第八章 §8.6 双曲线-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第八章　直线和圆、圆锥曲线 §8.6　双曲线 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章　直线和圆、圆锥曲线 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的　绝对值　等于非零常数(　小于　|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的　焦点　，两焦点间的距离叫做双曲线的　焦距　. 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 　F1(－c,0)， F2(c,0)　 　F1(0，－c)，F2(0，c)　 焦距 　|F1F2|＝2c　 范围 　x≤－a　或　x≥a　，y∈R y≤－a或y≥a， x∈R 对称性 对称轴：　坐标轴　；对称中心：　原点　 顶点 　A1(－a,0)，A2(a,0)　 　A1(0，－a)，A2(0，a)　 性 质 轴 实轴：线段　A1A2　，长：　2a　；虚轴：线段B1B2，长：　2b　，实半轴长：　a　，虚半轴长：　b　 离心率 e＝eq \f(c,a)∈　(1，＋∞)　 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x a，b，c的关系 c2＝　a2＋b2　 (c>a>0，c>b>0 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq \f(2b2,a). (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq \f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2. (5)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　) (2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　) (3)双曲线方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).(　√　) 2．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　) A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1　　　　 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1(x≥4) C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3) 解析：D　[由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝eq \r(c2－a2)＝4，故点M的轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)．] 3．[多选]已知双曲线方程eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，下列说法中正确的有(　　) A．焦点坐标(0，±5) B．离心率为eq \f(5,4) C．焦距为10 D．渐近线方程y＝±eq \f(5,4)x 解析：BC　[由双曲线方程eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，得a＝4，b＝3，c＝eq \r(16＋9)＝5， 焦点在x轴，所以焦点坐标(±5,0)，A选项错误； 所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，B选项正确； 焦距为2c＝10，C选项正确； 渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(3,4)x，D选项错误．] 4．设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 解析：B　[根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.] 　　双曲线的定义及应用 [例1]　(1)已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－eq \f(y2,8)＝1　　　　 B.eq \f(x2,8)－y2＝1 C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1) D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1) [解析]　设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，|C2M|＝3＋r， ∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|. ∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，且c＝3，a＝1， ∴b2＝c2－a2＝8， ∴其轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)． [答案]　D (2)已知F是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点，A(4,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______． [解析]　设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝8＋|PF1|，所以|PF|＋|PA|＝8＋|PF1|＋|PA|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小为|AF1|＝eq \r(17)，故所求的最小值为8＋eq \r(17). [答案]　8＋eq \r(17) 双曲线定义的应用 (1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． 注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为(　　) A．3 B．16＋eq \r(2) C．12＋eq \r(2) D．24 解析：B　[由于2b＝2，e＝eq \f(c,a)＝3，∴b＝1，c＝3a， ∴9a2＝a2＋1，∴a＝eq \f(\r(2),4). 由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝eq \f(\r(2),2)，① |BF2|－|BF1|＝eq \f(\r(2),2)，② ①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝eq \r(2)， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8， ∴|AF2|＋|BF2|＝8＋eq \r(2)， 则△ABF2的周长为16＋eq \r(2).] 2．已知F1，F2分别是双曲线C：x2－eq \f(y2,2)＝1的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且|MF1|＋|MF2|＝6，则∠MF1F2＝________. 解析：由题意可得|F1F2|＝2eq \r(1＋2)＝2eq \r(3)，由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2， 而|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2， 由余弦定理得cos∠MF1F2 ＝eq \f(|MF1|2＋|F1F2|2－|MF2|2,2·|MF1|·|F1F2|) ＝eq \f(42＋2\r(3)2－22,2×4×2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，所以∠MF1F2＝30°. 答案：30° 双曲线的标准方程 [例2]　(1)与椭圆eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,49)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq \f(5,4)的双曲线方程为________． [解析]　椭圆eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,49)＝1的焦点在y轴上，且aeq \o\al(2,1)＝49，beq \o\al(2,1)＝24，∴c1＝eq \r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝5.