主题二第五章第3节等比数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-05-16

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主题二函数（选择性必修第二册）第五章数列第3节等比数列及其前n项和下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．通过实例，理解等比数列的概念． 2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比值　都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)．数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数)，或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N＋，q为非零常数)． (2)如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G2＝　ab　，即G＝±eq \r(ab).我们称G为a，b的等比中项． 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)；通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q). 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)． 3．等比数列的增减性对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝eq \f(a1,q)·qn.根据指数函数的增减性，可分析当q＞0时等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 数列{an}的增减性　递减数列　常数列递增数列　递增数列　常数列递减数列　 4.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋l，则aman＝　apal　，其中m，n，p，l∈N＋，特别地，若2k＝p＋l，则apal＝aeq \o\al(2,k)，其中p，q，l∈N＋. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　(k，m∈N＋)． (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为　qn　. 设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和． 1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·mbn}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,mbn)))(其中b，p，m是非零常数)也是等比数列． 2．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列． 3．若数列{an}的项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q. 4．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))　　　　　　 B．{log2aeq \o\al(2,n)} C．{an＋an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2} 答案：AD 2．(2025·山东泰安模拟预测)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且3a1＋9a2＝2,9aeq \o\al(2,4)＝a1a5，则(　　 ) A．an＝eq \f(1,3n) B．an＝3n C．an＝eq \f(1,3n－1) D．an＝3n－1 解析：A　[设数列{an}的公比为q，由9aeq \o\al(2,4)＝a1a5，得9aeq \o\al(2,4)＝aeq \o\al(2,3)，所以q2＝eq \f(1,9)，又因为各项均为正数，所以q＝eq \f(1,3)，由3a1＋9a2＝2，得3a1＋9a1q＝2，所以a1＝eq \f(1,3)，故an＝eq \f(1,3n).] 3．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：B　[由题可知当数列为－2，－4，－8，…时，满足q＞0，但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{Sn}是递增数列，则必有an＞0成立，若q＞0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q＞0成立，所以甲是乙的必要条件．] 4．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和为Sn＝　________　. 解析：当a＝1时，an＝1，Sn＝n; 当a≠1时，Sn＝eq \f(a1－an,1－a).∴Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n，a＝1，,\f(a1－an,1－a)，a≠1，且a≠0.)) 答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n，a＝1,\f(a1－an,1－a)，a≠1，且a≠0)) 5．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　________　　. 解析：若q＝1，则由8S6＝7S3，得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8×eq \f(a11－q6,1－q)＝7×eq \f(a11－q3,1－q)，即8×(1－q6)＝7×(1－q3)，即8×(1＋q3)(1－q3) ＝7×(1－q3)，即8×(1＋q3)＝7，解得q＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) 等比数列的基本运算 1．(2025·山东济南市历城第二中学模拟)在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3＝(　　) A．20　　　 B．12　　　　 C．8　　　 D．4 解析：C　[设{an}的公比为q，则a1－a3＋a5＝a1－a1q2＋a1q4＝2(1－q2＋q4)＝26，解得q2＝4，所以a3＝a1q2＝8.] 2．(2025·广东深圳模拟预测)已知等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是(　　 ) A．S3·S9＝Seq \o\al(2,6) B.eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,9) C．q＝eq \f(1,2) D．Sn＝2an－a1 解析：D　[等比数列{an}中，an≠0，又因为a6＝8a3，可得q3＝eq \f(a6,a3)＝8，解得q＝2，故C错误；又因为an＝a1·qn－1＝a1×2n－1，Sn＝eq \f(a11－2n,1－2)＝a1×2n－a1＝2an－a1，故D正确；又由S3＝a1(q3－1)＝a1(23－1)，S6＝a1(26－1)，所以eq \f(S6,S3)＝eq \f(a126－1,a123－1)＝9，故B错误；又因为S9＝a1(q9－1)，S3·S9＝aeq \o\al(2,1)(q12－q9－q3＋1)，Seq \o\al(2,6)＝aeq \o\al(2,1)(q12－2q6＋1)，故S3·S9≠Seq \o\al(2,6)，故A错误．] 3．(2025·江苏省响水中学模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝eq \f(S2＋S4,2)，则{an}的公比为　________　. 