第九章 §9.2 用样本估计总体-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第九章　统计与成对数据的统计分析 §9.2　用样本估计总体 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第九章　统计与成对数据的统计分析 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数． 2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 1．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)． (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最　中间　的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的　平均数　(当数据个数是偶数时)． (3)众数：一组数据中出现次数　最多　的数据(即频数最大值所对应的样本数据)． 3．方差和标准差 (1)方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up16(－)))2]． (2)标准差：s＝ 　eq \r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up16(－))2＋x2－\o(x,\s\up16(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up16(－))2])　. 巧用三个有关的结论 (1)若x1，x2，…，xn的平均数为eq \o(x,\s\up16(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq \o(x,\s\up16(－))＋a； (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变； (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　×　) (2)一组数据的第p百分位数可以不唯一．(　√　) (3)方差与标准差具有相同的单位．(　×　) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　) 2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为87,89,90,91,92,93,94,96，则这组数据的平均数是(　　) A．91　　 B．91.5 C．92　　 D．92.5 解析：B　[平均数eq \o(x,\s\up16(－))＝ eq \f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.] 3．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是(　　) A．这组数据的极差为4 B．这组数据的平均数为3 C．这组数据的中位数为4 D．这组数据的众数为3和5 解析：AC　[这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为eq \f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq \f(11,3)，B错误；中位数为eq \f(3＋5,2)＝4，C正确；众数为5，D错误．] 4．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________． 解析：因为75%×20＝15，所以第75百分位数为eq \f(14＋15,2)＝14.5.因为86%×20＝17.2，所以第86百分位数为第18个数据17. 答案：14.5　17 　总体取值规律和百分位数的估计 [例1]　(1)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则(　　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 [解析]　讲座前中位数为eq \f(70%＋75%,2)＞70%，所以A错误；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B正确；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，所以D错误． [答案]　B (2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为eq \o(x,\s\up16(－))，方差为s2，则(　　) A.eq \o(x,\s\up16(－))＝4，s2＜2　　　　 B.eq \o(x,\s\up16(－))＝4，s2＝2， C.eq \o(x,\s\up16(－))＞4，s2＜2 D.eq \o(x,\s\up16(－))＞4，s2＞2， [解析]　设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7， 则eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4， eq \f(1,7)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2]＝2， 所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28， 所以(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14， 则这个8数的平均数为eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq \f(1,8)×(28＋4)＝4， 方差为s2＝eq \f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝eq \f(1,8)×(14＋0)＝eq \f(7,4)＜2. [答案]　A 众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论 (1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小． (2)方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,n))－neq \o(x,\s\up16(－))2]，或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋…＋xeq \o\al(2,n))－eq \o(x,\s\up16(－))2，即方差等于原始数据平方的平均数减去平均数的平方． 1．[多选](2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析：BD　[因为eq \f(x2＋x3＋x4＋x5,4)－ eq \f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6) ＝eq \f(x2＋x3＋x4＋x5－2x1＋x6,12)≠0， 所以A错误；因为x1是最小值，x6是最大值，所以x2，x3，x4，x5的中位数的位置与x1，x2，…，x6的中位数的位置相同，所以B正确；因为x1是最小值，x6是最大值，距离数据x1，x2，…，x6的平均值较远，即波动性大，所以标准差大，所以C错误；假设x2，x3，x4，x5的最小值为x2，最大值为x5，则x1≤x2，x5≤x6，所以x6－x1≥x5－x2，所以D正确．] 2．[多选]北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7,12,13,17,18,20,32，则(　　) A．该组数据的极差为25 B．该组数据的75%分位数为19 C．该组数据的平均数为17 D．若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 解析：ACD　[对于A项，极差等于32－7＝25，故A正确；对于B项，7×75%＝5.25，故75%分位数为20，故B错误；对于C项，平均数等于eq \f(7＋12＋13＋17＋18＋20＋32,7)＝17，故C正确；对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确．] 总体集中趋势的估计 [例2]　在2025年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)； (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数． [解]　(1)由频率分布直方图的性质， 可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1， 解得a＝0.003.所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%. (2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66， 得分在130分以下的学生所占比例为 0．66＋0.014×20＝0.94， 所以第80百分位数位于[110,130)内， 由110＋20×eq \f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估计第80百分位数为120分． (3)由图可得，众数估计值为100分． 平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)． 估计总体集中趋势的几个数字特征 (1)中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需要根据实际需要选择使用. (2)频率分布直方图的数字特征 ①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标； ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积和应该相等； ③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和. 需要选择使用． 棉花是我国纺织工业重要的原料．新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收、实现乡村振兴战略都具有重要意义．准确掌握棉花质量现状、动态，可以促进棉花产业健康和稳定的发展．在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度(单位：mm)，得到样本的频数分布表如下： 纤维长度 频数 频率 [0,50) 4 0.04 [50,100) 8 0.08 [100,150) 10 0.10 [150,200) 10 0.10 [200,250) 16 0.16 [250,300) 40 0.40 [300,350] 12 0.12 (1)在图中作出样本的频率分布直方图； (2)根据(1)中作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数、中位数与平均数，并对这批棉花的众数、中位数和平均数进行估计． 解：(1)样本的频率分布直方图如图所示． (2)由样本的频率分布直方图，得众数为eq \f(250＋300,2)＝275(mm)；设中位数为x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位数为252.5 mm；设平均数为eq \o(x,\s\up16(－))，则eq \o(x,\s\up16(－))＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.10＋175×0.10＋225×0.16＋275×0.40＋325×0.12＝222(mm)，故平均数为222 mm.由样本的这些数据，可得购进的这批棉花的众数、中位数和平均数分别约为275 mm、252.5 mm和222 mm. 　总体离散程度的估计 [例3]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 伸缩率xi 伸缩率yi 1 545 536 2 533 527 3 551 543 4 522 530 5 575 560 6 544 533 7 541 522 8 568 550 9 596 576 10 548 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为eq \x\to(z)，样本方差为s2. (1)求eq \x\to(z)，s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果eq \x\to(z)≥2eq \r(\f(s2,10))，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． [解]　(1)eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(1,10)(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(1,10)(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3， eq \o(z,\s\up16(－))＝eq \o(x,\s\up16(－))－eq \o(y,\s\up16(－))＝552.3－541.3＝11. zi＝xi－yi的值分别为：9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12， 故s2＝eq \f(1,10)[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知：eq \o(z,\s\up16(－))＝11,2eq \r(\f(s2,10))＝2eq \r(6.1)＝eq \r(24.4)，故有eq \o(z,\s\up16(－))≥2eq \r(\f(s2,10))，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表． y的分组 [－0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80] 企业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．精确到0.01)．附：eq \r(74)≈8.602. 解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为eq \f(14＋7,100)＝0.21. 产值负增长的企业频率为eq \f(2,100)＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%. (2)eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(1,100)×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s2＝eq \f(1,100)ni(yi－eq \o(y,\s\up16(－)))2 ＝eq \f(1,100)×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6， s＝eq \r(0.029 6)＝0.02×eq \r(74)≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. $$