主题二第五章第2节等差数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

2025-05-16

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主题二函数（选择性必修第二册）第五章数列第2节等差数列及其前n项和下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）复盘必备知识 01 跃升关键能力 02 课时冲关 03 主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）复盘必备知识下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）跃升关键能力下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS）课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航主题二第五章数列　高考总复习数学（BS） ★[课程标准] 1．通过实例，理解等差数列的概念． 2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：对于一个数列，如果从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个　常数　为等差数列的　公差　，通常用字母　d　表示．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． (2)如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么　A　叫作　a与b　的等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 推广：①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)． ②等差数列的通项公式与函数的关系an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数． ③数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d(其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项)．推广：①等差数列的前n项和公式与函数的关系：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n ，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0. ②数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 3．等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q ∈N＋)．特别地，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak(m，n，k∈N＋)． (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是　递增　数列；当d＜0时，{an}是　递减　数列；当d＝0时，{an}是　常数列　. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…，仍是等差数列，公差为　md　(k，m∈N＋)． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． 4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最　大　值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最　小　值．已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． 1．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的eq \f(1,2). 3．在等差数列{an}中， (1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1). (2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1). 4．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn). 5．若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 6．若am＝n，an＝m(m≠0)，则am＋n＝0. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数．(　　) (5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为(　　) A．90　　 B．100　　　 C．487　　 D．505 解析：C　[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.] 2．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若S5＝S9，则必有S14＝0 B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 D．若S6＞S7，则必有S5＞S6 解析：ABC　[对于A，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝eq \f(14×a1＋a14,2)＝eq \f(14×a7＋a8,2)＝0，A正确；对于B，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；对于C，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8－S7＜0，必有S7＞S8，C正确；对于D，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误．] 3．(BSD选择性必修第二册P15练习T2改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝(　　) A．18 B．16 C．20 D．17 解析：A　[因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10，又a7＝12，所以d＝2，所以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18.] 4．(2024·全国甲卷(理))记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A.eq \f(7,2) B.eq \f(7,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,11) 解析：B　[因为S5＝S10，所以a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，即5a8＝0，∴a8＝0，又因为a5＝1，所以公差d＝－eq \f(1,3)，a1＝a8－7d＝eq \f(7,3).] 5．(忽视数列的特殊项致误)在等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，则该数列的前　________　项的和最小．解析：因为S9＝S12，所以9a1＋eq \f(9×8,2)d＝12a1＋eq \f(12×11,2)d，所以a1＝－10d＜0，所以d＞0.则有an＝－10d＋(n－1)d＝nd－11d.令an＝nd－11d≤0，则n≤11，所以n≤11，所以当n＝10或11时，Sn有最小值．答案：10或11 等差数列的基本运算 1．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝　________　. 解析：设an＝a1＋(n－1)d，则由条件得2a1＋5d＝7，4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝5(2a1＋9d)＝95. 