第八章 §8.7 抛物线-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.7　抛物线 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　相等　的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的　准线　. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R, y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 抛物线中与焦点弦有关的几个常用结论 如图，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4). (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)． (3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p). (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).(　×　) (3)AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(　√　) 2．已知抛物线C：y＝2px2经过点M(1,2)，则该抛物线的焦点到准线的距离等于(　　) A.eq \f(1,8)　　 B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2)　　 D．1 解析：B　[依题意得2＝2p×12⇒2p＝2⇒y＝2x2⇒x2＝eq \f(1,2)y，则抛物线的焦点到准线的距离为eq \f(1,4).] 3．已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：C　[A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9＋eq \f(p,2)＝12⇒p＝6.] 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________. 解析：设点A的横坐标是x1，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1.因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 抛物线的定义及应用 [例1]　(1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为(　　) A．3　　 B.eq \f(3,2) C．5　　 D.eq \f(5,2) [解析]　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq \f(5,2)－1＝eq \f(3,2). [答案]　B (2)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2) [解析]　由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2， 即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)， 所以|AB|＝eq \r(3－12＋0－22)＝2eq \r(2). [答案]　B 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径． 提醒：一定要验证定点是否在定直线上． 1．(2025·贵阳模拟)抛物线y2＝4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是(　　) A．4 B．6 C．7 D．9 解析：B　[抛物线y2＝4x的准线为x＝－1， 由抛物线定义可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9， 则|yM|＝eq \r(4xM)＝eq \r(4×9)＝6，即M到x轴的距离为6.] 2．记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|＋|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：B　[过点A作x＝－1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|， 则|AF|＋|AB|＝|AD|＋|AB|≥3，如图所示． 所以|AF|＋|AB|的最小值为3.] 抛物线的标准方程 [例2]　(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________． [解析]　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则2p＝eq \f(16,3)，2p1＝eq \f(9,4). ∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y. [答案]　y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y (2)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若AF＝2BC＝4，则抛物线的标准方程为________． [解析]　因为O为中点，y轴平行于准线，所以C为BF的中点， 因为AF＝AB，所以AC与BF垂直，因为AF＝2BC＝4，所以∠CAF＝30°， 所以∠BAF＝60°，故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋2，2\r(3)))，代入E：y2＝2px(p＞0)可得12＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋2))， 化简得p2＋4p－12＝0， 由于p＞0，所以p＝2，p＝－6(舍去)． [答案]　y2＝4x 求抛物线的标准方程的方法 1．求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． 2．因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)；焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝ay(a≠0)． 注意：数形结合解题时，注意图形的对称性，不要丢解． 已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． 1．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，则C的方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．x2＝－2y D．x2＝2y 解析：A　[抛物线x2＝2py的开口向上，由于M(x,4)在C上，且|MF|＝5，根据抛物线的定义可知4＋eq \f(p,2)＝5，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.] 2．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为－2的直线交抛物线C于A，B.若|AB|＝eq \f(5,2)，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝6x 解析：B　[AB的方程为y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即y＝－2x＋p，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋p，,y2＝2px，))得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(3,2)p，x1x2＝eq \f(p2,4)，∴eq \f(5,2)＝|AB|＝eq \r(5) eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(5,2)p，解得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.] 抛物线的几何性质 [例3]　(1)[多选]对于抛物线上eq \f(1,8)x2＝y，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0,2) B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y＝－4 [解析]　由抛物线eq \f(1,8)x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2. [答案]　AC (2)[多选](2023·高考新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝eq \f(8,3) C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 [解析]　直线y＝－eq \r(3)(x－1)与x轴的交点为(1,0)可知，抛物线的焦点的坐标为(1,0)， 所以p＝2，故A正确；由kMN＝－eq \r(3)可知直线MN的倾斜角为120°，所以|MN|＝eq \f(2p,sin2120°)＝eq \f(16,3)，故B错误；过点M作准线l的垂线，交l于点M′，过点N作准线l的垂线，交l于点N′，并取MN的中点为P，过点P作准线l的垂线，交l于点P′，连接MP′、NP′，由抛物线的定义知|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MN|＝|MM′|＋|NN′|，所以由梯形的中位线可知|PP′|＝eq \f(1,2)(|MM′|＋|NN′|)＝eq \f(1,2)|MN|，所以|PP′|＝|MP|＝|PN|，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确；由图观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，故D错误． [答案]　AC 抛物线的性质及应用要点 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程． (2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决． 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 1．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4 解析：B　[抛物线焦点到直线的距离． d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(2))＝eq \r(2)⇒p＝2.] 2．[多选]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq \r(3)且经过点F并与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．p＝4 B.eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(FA,\s\up16(→)) C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 解析：ABC　[如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE， 所以F为AD的中点，则eq \o(DF,\s\up16(→))＝eq \o(FA,\s\up16(→))，故B正确； 因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°， 所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确； 因为|BD|＝2|BF|， 所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D错误．] $$