eq \f(x－\f(1－2x,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,3)))2,x2) ＝eq \f(11x－2＋4x2,9x2)＝－eq \f(2,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋eq \f(11,9)×eq \f(1,x)＋eq \f(4,9)，① 则当eq \f(1,x)＝－eq \f(\f(11,9),－\f(4,9))＝eq \f(11,4)时①式取得最大值－eq \f(2,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))2＋eq \f(11,9)×eq \f(11,4)＋eq \f(4,9)＝eq \f(17,8)，所以t的最小值是eq \f(17,8). 答案：eq \f(17,8) 4．(2025·烟台模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[0,2]，函数g(x)＝ax－1，x∈[－1,1]，对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[－1,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[3，＋∞) C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：C　[因为f(x)＝－(x－2)2＋2，x∈[0,2]， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fxmin＝f0＝1，,fxmax＝f2＝2，))即f(x)的值域为[1,2]， 因为对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[－1,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立， 所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在[－1,1]上值域的子集， 当a＞0时，g(x)在[－1,1]上为增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)，所以g(x)∈[－a－1，a－1]，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a－1≤1，,a－1≥2，))解得a≥3， 当a＜0时，g(x)在[－1,1]上为减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(－1)，所以g(x)∈[a－1，－a－1]， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1≤1，,－a－1≥2，))解得a≤－3， 综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．] 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 二次函数零点的分布问题 [典例]　关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时？ (1)方程有一正根一负根； (2)方程两根都大于1. [破题关键点]　构造函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，借助于二次函数的图象与性质，列出不等式组进行求解． [解]　令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图①，②两种情况． 因此f(x)＝0有一正一负根等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,f0<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,f0>0，))解得0<a<1. 所以0<a<1时，方程有一正一负根． (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图③，④两种情况． 因此f(x)＝0两根都大于1等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ>0，,\f(2a＋1,2a)>1，,f1>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ>0，,\f(2a＋1,2a)>1，,f1<0，))解得a∈∅. 所以不存在实数a，使方程两根都大于1. 解决有关根的分布问题应注意以下几点 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意． 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性． [互动探究] 本例已知条件不变，求a为何值时？ (1)方程有唯一实根； (2)方程一根大于1，一根小于1. 解：(1)令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1. 当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－eq \f(1,2)，符合题意； 当a≠0时，Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝0， ∴a＝－eq \f(1,3). 所以当a＝0或－eq \f(1,3)时，方程有唯一实根． (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. f(x)大致图象如图⑤，⑥. 所以必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,f1<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,f1>0.))解得a>0. 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. $$