第八章 §8.8 直线与圆锥曲线的位置关系-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.8　直线与圆锥曲线的位置关系 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 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特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 2．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22) ＝eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝eq \r(1＋k2) eq \r(x1＋x22－4x1x2)， 或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2| ＝eq \r(1＋\f(1,k2)) eq \r(y1＋y22－4y1y2). 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直线一定与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1相交．(　√　) (2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．(　×　) (3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．(　√　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　√　) 2．直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　) A.eq \f(\r(6),3)　　　　　　　 B．－eq \f(\r(6),3) C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3) 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，)) 得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0， 解得k＝±eq \f(\r(6),3).] 3．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　) A．2　　 B．4 C．8　　 D．16 解析：C　[联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，)) 消去y并整理得x2－6x＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝6，x1x2＝1， 所以|AB|＝eq \r(1＋k2) eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋1)×eq \r(36－4)＝8.] 4．已知点A，B是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,4) 解析：D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵点A，B是双曲线C上的两点， ∴eq \f(x\o\al(2,1),2)－eq \f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq \f(x\o\al(2,2),2)－eq \f(y\o\al(2,2),3)＝1， 两式相减得eq \f(x1＋x2x1－x2,2)＝eq \f(y1＋y2y1－y2,3)， ∵M(3,2)是线段AB的中点， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， ∴eq \f(6x1－x2,2)＝eq \f(4y1－y2,3)，∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(9,4).] 直线与圆锥曲线的位置关系 [例1]　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [解]　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.　(*) 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))即－eq \f(2\r(3),3)<k<eq \f(2\r(3),3)，且k≠±1时，方程(*)有两个不相等的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点． 当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))即k＝±eq \f(2\r(3),3)时，方程(*)有两个相等的实数解，即直线l与双曲线有且仅有一个公共点． 当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0，))即k<－eq \f(2\r(3),3)或k>eq \f(2\r(3),3)时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点． 综上所述，(1)当－eq \f(2\r(3),3)<k<－1或－1<k<1或1<k<eq \f(2\r(3),3)时，直线l与双曲线有两个公共点； (2)当k＝±1或k＝±eq \f(2\r(3),3)时，直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)当k<－eq \f(2\r(3),3)或k>eq \f(2\r(3),3)时，直线l与双曲线没有公共点． (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． (2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)． 1．已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　) A．相离　　　　　　 B．相交 C．相切 D．不能确定 解析：B　[mx＋y＋2m＝1，即m(x＋2)＋y－1＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2＝0,y－1＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝1))， 则直线过定点(－2,1)，代入椭圆方程，eq \f(－22,9)＋eq \f(12,4)＝eq \f(25,36)＜1，则该定点在椭圆内， 则直线l与椭圆C的位置关系为相交．] 2．已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为(　　) A．(0,1) B．(1，－3) C．(3,4) D．(2，－2) 解析：D　[点(0,1)在y轴上， 所以点(0,1)在抛物线外部， 将x＝1代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2<3，所以点(1，－3)在抛物线外部， 将x＝3代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2eq \r(3)<4，所以点(3,4)在抛物线外部， 将x＝2代入抛物线C：y2＝4x中， 则|y|＝2eq \r(2)>2， 所以点(2，－2)在抛物线内部， 将选项中的点分别在平面直角坐标系中画出来，只有点(2，－2)在抛物线内部， 故当点P的坐标为(2，－2)时， 经过点P的任意一条直线与C均相交，均有公共点．] 弦长问题 [例2]　(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知A(0,3)和Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． [解]　(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝3,\f(9,a2)＋\f(\f(9,4),b2)＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＝9,a2＝12))， 所以e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,12))＝eq \f(1,2). (2)当l的斜率不存在时，l：x＝3，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(3,2)))，|PB|＝3，A到PB距离d＝3， 此时S△ABP＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)≠9不满足条件． 当l的斜率存在时，设PB：y－eq \f(3,2)＝k(x－3)， 令P(x1，y1)，B(x2，y2)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋\f(3,2),\f(x2,12)＋\f(y2,9)＝1))，消y可得(4k2＋3)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0， Δ＝(24k2－12k)2－4(4k2＋3)(36k2－36k－27)＞0，且k≠kAP，即k≠－eq \f(1,2)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(24k2－12k,4k2＋3),x1x2＝\f(36k2－36k－27,4k2＋3)))， |PB|＝eq \r(k2＋1) eq \r(x1＋x22－4x1x2) ＝eq \f(4\r(3) \r(k2＋1) \r(3k2＋9k＋\f(27,4)),4k2＋3)， A到直线PB距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k＋\f(3,2))),\r(k2＋1))，S△PAB＝ eq \f(1,2)·eq \f(4\r(3) \r(k2＋1) \r(3k2＋9k＋\f(27,4)),4k2＋3)·eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k＋\f(3,2))),\r(k2＋1))＝9， ∴k＝eq \f(1,2)或eq \f(3,2)，均满足题意，∴l：y＝eq \f(1,2)x或y＝eq \f(3,2)x－3， 即3x－2y－6＝0或x－2y＝0. (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求． (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p. (3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率． 已知焦点在x轴上的椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴长为2eq \r(3)，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝eq \f(18\r(2),7)，求直线l的方程． 解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2b＝2\r(3)，,a－c＝1，,a2－c2＝b2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,a＝2，,c＝1，)) 所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)， 设直线l的方程为x＝my－1， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my－1，))得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 即y1＋y2＝eq \f(6m,3m2＋4)，y1y2＝eq \f(－9,3m2＋4). 又S△BMN＝eq \f(1,2)|BF1|·|y1|＋eq \f(1,2)|BF1|·|y2| ＝eq \f(1,2)|BF1|·|y1－y2| ＝eq \f(1,2)|BF1|·eq \r(y1＋y22－4y1y2) ＝eq \f(18\r(m2＋1),3m2＋4)＝eq \f(18\r(2),7)， 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 　中点弦问题 [例3]　已知A(－2,0)，B(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过点N(2,3)能否作一条直线m与轨迹C交于P，Q两点，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由． [解]　(1)设M(x，y)，则x≠±2，kAM＝eq \f(y－0,x＋2)，kBM＝eq \f(y－0,x－2)，kAM·kBM＝3，即eq \f(y－0,x＋2)·eq \f(y－0,x－2)＝3. 整理得，3x2－y2＝12(x≠±2)，即点M的轨迹C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1(x≠±2)． (2)若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,1),12)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,2),12)＝1，)) 两式相减得 eq \f(x1－x2x1＋x2,4)－eq \f(y1－y2y1＋y2,12)＝0， 整理可得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝3×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)， ∵N是线段PQ的中点，∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝3×eq \f(4,6)＝2，即k＝2， 故直线m的方程为y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0， 将直线方程代入双曲线方程可得x2－4x＋13＝0， Δ＝(－4)2－4×13<0，此时直线与双曲线不相交．故不能作出这样的直线． 解决中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 注意：应用点差法时，务必要检验判别式Δ>0. (2025·衡水模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(2),2)，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程． 解：(1)因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以a＝eq \r(2)c， 因为a2＝b2＋c2，所以b＝c. 因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4eq \r(2)， 故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1. (2)由题意得，直线l的斜率存在． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),32)＋\f(y\o\al(2,1),16)＝1，,\f(x\o\al(2,2),32)＋\f(y\o\al(2,2),16)＝1，)) 两式相减得eq \f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),32)＋eq \f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),16)＝0， 所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2). 因为AB的中点坐标为(－2,1)， 所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，所以直线l的斜率为1， 故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. $$