第八章 §8.1 直线的方程-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.1　直线的方程 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复习策略—教师专享 1．全面系统复习，深刻理解知识本质 概念：直线的倾斜角、斜率、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，圆与圆的位置关系等． 方程与公式：直线方程的五种形式，两直线平行、垂直满足的条件，点到直线的距离公式，圆的一般方程、标准方程，椭圆的标准方程、离心率公式，双曲线的标准方程、离心率公式、渐近线方程，抛物线的标准方程、准线方程，直线与圆锥曲线相交的弦长公式． 2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)由两个独立的条件确定一条直线方程． (2)由三个独立的条件确定圆的方程． (3)直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系及判断方法． (4)求动点的轨迹方程． (5)求圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的标准方程，利用圆锥曲线的定义、几何性质求解未知量及未知量的范围． (6)直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系． (7)利用直线与圆锥曲线的知识探究定值、定点、最值问题． 3．重视数学思想方法的应用 平面解析几何的基本思想方法是“坐标法”、利用平面直角坐标系，把点用坐标表示，直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等用方程表示，并用代数方法研究几何问题，所以解析几何有两个基本问题：(1)根据已知的几何条件，求出曲线(点的轨迹)的方程．(2)由曲线的方程，通过代数运算研究曲线的几何性质． 平面解析几何问题中蕴含着十分丰富的数学思想方法、数形结合思想、用代数的方法解决几何问题是解析几何的灵魂，要善于用代数的方法解决几何问题，善于利用方程思想、数形结合思想解决几何问题． (1)数形结合思想：在解决与直线的倾斜角、斜率有关的最值问题、有关对称问题、与参数有关的问题、有关弦的中点问题时，往往用到数形结合思想． (2)函数与方程思想：在求解直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等的方程，解决参数问题、最值问题时，经常利用函数与方程思想． (3)分类与整合思想：在解决与参数有关的问题时，往往依据解析式特点、函数取最值的条件，或题设条件对参数进行分类讨论． (4)转化与化归思想：通过构造函数，将直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离问题或方程(组)解的问题，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程(组)解的问题，定点、定值问题转化为方程问题，最值(范围)问题转化为不等式问题或函数的值域问题． ★[考试要求] 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 1．直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则eq \o(AB,\s\up16(→))就是这条直线的方向向量． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，　x轴正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°. 3．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的　正切值　叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝　tan α　(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　y－y0＝k(x－x0)　 不含垂直于x轴的直线 斜截式 　y＝kx＋b　 不含垂直于x轴的直线 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)　 (x1≠x2，y1≠y2)　 不含垂直于x轴和y轴的直线 截距式 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 　Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)　 平面直角坐标系内的直线都适用 1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0 0＜α＜eq \f(π,2) eq \f(π,2) eq \f(π,2)＜α＜π k 0 k＞0 不存在 k＜0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　×　) 2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0　　　　　 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：D　[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.] 3．[多选]在下列四个命题中，错误的有(　　) A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 解析：ACD　[对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B正确；对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，∴D错误．] 4．经过点(4,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为_______． 解析：当直线过原点时，直线方程为y＝eq \f(1,4)x， 即x－4y＝0. 当直线不过原点时， 设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0)， 代入(4,1)，eq \f(4,a)＋eq \f(1,a)＝1，∴a＝5， 故直线方程是x＋y－5＝0. 答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0 　直线的倾斜角与斜率 [例1]　(1)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． [解析]　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－eq \r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)． 当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－eq \r(3)]． 故斜率的取值范围是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)． [答案]　(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞) (2)(2025·宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 [解析]　因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2. [答案]　D 求直线倾斜角范围的注意事项 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)． 1．设直线l的斜率为k，且－eq \r(3)＜k≤1，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))　　 B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))) 解析：A　[因为直线l的斜率为k，且－eq \r(3)＜k≤1，∴－eq \r(3)＜tan α≤1，因为α∈[0，π), ∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).] 2．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) 解析：B　[设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的斜率k＝tan α≥－1，则α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).] 　求直线的方程 [例2]　求适合下列条件的直线的方程： (1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是eq \f(3,5)； (2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍． [解]　(1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(3,5).则cos α＝±eq \f(4,5)，直线的斜率k＝tan α＝±eq \f(3,4).又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±eq \f(3,4)x－5，即3x－4y－20或3x＋4y＋20＝0. (2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)． 则l的方程为y＝eq \f(2,3)x，即2x－3y＝0. 若a≠0，设l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1. ∵l过点P(3,2)，∴eq \f(3,a)＋eq \f(2,a)＝1. ∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0. 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (3)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(3,4). 又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. (1)求直线方程一般有以下两种方法： ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程． ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程． (2)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用． 分别求满足下列条件的直线的方程： (1)直线l1过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l1的方程． (2)直线y＝eq \f(\r(3),3)x－1的倾斜角为α，另一直线l2的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l2的点斜式方程； (3)直线l3过点P(2,3)，当原点到直线l3的距离最大时，求直线l3的方程． 解：(1)当直线l1的斜率不存在时，l1的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．当直线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0得，x＝eq \f(2k－2,k)，由三角形的面积为2，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k－2,k)))×2＝2. 解得k＝eq \f(1,2).可得直线l1的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)，综上可知，直线l1的方程为x＝2或y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．即x＝2或x－2y＋2＝0. (2)由题意得：tan α＝eq \f(\r(3),3)，又由α∈[0，π)，所以α＝eq \f(π,6)，故β＝2α＝eq \f(π,3)，所以l2的斜率为tan β＝eq \r(3)，l2的点斜式方程为y＋1＝eq \r(3)(x－2)；即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－1＝0. (3)由题意知，OP⊥l3，kOP＝eq \f(3,2)，所以直线l3的斜率k＝－eq \f(2,3)，所以直线l3的方程为：y－3＝－eq \f(2,3)(x－2)，即2x＋3y－13＝0. 　直线方程的综合应用 [例3]　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． [解]　(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，)) ∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k≠0，再由l的方程， 得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)． 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0. ∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k| ＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4)) ≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1,2)． 2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积． 3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点． (1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：设直线l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1. (1)因为eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1≥2eq \r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq \f(4,\r(ab))， 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立， 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小， 此时直线l的方程为eq \f(x,8)＋eq \f(y,2)＝1， 即x＋4y－8＝0. (2)因为eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq \f(a,b)＋eq \f(4b,a)≥9， 当且仅当a＝6，b＝3时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0. $$