答案：95 2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若4S1＝3S2＋S4，a5＝5，则a10＝(　　) A．3　　 B．7　　　 C．11　　 D．15 解析：D　[设等差数列{an}的公差为d，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4S1＝3S2＋S4，,a5＝5，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a1＝32a1＋d＋22a1＋3d，,a1＋4d＝5，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2，))∴a10＝a1＋9d＝－3＋18＝15.] 3．(2025·福建省华安县模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：D　[∵{an}是等差数列，∴Sm＝eq \f(ma1＋am,2) ＝0⇒a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2，又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1， 3＝am＋1＝a1＋m＝－2＋m⇒m＝5.] 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．等差数列的判定与通项 [母题]　若数列{an}的前n项和为Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq \f(1,2). (1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [破题关键点]　(1)将an＋2SnSn－1＝0(n≥2)转化为Sn与Sn－1的关系等式；(2)先求出Sn，再利用an与Sn的关系求an. [解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn－1)＝2，又eq \f(1,S1)＝eq \f(1,a1)＝2，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得eq \f(1,Sn)＝2n，∴Sn＝eq \f(1,2n). 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,2n)－eq \f(1,2n－1)＝eq \f(n－1－n,2nn－1)＝－eq \f(1,2nn－1). 当n＝1时，a1＝eq \f(1,2)不适合上式．故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2nn－1)，n≥2.)) [子题1]　将母题条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq \f(1,2)”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0. ∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0. 即eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn－1)＝eq \f(1,2).又eq \f(1,S1)＝eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2). 故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)知eq \f(1,Sn)＝eq \f(n,2)，∴Sn＝eq \f(2,n)，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－eq \f(2,nn－1)，当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,－\f(2,nn－1)，n≥2.)) [子题2]　(2025·江苏常州模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝3－eq \f(2,2n). (1)若bn＝2nan，求证：数列{bn}是等差数列； (2)求出数列{an}的通项公式an和前n项和Sn. 解：(1)证明：由Sn＋an＝3－eq \f(2,2n)，得Sn－1＋an－1＝3－eq \f(2,2n－1)，n≥2. 相减得2an－an－1＝eq \f(2,2n)，即an＝eq \f(1,2)an－1＋eq \f(1,2n). 所以bn－bn－1＝2nan－2n－1an－1 ＝2neq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)an－1＋\f(1,2n)))－2n－1an－1＝1，故数列{bn}是等差数列． (2)当n＝1时，S1＋a1＝3－1，则a1＝1，b1＝21a1＝2，由于数列{bn}是等差数列，故bn＝2nan＝n＋1，∴an＝eq \f(n＋1,2n). ∴Sn＝－an＋3－eq \f(2,2n)＝3－eq \f(n＋3,2n). 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数． (2)等差中项法：验证2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)都成立． (3)通项公式法：验证an＝pn＋q. (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．提醒：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．等差数列的性质及其应用 ►[命题点1]　等差数列项的性质　 1．(1)(2025·海南海口模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，则m＝(　　) A．9　　 B．8　　　 C．7　　 D．6 解析：C　[因为S9＝3(a3＋a5＋am)，又S9＝9a5，所以9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以a3＋a5＋am＝3a5，即a3＋am＝2a5，设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＋a1＋(m－1)d＝2(a1＋4d)，所以(m＋1)d＝8d，又d≠0，所以1＋m＝8，所以m＝7.] (2)(多选)(2025·福建泉州模拟)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，且a1＝－5，S3＝－9，则(　　) A．d＝2 B．S2，S4，S6为等差数列 C．数列{2an}是等比数列 D．S3是Sn的最小值解析：ACD　[由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，所以a2＝－3，所以d＝a2－a1＝2，故A正确；由等差数列性质S4－S2＝a3＋a4，S6－S4 ＝a5＋a6，a3＋a4≠a5＋a6，所以S2，S4，S6不是等差数列，故B错误；因为an＝a1＋(n－1)d＝－5＋2(n－1)＝2n－7，所以，所以数列是等比数列，故C正确；当an＝2n－7≤0时，n≤eq \f(7,2)，即数列{an}中，a1，a2，a3均为负数，当n≥4时，an＞0.所以S3是Sn的最小值，故D正确．] 上面两题目都可以根据基本方法，通过列方程(组)的方法得到首项和公差的关系式，但利用等差数列的性质求解则显得更为简单快捷．其中两题都用到了性质：若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.还体现了整体代换的数学思想． ►[命题点2]　等差数列前n项和的性质　 2．(1)(2025·天津宁河期末)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n)，则eq \f(a5,b3＋b7)＝　________　. 解析：因为eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n)，所以eq \f(a5,b3＋b7)＝eq \f(a5,2b5)＝eq \f(1,2)×eq \f(a5,b5)＝eq \f(1,2)×eq \f(2a5,2b5)＝eq \f(1,2)×eq \f(a1＋a9,b1＋b9) ＝eq \f(1,2)×eq \f(a1＋a9·\f(9,2),b1＋b9·\f(9,2))＝eq \f(1,2)×eq \f(S9,T9)＝eq \f(1,2)×eq \f(2×9＋1,4×9)＝eq \f(19,72). 