解析：因为{an}是等比数列，设{an}的公比为q，若q≠1时，由S6＝eq \f(S2＋S4,2)，可得2·eq \f(a11－q6,1－q) ＝eq \f(a11－q2,1－q)＋eq \f(a11－q4,1－q)，整理得2q6＝q2＋q4，因为q≠0，所以2q4＝1＋q2即2(q2)2＝1＋q2，解得q2＝－eq \f(1,2)(舍去)或q2＝1，因为若q＝1时，S6＝6a1，eq \f(S2＋S4,2)＝eq \f(2a1＋4a1,2)＝3a1≠6a1，所以舍去，所以q＝－1，综上所述，q＝－1. 答案：－1 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q). 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论．等比数列的判定与证明(师生共研) [典例]　(2025·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an＋1. (1)证明：数列{Sn－2}为等比数列； (2)记数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n项和为Tn，证明：Tn＜2. [证明]　(1)因为Sn＝2＋an＋1＝2＋(Sn＋1－Sn)，所以2Sn＝Sn＋1＋2，所以Sn＋1－2＝2(Sn－2)，因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，eq \f(Sn＋1－2,Sn－2)＝2，故数列{Sn－2}为首项为S1－2＝1，公比为2的等比数列． (2)由(1)可知Sn－2＝2n－1，所以eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,2＋2n－1)＜eq \f(1,2n－1)，所以Tn＜1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n－1)＝eq \f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝2eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＜2. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N＋)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可. (2025·全国模拟)在数列{an}中，已知各项都为正数的数列{an}满足5an＋2＋4an＋1－an＝0. (1)证明数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝eq \f(1,5)，a2＝eq \f(1,25)，求{an}的通项公式．解：(1)证明：各项都为正数的数列{an}满足5an＋2＋4an＋1－an＝0，得an＋1＋an＋2＝eq \f(1,5)(an＋1＋an)，即eq \f(an＋1＋an＋2,an＋an＋1)＝eq \f(1,5)，所以数列{an＋an＋1}是公比为eq \f(1,5)的等比数列． (2)因为a1＝eq \f(1,5)，a2＝eq \f(1,25)，所以a1＋a2＝eq \f(6,25)，由(1)知，数列{an＋an＋1}是首项为eq \f(6,25)，公比为eq \f(1,5)的等比数列，所以an＋an＋1＝eq \f(6,25)×eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n－1，于是an＋1－eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n＋1＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an－\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n))＝(－1)neq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,5)))，又因为a1－eq \f(1,5)＝0，所以an－eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n＝0，即an＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))n. 等比数列的性质及其应用 ►[命题点1]　等比数列项的性质　 [典例1]　(1)(2025·江西模拟)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝2eq \r(2)，则log4a2＋eq \f(1,2)log2a14＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6) [解析]　由题得a4a8a12＝aeq \o\al(3,8)＝2eq \r(2)，所以a8＝eq \r(2)，所以a2a14＝aeq \o\al(2,8)＝2，所以log4a2＋eq \f(1,2)log2a14＝log4a2＋log4a14＝log4(a2a14)＝log42＝eq \f(1,2). [答案]　A (2)(2025·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq \f(15,8)，a8a9＝－eq \f(9,8)，则eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝　________　. [解析]　因为eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a10,a7a10)，eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＝eq \f(a8＋a9,a8a9)，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以eq \f(1,a7)＋eq \f(1,a8)＋eq \f(1,a9)＋eq \f(1,a10)＝eq \f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9) ＝eq \f(15,8)÷eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)))＝－eq \f(5,3). [答案]　－eq \f(5,3) 1．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 2．在一个无穷等比数列中，其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项，即aeq \o\al(2,m)＝am－k·am＋k(m，k为正整数，且m＞k)． 1．(1)(2025·重庆八中模拟)各项均为正数的等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝10，则a5a6＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[因为各项均为正数的等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝10，所以log2(a1×a2×…×a10)＝10，即a1×a2×…×a10＝210. 因为{an}为正项等比数列，所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，所以(a5a6)5＝210，所以a5a6＝4.] (2)(2025·浙江金华模拟预测)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a2＋a4＋a6＝5π，b2b4b6＝3eq \r(3)，则taneq \f(a1＋a7,1－b2b6)＝　________　. 