第八章 §8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 1．直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－a2＋y－b2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ　＜　0 Δ　＝　0 Δ　＞　0 几何观点 d　＞　r d　＝　r d　＜　r 2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \o\al(2,1)， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \o\al(2,2)， 则圆心距d＝|C1C2|＝　eq \r(x1－x22＋y1－y22)　. 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d＞r1＋r2　 d＜|r1－r2|　 　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　 d＝|r1－r2|　 d＝r1＋r2　 图示 公切线 条数 4 0 2 1 3 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \o\al(2,1)＋Eeq \o\al(2,1)－4F1＞0)和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \o\al(2,2)＋Eeq \o\al(2,2)－4F2＞0)交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　×　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　) 2．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法确定 解析：A　[圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．] 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A.eq \r(3) B．2 C.eq \r(6) D．2eq \r(3) 解析：D　[直线方程为y＝eq \r(3)x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0,2)到直线的距离d＝eq \f(|\r(3)×0－2|,2)＝1，所以所求弦长为2×eq \r(22－12)＝2eq \r(3).] 4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________． 解析：两圆的圆心分别为C1(0,1)，C2(0,0)，半径分别为1,2，|C1C2|＝2－1＝1，r2－r1＝1，∴两圆内切． 答案：内切 5．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________. 解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq \r(5). 圆心到直线l的距离，eq \f(|3×1－2－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)， |AB|＝2eq \r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq \r(10). 答案：eq \r(10) 直线与圆的位置关系 ►[角度1]　位置关系的判断　 [例1－1]　直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离　　　 B．相交或相切 C．相交 D．相切 [解析]　方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8＜0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交． 方法二　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2＜3，所以直线与圆相交． [答案]　C ►[角度2]　弦长问题　 [例1－2]　(1)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　) A．±2　　 B．±eq \r(2) C．±eq \r(3)　　 D．±eq \r(5) [解析]　由题可得圆心为(0,0)，半径为2， 则圆心到直线的距离d＝eq \f(|m|,\r(k2＋1))， 则弦长为2eq \r(4－\f(m2,k2＋1))， 则当k＝0时，弦长取得最小值为2eq \r(4－m2)＝2，解得m＝±eq \r(3). [答案]　C (2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过点(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 [解析]　当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq \r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0. [答案]　B ►[角度3]　切线问题　 [例1－3]　[多选]过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程可能为(　　) A．x＝4 B．15x＋8y－36＝0 C．y＝－3 D．8x－15y－3＝0 [解析]　由圆心为(3,1)，半径为1， 过点A(4，－3)的切线斜率存在时， 设切线为y＝k(x－4)－3， 则d＝eq \f(|－k－3－1|,\r(1＋k2))＝1，可得k＝－eq \f(15,8)，所以y＝－eq \f(15,8)(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0； 过点A(4，－3)的切线斜率不存在时，x＝4，显然与圆相切， 综上，切线方程为：15x＋8y－36＝0或x＝4. [答案]　AB ►[角度4]　直线与圆位置关系中的最值问题　 [例1－4]　在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________． [解析]　由圆的方程知，圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)， 设|AC|＝x，则x≥eq \f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2). ∵AP，AQ为圆C的切线， ∴CP⊥AP，CQ⊥AQ， ∴|AP|＝|AQ|＝eq \r(|AC|2－r2)＝eq \r(x2－4). ∵AC是PQ的垂直平分线， ∴|PQ|＝2×eq \f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq \f(4\r(x2－4),x) ＝4eq \r(1－\f(4,x2)). ∵x≥2eq \r(2)， ∴eq \f(1,2)≤1－eq \f(4,x2)<1， ∴2eq \r(2)≤|PQ|<4， 即线段PQ的长的取值范围为[2eq \r(2)，4)． [答案]　[2eq \r(2)，4) 处理切线、弦长问题的策略 (1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 1．[多选](2025·深圳模拟)设直线l：y＝kx＋1(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5，则下列结论正确的为(　　) A．l与C可能相离 B．l不可能将C的周长平分 C．当k＝1时，l被C截得的弦长为eq \f(3\r(2),2) D．l被C截得的最短弦长为4 解析：BD　[对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C的周长平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项正确；对于C选项，当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(\r(2),2)， 所以直线l被C截得的弦长为2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝3eq \r(2)，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(1,\r(k2＋1))≤1， 所以直线l被C截得的弦长为2eq \r(5－d2)≥4，D选项正确．] 2．设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析：A(－2,3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2,2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上， 所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝eq \f(a－3,－2)x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0； 圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1， 依题意圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－3a－3－4－2a|,\r(a－32＋22))≤1， 即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,2)，即a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))). 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))) 圆与圆的位置关系 [例2]　(1)[多选]已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，下列说法正确的是(　　) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m＞eq \f(25,8) D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝eq \f(\r(14),2) [解析]　圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心O1(1,0)，半径r1＝2，若m＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝16的圆心O2(5,0)，半径r2＝4，则O1O2＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|＜O1O2＜r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线x－y＝0的距离d＝eq \f(|5－0|,\r(2))＜eq \r(4m)，解得m＞eq \f(25,8)，故C正确；若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝eq \f(|1－0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以相交弦长|MN|＝2eq \r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(14)，故D错误． [答案]　AC (2)[多选]已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为(　　) A．两圆有两条公切线 B．直线AB的方程为y＝2x＋2 C．线段AB的长为eq \f(6,5) D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为eq \r(5)＋3 [解析]　对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确； 对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误； 对于C，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线AB的距离d＝eq \f(4,\r(4＋1))＝eq \f(4\r(5),5) ，所以|AB|＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)))2)＝eq \f(4\r(5),5)，故C错误；对于D，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝eq \r(5)＋3，故D正确． [答案]　AD (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． [多选](2025·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是(　　) A．点(1，－1)在圆O2内 B．直线AB的方程为x＋y－1＝0 C．圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2＋eq \r(2) D．圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|＞|AB| 解析：BC　[对于A，因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3＞0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A错误； 对于B，圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点， 因为圆O1和圆O2相交，将两圆相减可得：x＋y－1＝0， 即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆O1的圆心坐标为(－1,0)，半径为2， 圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|－1－1|,\r(2))＝eq \r(2)， 所以圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2＋eq \r(2)，故C正确； 对于D，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)， 所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，D错误．] $$