第八章 §8.2 两条直线的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.2　两条直线的位置关系 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝　(A1，B1)　，l4的法向量v2＝　(A2，B2)　的位置关系如下表： 位置 关系 法向量满 足的条件 l1，l2满足 的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 　k1＝k2　 　且b1≠b2　 　A1B2－A2B1＝0且　　A1C2－A2C1≠0　 垂直 v1⊥v2 　k1·k2＝－1　 　A1A2＋B1B2＝0　 相交 不共线 v1与v2 　k1≠k2　 　A1B2－A2B1≠0　 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2). (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)). (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)). 1．三种常见的直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0. (3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解． 2．五种常见的对称 (1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．(　×　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.(　×　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　×　) 2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A.eq \r(2)　　　　　　 B．2－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1 解析：C　[由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq \r(2)，又a>0，∴a＝eq \r(2)－1.] 3．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　) A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3 解析：C　[直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)(m≠0)，故m＝2或－3.] 4．两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________． 解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－8－－10|,\r(22＋32))＝eq \f(2\r(13),13). 答案：eq \f(2\r(13),13) 两条直线的平行与垂直 [例1]　(1)[多选]已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若A2＝0，则l2表示与x轴平行或重合的直线 B．直线l1可以表示任意一条直线 C．若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2 D．若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2 [解析]　对于A，当A2＝0时，l2斜率为0，与x轴平行或重合，故A正确；对于B，当B1＝0时，l1斜率不存在，当B1≠0时，l1斜率存在，能表示任意直线，故B正确；对于C，若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，则l1∥l2，故C错误；对于D，若B1B2≠0，则由A1A2＋B1B2＝0可得斜率之积为－1，故l1⊥l2，若B1＝0(B2＝0)，可得A2＝0(A1＝0)，此时满足A1A2＋B1B2＝0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D正确． [答案]　ABD (2)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________． [解析]　解法一：由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))， 因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3). 由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))， 即4x－3y＋9＝0. 解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0， 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，)) 可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))， 代入4x－3y＋m＝0得m＝9， 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 解法三：由题意知直线x－3y＋4＝0不满足条件， 设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2， 代入①式得，所求直线方程为4x－3y＋9＝0. [答案]　4x－3y＋9＝0 1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 1．直线l1：mx－3y－1＝0，l2：(3m－2)x－my＋2＝0，则“m＝0或－eq \f(1,3)”是“l1⊥l2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：C　[当m＝0时，直线l1：y＝－eq \f(1,3)，l2：x＝1，两直线倾斜角分别为0°和90°，l1⊥l2；当m＝－eq \f(1,3)时，直线l1的斜率为－eq \f(1,9)，l2的斜率为9，－eq \f(1,9)×9＝－1，l1⊥l2.充分性成立；对于直线l1：mx－3y－1＝0，l2：(3m－2)x－my＋2＝0，若l1⊥l2，则有m(3m－2)＋3m＝0，解得m＝0或m＝－eq \f(1,3).必要性成立．所以“m＝0或－eq \f(1,3)”是“l1⊥l2”的充要条件．] 2．[多选]已知直线l1：4x＋3y－2＝0，l2：(m＋2)x＋(m－1)y－5m－1＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l2过定点(2,3) B．当m＝10时，l1∥l2 C．当m＝－1时，l1⊥l2 D．当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3 解析：ABD　[l2：(m＋2)x＋(m－1)y－5m－1＝0(m∈R)变形为m(x＋y－5)＋2x－y－1＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－5＝0，,2x－y－1＝0，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))因此直线l2过定点(2,3)，故A正确；当m＝10时，l1：4x＋3y－2＝0，l2：12x＋9y－51＝0，所以eq \f(4,12)＝eq \f(3,9)≠eq \f(－2,－51)，故两直线平行，故B正确；当m＝－1时， l1：4x＋3y－2＝0，l2：x－2y＋4＝0，因为4×1＋3×(－2)≠0，故两直线不垂直，故C错误；当l1∥l2时，则满足eq \f(m＋2,4)＝eq \f(m－1,3)≠eq \f(－5m－1,－2)，解得m＝10，此时l1：4x＋3y－2＝0，l2：12x＋9y－51＝0，即4x＋3y－17＝0，则两直线间的距离为eq \f(|－2－－17|,\r(42＋32))＝3，故D正确．] 两直线的交点与距离问题 [例2]　(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为(　　) A．a＝6，d＝eq \f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq \f(\r(5),3) C．a＝6，d＝eq \f(\r(5),3) D．a＝－6，d＝eq \f(\r(6),3) [解析]　由题知2×3＝－a，解得a＝－6， 又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋eq \f(4,3)＝0， ∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,3))),\r(5))＝eq \f(\r(5),3). [答案]　B (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________． [解析]　若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0， 由题设有eq \f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq \f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))， 即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4. 此时直线方程为4x－y－2＝0. 若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1经检验，满足题设条件． 故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1. [答案]　4x－y－2＝0或x＝1 两平行线间的距离的求法 ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式． 1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.eq \f(9,5)　　 B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10)　　 D.eq \f(29,5) 解析：C　[因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)， 所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10).] 2．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2 解析：B　[由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝eq \r(2).] 对称问题 ►[角度1]　点关于点中心对称　 [例3－1]　过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为__________． [解析]　设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0. [答案]　x＋4y－4＝0 ►[角度2]　点关于直线对称　 [例3－2]　(2025·石家庄质检)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________. [解析]　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq \f(34,5). [答案]　eq \f(34,5) ►[角度3]　直线关于直线的对称问题　 [例3－3]　直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　) A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 [解析]　设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，)) 由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， 则2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. [答案]　A 对称问题的解题策略 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解． 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2·\f(x－1,2)－3·\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).)) ∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2·\f(a＋2,2)－3·\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)·\f(2,3)＝－1，)) 解得a＝eq \f(6,13)，b＝eq \f(30,13)，得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设直线m与直线l的交点为N， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)． 又m′经过点N(4,3)，m′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13)))， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上， 易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)， 再由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 解法二：∵l∥l′， ∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得eq \f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq \f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，C＝1(舍) ∴直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 解法三：设P(x，y)为l′上任意一点， 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)． ∵点P′在直线l上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. $$