第八章 §8.3 圆的方程-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.3　圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫做圆 方 程 标准 　 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C　(a，b) 半径为　r　 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 半径r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在　圆外　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在　圆上　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在　圆内　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　) (2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.(　×　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　√　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　√　) 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2,3)，3　　　　　 B．(－2,3)，eq \r(3) C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13) 解析：D　[圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq \r(13).] 3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析：C　[设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.] 4．[多选]已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的有(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6 解析：ABD　[圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，显然C不正确，令x＝0，解得y＝0或－6，令y＝0，解得x＝0或x＝8，ABD均正确．] 　圆的方程 [例1]　(1)(2025·青岛模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 [解析]　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1. [答案]　C (2)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________． [解析]　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F≯0)， 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0,16＋4D＋F＝0,1＋1－D＋E＋F＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0,D＝－4,E＝－6))， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0,16＋4D＋F＝0,16＋4＋4D＋2E＋F＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0,D＝－4,E＝－2))， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0,1＋1－D＋E＋F＝0,16＋4＋4D＋2E＋F＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝0,D＝－\f(8,3),E＝－\f(14,3)))， 所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(8,3)x－eq \f(14,3)y＝0， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)； 若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋1－D＋E＋F＝0,16＋4D＋F＝0,16＋4＋4D＋2E＋F＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(F＝－\f(16,5),D＝－\f(16,5),E＝－2))， 所以圆的方程为x2＋y2－eq \f(16,5)x－2y－eq \f(16,5)＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25). [答案]　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝eq \f(65,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋(y－1)2＝eq \f(169,25). 求与圆有关的轨迹问题常采用的方法 (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，设出圆的方程，用待定系数法求解． 1．已知圆E经过两点A(0,1)，B(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________． 解析：因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).则圆E的半径为|EB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq \f(5,4)，所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16) 2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________． 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②)) 在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 设x1，x2是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④ 联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0. 故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. 答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 与圆有关的轨迹问题 ►[角度1]　直接法　 [例2－1]　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的eq \r(2)倍，则△MAB面积的最大值为(　　) A．8eq \r(2)　　 B．8 C．4eq \r(2)　　 D.eq \f(16,3) [解析]　以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设M(x，y)，且A(－2,0)，B(2,0) 由|MA|＝eq \r(2)|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2， 化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32，半径r＝4eq \r(2)， 如图，有S△MAB≤eq \f(1,2)·|AB|·r＝8eq \r(2). [答案]　A ►[角度2]　定义法　 [例2－2]　已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＋y2－2x－2y－3＝0 C．x2＋y2－2y－3＝0 D．y2＝－4x [解析]　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1,1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2， 则|AC|＝eq \r(|MC|2＋|AM|2)＝eq \r(5)， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5， 即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. [答案]　B ►[角度3]　相关点法数　 [例2－3]　(2024·新课标全国Ⅱ卷，T5)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1(y＞0) B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1(y＞0) C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1(y＞0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,8)＝1(y＞0) [解析]　设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x,0)， 因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x,2y)， 又P在圆x2＋y2＝16(y＞0)上， 所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1(y＞0)， 即点M的轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1(y＞0)． [答案]　A 　上面2024年新课标Ⅱ卷T5源于人教A版选择性必修一P108例题2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．) 解：点P在圆x2＋y2＝4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 求与圆有关的轨迹问题常采用的方法 根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3,0)，且M是线段BC的中点， 所以由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C(x0，y0)满足(x0－1)2＋yeq \o\al(2,0)＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 与圆有关的最值问题 [例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． [解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆． (1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如图1)． 所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3). (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)(如图2)． 所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6). (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)． 又圆心到原点的距离为eq \r(2－02＋0－02)＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3). 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 1．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为(　　) A．9 B．14 C．16 D．26 解析：D　[设O为坐标原点，P(x，y)， 则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2 ＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8. 圆C的圆心为C(3，eq \r(7))，半径为r＝1，OC＝4， 所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9， 所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.] 2．已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为(　　) A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4) 解析：B　[由x2＋y2－4x－2y－4＝0 得(x－2)2＋(y－1)2＝9. eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA， 其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点． 设过定点A的直线l∶y－1＝k(x＋3)与圆相切， 则eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3， 解得k＝±eq \f(3,4)， 所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)， 所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).] $$