从而双曲线的焦点在y轴上且c＝5，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9，故双曲线的方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1. [答案]　eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1 (2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，焦距为10的双曲线的标准方程为______________． [解析]　设所求双曲线方程为eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，双曲线标准方程为eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1， ∴c＝eq \r(5λ).∴eq \r(5λ)＝5，λ＝5； 当λ<0时，双曲线标准方程为eq \f(y2,－λ)－eq \f(x2,－4λ)＝1， ∴c＝eq \r(－5λ).∴eq \r(－5λ)＝5，λ＝－5. ∴所求双曲线方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1. [答案]　eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 注意：①双曲线与椭圆的标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ②常见双曲线的设法 a．已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； b．已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)； c．已知渐近线方程为eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0的双曲线，可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)． ③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断． ④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 1．(2024·天津卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 解析：C　[如图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m， ∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，则得sin θ1＝eq \f(2,\r(5))， 因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得＝－eq \f(1,2)，即tan θ2＝eq \f(1,2)， sin θ2＝eq \f(1,\r(5))，由正弦定理可得：|PF1|∶|PF2|∶ |F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶eq \r(5)， 则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝ eq \r(5)m，由＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)m·2m＝8，得m＝2eq \r(2)， 则|PF2|＝2eq \r(2)，|PF1|＝4eq \r(2)，|F1F2|＝2c＝2eq \r(10)，c＝eq \r(10)， 由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，a＝eq \r(2)，b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(8)， 所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.] 2．已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1 解析：D　[由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)－eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.] 　双曲线的几何性质 ►[角度1]　渐近线　 [例3－1]　(2025·石家庄质检三)已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实半轴长为eq \r(3)，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x C．y＝±eq \f(\r(3),2)x D．y＝±eq \f(2\r(3),3)x [解析]　设双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为(0，c)， 双曲线的渐近线方程为by±ax＝0， 由点到直线的距离公式可得eq \f(|b×c±a×0|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|b×c|,\r(c2))＝b＝3， 又双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的实半轴长为eq \r(3)，所以a＝eq \r(3)， 所以双曲线C的渐近线方程为3y±eq \r(3)x＝0，即y＝±eq \f(\r(3),3)x. [答案]　B ►[角度2]　离心率　 [例3－2]　已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A.eq \f(\r(7),2)　　 B.eq \f(\r(13),2) C.eq \r(7)　　 D.eq \r(13) [解析]　由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos60°，所以4c2＝7a2，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2). [答案]　A 与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 (1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1. (2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0. (3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答． 1．[多选]已知双曲线C：eq \f(y2,2)－x2＝λ(λ＜0)，则下列说法正确的是(　　) A．双曲线C的实轴长为定值 B．双曲线C的焦点在x轴上 C．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x D．双曲线C的离心率e＝eq \f(\r(6),2) 解析：BCD　[由eq \f(y2,2)－x2＝λ(λ＜0)可得eq \f(x2,－λ)－eq \f(y2,－2λ)＝1(λ＜0)， 所以曲线表示焦点在x轴上的双曲线，且a2＝－λ(λ＜0)不是定值，所以A错误，B正确； 双曲线的渐近线方程为eq \f(y2,2)－x2＝0，即y＝±eq \r(2)x，故C正确； 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(a2,b2))＝eq \r(1＋\f(－λ,－2λ))＝eq \f(\r(6),2)，故D正确．] 2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c＞0)．若双曲线C右支上存在点P，使得|PF2|＝4a，且＝12a2，则双曲线C的离心率e＝(　　)． A.eq \r(5) B.eq \f(5,3) C.eq \r(6)＋1 D.eq \r(13) 解析：D　[由双曲线的定义可知得|PF1|－|PF2|＝2a 因为|PF2|＝4a，∴|PF1|＝6a， 设∠F1PF2＝θ，则＝eq \f(1,2)×|PF1|×|PF2|×sin θ＝eq \f(1,2)×6a×4a×sin θ＝12a2sin θ＝12a2， ∴sin θ＝1，θ∈(0，π)， ∴θ＝eq \f(π,2)， ∴△PF1F2为直角三角形 ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴36a2＋16a2＝4c2，即52a2＝4c2， ∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(52,4)＝13， ∴e＝eq \r(13).] $$