第八章 §8.5 椭圆-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.5　椭圆 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质． 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于　常数　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的　焦点　，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的　焦距　. 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a＞b＞0) 范围 　－a≤x≤a且－b≤y≤b　 　－b≤x≤b且－a≤y≤a　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　， 　B1(0，－b)，B2(0，b)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 　B1(－b,0)，B2(b,0)　 轴长 短轴长为　2b　，长轴长为　2a　 焦点 　F1(－c,0)，F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 |F1F2|＝　2c　 对称性 对称轴：　x轴和y轴　，对称中心：　原点　 离心率 e＝eq \f(c,a)(0＜e＜1) a，b，c的关系 　a2＝b2＋c2　 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c， |PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　√　) (4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距相同．(　√　) 2．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　 B．5 C．8　　 D．10 解析：D　[依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.] 3．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不对 解析：C　[直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)．若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1.] 4．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　) A．3 B．2＋eq \r(3) C．2 D.eq \r(3)＋1 解析：A　[由题知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝1，距离的最大值为a＋c＝3.] 　椭圆的定义及其应用 [例1]　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆　　　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [解析]　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆． [答案]　B (2)如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为(　　) A.eq \f(2\r(3),3)　　 B.eq \f(3\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),4)　　 D.eq \f(4\r(3),3) [解析]　由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝eq \f(16,3)，∴＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \f(4\r(3),3). [答案]　D 椭圆定义的应用技巧 (1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆． (2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换． (3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题． 1．[多选]已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B．＝2eq \r(2) C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5) D.eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝2 解析：BCD　[由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6， 故＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B选项正确； 设点P到x轴的距离为d，则＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，解得d＝eq \f(2\r(10),5)，故C选项正确； eq \o(PF1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝|eq \o(PF1,\s\up16(→))|·|eq \o(PF2,\s\up16(→))|cos∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D选项正确．] 2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 解析：椭圆方程可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1， 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， ∴|AF1|＝eq \r(2)，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－eq \r(2)≤|PA|＋|PF|≤6＋eq \r(2). 答案：6＋eq \r(2)　6－eq \r(2) 椭圆的标准方程 [例2]　(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0) C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0) [解析]　∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴顶点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)． [答案]　A (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________． [解析]　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1. [答案]　eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． 1．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A(0，b)，点B在椭圆C上，eq \o(AF1,\s\up16(→))＝2eq \o(F1B,\s\up16(→))，D，E分别是AF2，BF2的中点，且△DEF2的周长为4，则椭圆C的方程为(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,8)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,4)＝1 D．x2＋eq \f(3y2,2)＝1 解析：B　[因为eq \o(AF1,\s\up16(→))＝2eq \o(F1B,\s\up16(→))，所以A，F1，B三点共线，且|AF1|＝2|F1B|，因为D，E分别为AF2，BF2的中点，所以4a＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2(|DE|＋|DF2|＋|EF2|)＝8， 所以a＝2.设B(x0，y0)，F1(－c,0)，A(0，b)，由eq \o(AF1,\s\up16(→))＝2eq \o(F1B,\s\up16(→))，可得(－c，－b)＝2(x0＋c，y0)，求得x0＝－eq \f(3c,2)，y0＝－eq \f(b,2)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3c,2)，－\f(b,2)))，因为点B在椭圆C上，所以eq \f(9c2,16)＋eq \f(1,4)＝1，求得c2＝eq \f(4,3)，b2＝eq \f(8,3)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,8)＝1.] 2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为________． 解析：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1. 答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1 椭圆的几何性质 ►[角度1]　离心率　 [例3－1]　(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq \r(3)e1，则a＝(　　) A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(6) [解析]　由题意易得，e1＝eq \f(\r(a2－1),a)，e2＝eq \f(\r(3),2)，得eq \f(\r(a2－1),a)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(2\r(3),3). [答案]　A (2)已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． [解析]　若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq \f(1,2)，又e<1，所以e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). [答案]　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) ►[角度2]　与椭圆有关的范围(最值)　 [例3－2]　(1)设B是椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A.eq \f(5,2) B.eq \r(6) C.eq \r(5) D．2 [解析]　由P在C上，设P(x0，y0)，则eq \f(x\o\al(2,0),5)＋yeq \o\al(2,0)＝1，又B(0,1)，所以|PB|2＝xeq \o\al(2,0)＋(y0－1)2，由eq \f(x\o\al(2,0),5)＋yeq \o\al(2,0)＝1，得xeq \o\al(2,0)＝5－5yeq \o\al(2,0)，y0∈[－1,1]，代入上式，得|PB|2＝5－5yeq \o\al(2,0)＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(1,4)))2＋eq \f(25,4)，y0∈[－1,1]．因此当且仅当y0＝－eq \f(1,4)时，|PB|取得最大值eq \f(5,2). [答案]　A (2)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞) [解析]　由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m<3时，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(m)，tan α＝eq \f(\r(3),\r(m))≥tan 60°＝eq \r(3)，∴0<m≤1. ②如图2，当焦点在y轴，即m>3时，a＝eq \r(m)，b＝eq \r(3)，tan α＝eq \f(\r(m),\r(3))≥tan 60°＝eq \r(3)，∴m≥9.综上，m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案]　A 1．求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解． (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 2．利用椭圆几何性质求值域或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围． 1．如图，A，B分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　) A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,4) 解析：C　[设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知A(－a,0)，B(a,0)，则eq \f(x\o\al(2,2),a2)＋eq \f(y\o\al(2,2),b2)＝1⇒yeq \o\al(2,2)＝eq \f(b2a2－x\o\al(2,2),a2)，kAQ·kBQ＝eq \f(y2－0,x2＋a)·eq \f(y2－0,x2－a)＝eq \f(y\o\al(2,2),x\o\al(2,2)－a2)＝－eq \f(b2,a2)＝e2－1， 又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kAQ·kBP＝\f(y2－0,x2＋a)·\f(y1－0,x1－a)＝－1，,4kBQ＝4\f(y2－0,x2－a)＝kBP＝\f(y1－0,x1－a)，))所以kAQ·kBQ＝－eq \f(1,4)，∴4kAQ·kBQ＝4(e2－1)＝－1，解得e＝eq \f(\r(3),2).] 2．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋eq \f(y2,4)＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：B　[由x2＋eq \f(y2,4)＝1可知a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，不妨令F1(0，eq \r(3))，F2(0，－eq \r(3))，则|MF2|＋|MN|≥|NF2|，而|MF1|＝|MN|，所以当N，M，F2三点共线时(M在线段NF2上)，|NF2|取得最大值，此时|NF2|＝|NM|＋|MF2|＝|MF1|＋|MF2|＝2a＝4.] $$