解析：由等差数列的性质可知，a2＋a4＋a6＝3a4 ＝5π，即a4＝eq \f(5π,3)，而a1＋a7＝2a4＝eq \f(10π,3)，根据等比数列的性质可知，b2b4b6＝beq \o\al(3,4)＝3eq \r(3)，则b4＝eq \r(3)，b2b6＝beq \o\al(2,4)＝3，所以taneq \f(a1＋a7,1－b2b6)＝taneq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) ►[命题点2]　等比数列前n项和的性质　 [典例2]　(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝　________　. [解析]　法一：第一步：利用等比数列前n项和的性质． Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．第二步：应用等比中项列出方程求解． (S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6或S2n＝－4(舍去)，同理可得S4n＝30. 法二：第一步：设出首项和公比．设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知可得q≠1. 第二步：列出方程组求出整体qn和eq \f(a1,1－q). ∵Sn＝2，S3n＝14， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝2，,\f(a11－q3n,1－q)＝14，))两式相比得q2n＋qn－6＝0，解得qn＝2或qn＝－3(舍去)，eq \f(a1,1－q)＝－2. 第三步：代入等比数列前n项和公式求出S4n. S4n＝eq \f(a11－q4n,1－q)＝－2×(1－24)＝30. [答案]　30 (2)(2025·全国模拟)已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 [解析]　设这个等比数列{an}共有2k(k∈N*)项，公比为q，则奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＝85，偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2k ＝q(a1＋a3＋…＋a2k－1)＝qS奇＝170， ∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(170,85)＝2，等比数列{an}的所有项之和为S2k＝eq \f(a11－22k,1－2) ＝22k－1＝170＋85＝255，则22k＝256，解得k＝4，因此这个等比数列的项数为8. [答案]　C 1．在等比数列的基本运算中，一般利用通项公式和前n项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量． 2．在应用等比数列前n项和公式求解时，要注意整体思想的应用：当公比q≠1时，Sn＝eq \f(a1,1－q)(1－qn)，令eq \f(a1,1－q)＝t，则Sn＝t(1－qn)．把eq \f(a1,1－q)与qn当成一个整体求解．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍成等比数列，这个性质成立的前提条件是公比不为－1. 2．(1)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，则eq \f(S9,S3)＝　________　. (3)(2025·全国模拟)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝　________　. 解析：(1)若{an}是等比数列，则连续n项的和也成等比数列，所以有S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，所以有(S4－S2)2＝S2·(S6－S4) (6－4)2 ＝4·(S6－6) S6＝7. (2)法一：设等比数列{an}的公比为q，因为eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，所以{an}的公比q≠1.由eq \f(a11－q6,1－q)÷eq \f(a11－q3,1－q) ＝eq \f(1,2)，得q3＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(S9,S3)＝eq \f(1－q9,1－q3)＝eq \f(3,4). 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为eq \f(S6,S3)＝eq \f(1,2)，所以公比q≠1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝eq \f(1,2)S3代入得eq \f(S9,S3)＝eq \f(3,4). (3)由题意，设奇数项的和为S1，偶数项的和为S2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1－S2＝80,S1＋S2＝－240))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1＝－80，,S2＝－160.)) 故公比q＝eq \f(S2,S1)＝eq \f(－160,－80)＝2. 答案：(1)A　(2)eq \f(3,4)　(3)2 ►[命题点3]　与等比数列有关的范围与最值问题　 [典例3]　(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，若a1＞1,0＜q＜1，且(a2 023－1)·(a2 024－1)＜0，则下列结论正确的是(　　 ) A．S2 024－S2 023＞0 B．a2 023a2 025＜1 C．数列{Tn}中的最大值是T2 023 D．数列{Tn}无最大值解析：ABC　[由a1＞1,0＜q＜1，可得an＝a1qn－1为单调递减的数列且an＞0，由(a2 023－1)·(a2 024－1)＜0，可得0＜a2 024＜1＜a2 023＜a1. S2 024－S2 023＝a2 024＞0，显然A正确；0＜a2 024＜1＜a2 023＜a1，根据等比中项可得a2 023a2 025＝aeq \o\al(2,2 024)＜1，显然B正确；由0＜a2 024＜1＜a2023＜a1，an＝a1qn－1为单调递减的数列且an＞0，可知{an}的前2 023项(包含2 023项)都大于1，从第2 024项(包含2 024项)往后都小于1，所以数列{Tn}中的最大值是T2 023，所以C正确；由C正确可知，{Tn}有最大值，所以D错误．] 等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容．在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等．对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性质确定数列项的取值范围．对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大项或最小项． 3．(2025·湖北模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1a2a3＝27，a4－a2＝－eq \f(8,3)，则a1a2…an的最大值为(　　) A．9 B．8 C．3 D．27 解析：D　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由a1a2a3＝27，a4－a2＝－eq \f(8,3)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a\o\al(3,1)q3＝27，,a1qq2－1＝－\f(8,3)，))解得q＝eq \f(1,3)，a1＝9，当且仅当n＝2或n＝3时，a1a2…an的最大值为33＝27.] $$

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