答案：eq \f(19,72) (2)(2025·陕西省丹凤中学模拟)已知数列{an}是等差数列，eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，则eq \f(S6,S12)＝(　　) A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,9) 解析：A　[由eq \f(S3,S6)＝eq \f(1,3)，得S6＝3S3，设S3＝m，则S6＝3m，因为数列{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…，是以m为首项，m为公差的等差数列，所以S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，所以S9＝6m，S12＝10m，所以eq \f(S6,S12)＝eq \f(3m,10m)＝eq \f(3,10).] 1．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. 2．若等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(A2n－1,B2n－1). 等差数列的前n项和的最值问题 [典例]　(1)(2025·黑龙江哈尔滨模拟预测)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，则下列结论错误的是(　　 ) A．若an＝2n－25，则Sn取最小值时n的值为12 B．若an＝－3n＋27，则Sn的最大值为108 C．若S13＝S17，则必有S30＝0 D．若首项a1＞0，S6＝S12，则Sn取最小值时n的值为9 [解析]　对于A，因为an＝2n－25，所以a1＝－23，所以Sn＝eq \f(n－23＋2n－25,2) ＝n2－24n＝(n－12)2－144，所以当n＝12时，Sn取得最小值，正确；对于B，因为an＝－3n＋27，所以a1＝24，所以Sn＝eq \f(n24－3n＋27,2)＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(51,2)n ＝－eq \f(3,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(n－\f(17,2)))2－\f(289,4)))，所以当n＝8或n＝9时，Sn取得最大值为S8＝ S9－eq \f(3,2)×64＋eq \f(51,2)×8＝108，正确；对于C，若S13＝S17，则S17－S13＝a17＋a16＋a15＋a14＝0，又因为a17＋a14＝a16＋a15，所以a16＋a15＝0，所以S30＝eq \f(30a1＋a30,2) ＝eq \f(30a16＋a15,2)＝0，正确；对于D，若a1＞0，S6＝S12，则S12－S6＝a12＋a11＋a10＋a9＋a8＋a7＝0，又因为a12＋a7＝a11＋a8＝a10＋a9＝0，所以a10＋a9＝0，所以d＝－eq \f(2,17)a1＜0，所以等差数列{an}为递减数列，所以a1＞a2＞…＞a9＞0＞a10＞a11＞…，所以Sn取最大值时n的值为9，错误． [答案]　D (2)在等差数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1＝20，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． [解]　第一步：利用已知求出公差d. ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋eq \f(10×9,2)d＝15×20＋eq \f(15×14,2)d， ∴d＝－eq \f(5,3). 法一：第二步：写出数列的通项公式，找到正、负分界等于零的项．由an＝20＋(n－1)×eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq \f(5,3)n＋eq \f(65,3)，得a13＝0. 即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0. ∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．第三步：找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． ∴Sn的最大值为S12＝S13 ＝12×20＋eq \f(12×11,2)×eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝130. 法二：第二步：写出等差数列的前n项和Sn，然后配方找出对称轴，由于n∈N＋，确定n的值． Sn＝20n＋eq \f(nn－1,2)·eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq \f(5,6)n2＋eq \f(125,6)n ＝－eq \f(5,6) eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))2＋eq \f(3 125,24). ∵n∈N＋，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，第三步：找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． Sn的最大值为S12＝S13＝130. 法三：第一步：由已知和等差数列的性质可得a13＝0. 由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. 第二步：确定取得最大值的相应的n的值，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． ∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130. 求等差数列前n项和的常用方法 (1)运用配方法将Sn的表达式转化为二次函数，借助二次函数的单调性及数形结合的思想，从而使问题得到解决．但需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件；若对称轴取不到，则需要考虑n取最接近对称轴的正整数；若对称轴在两个正整数中间，此时有两个符合题意的n值． (2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1＞0，Sp＝Sq，且p≠q，则 ①若p＋q为偶数，则当n＝eq \f(p＋q,2)时，Sn最大； ②若p＋q为奇数，则当n＝eq \f(p＋q－1,2)或n＝eq \f(p＋q＋1,2)时，Sn最大． 1．(2025·全国模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＞S8，S8＝S9＜S10，则下面结论错误的是(　　) A．a9＝0 B．S15＞S14 C．d＜0 D．S8与S9均为Sn的最小值解析：C　[对于A选项，由S8＝S9，可得a9＝S9－S8＝0，A选项正确；对于C选项，由S7＞S8，可得a8＝S8－S7＜0，∴d＝a9－a8＝－a8＞0，C选项错误；对于D选项，由S10＞S9，可得a10＝S10－S9＞0，且a9＝0，a8＜0，d＞0，所以当n≤8且n∈N＋时，an＜0，且a9＝0，则S8与S9均为Sn的最小值，D选项正确；对于B选项，∵a9＝0，d＞0，当n≥10时，an＞a9＝0，所以S15－S14＝a15＞0，B选项正确．] 2．(2025·江西上饶模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4 047＞0，S4 046＜0，则当n＝　______　时，Sn最小．解析：根据等差数列的前n项和公式和性质得： S4 047＝eq \f(a1＋a4 047×4 047,2)＝4 047a2 024＞0⇒a2 024＞0， S4 046＝eq \f(a1＋a4 046×4 046,2)＝2 023(a1＋a4 046)＜0⇒a2 023＋a2 024＜0， ∴a2 023＜0，a2 024＞0，∴{an}的前2 023项为负，从2 024项开始为正，故前2 023项和最小．答案：2 023 $$

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