第四章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第四章　三角函数与解三角形 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sin α,cos α)＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系：　eq \f(sin α,cos α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))　. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α eq \f(π,2)－α eq \f(π,2)＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　sin α　 　cos α　 　cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　cos α　 　－cos α　 　sin α　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　) (2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cos α)恒成立．(　×　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　) (4)若sin(kπ－α)＝eq \f(2,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(2,3).(　×　) 2．若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α＝(　　) A.eq \f(12,5)　　　　　　　　 B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12) 解析：D　[因为α是第四象限角，且sin α＝－eq \f(5,13)，所以cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13)，所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(5,12).] 3．[多选]已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　) A．sin(－x)＝sin x B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cos x C．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x 解析：CD　[sin(－x)＝－sin x，故A不成立； sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－cos x，故B不成立； coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sin x，故C成立； cos(x－π)＝－cos x，故D成立．] 4．已知sin αcos α＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，则cos α－sin α的值为________． 解析：∵eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)， ∴cos α－sin α＝eq \f(\r(3),2). 答案：eq \f(\r(3),2) 同角三角函数基本关系式 ►[角度1]　弦切互化　 [例1－1]　已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于(　　) A.eq \f(1,3)　　 B.eq \f(3\r(10),10) C.eq \f(3\r(7),7)　　 D.eq \f(3\r(5),5) [解析]　因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝eq \f(9,10). 又因为α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10). [答案]　B ►[角度2]　“1”的变换　 [例1－2]　(2025·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点P(1,2)，则eq \f(sin2α,1－3sin αcos α)＝________. [解析]　因为角α的终边上有一点P(1,2)，所以tan α＝2. 所以eq \f(sin2α,1－3sin αcos α)＝eq \f(sin2α,sin2α＋cos2α－3sin αcos α) ＝eq \f(tan2α,tan2α＋1－3tan α)＝eq \f(22,22＋1－3×2)＝－4. [答案]　－4 ►[角度3]　sin x＋cos x，sin x－cos x，sin xcos x之间的关系　 [例1－3]　已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝eq \f(1,5) . (1)求sin α－cos α的值； (2)求eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值． [解析]　(1)由sin α＋cos α＝eq \f(1,5)， 平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝eq \f(1,25)， 整理得2sin αcos α＝－eq \f(24,25) . ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝eq \f(49,25) . 由α∈(－π，0)，知sin α<0， 又sin α＋cos α>0， ∴cos α>0，则sin α－cos α<0， 故sin α－cos α＝－eq \f(7,5) . (2)eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)＝eq \f(2sin αcos α＋sin α,1－\f(sin α,cos α)) ＝eq \f(2sin αcos αcos α＋sin α,cos α－sin α) ＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175) . (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：A　[由三角函数定义，得tan α＝eq \f(3,2sin α)，所以eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(3,2sin α)，则2(1－cos2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝eq \f(1,2).] 2．已知sin θ＋cos θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝________. 解析：方法一　由sin θ＋cos θ＝eq \f(7,13)，得sin θcos θ＝－eq \f(60,169)， 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝eq \r(1－2sin θcos θ)＝eq \f(17,13)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＋cos θ＝\f(7,13)，,sin θ－cos θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(12,13)，,cos θ＝－\f(5,13)，)) 所以tan θ＝－eq \f(12,5). 方法二　因为sin θ＋cos θ＝eq \f(7,13)， 所以sin θcos θ＝－eq \f(60,169)， 由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－eq \f(7,13)x－eq \f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq \f(12,13)，x2＝－eq \f(5,13). 又sin θcos θ＝－eq \f(60,169)<0，θ∈(0，π)， 所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝eq \f(12,13)，cos θ＝－eq \f(5,13). 所以tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝－eq \f(12,5). 方法三　由sin θ＋cos θ＝eq \f(7,13)，得sin θcos θ＝－eq \f(60,169)， 所以eq \f(sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ)＝－eq \f(60,169). 齐次化切，得eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(60,169)， 即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－eq \f(12,5)或tan θ＝－eq \f(5,12). 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝eq \f(7,13)>0，sin θcos θ＝－eq \f(60,169)<0， 所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以tan θ＝－eq \f(12,5). 答案：－eq \f(12,5) 诱导公式 [例2]　(1)[多选]下列化简正确的是(　　) A．tan(π＋1)＝tan 1 B.eq \f(sin－α,tan360°－α)＝cos α C.eq \f(sinπ－α,cosπ＋α)＝tan α D.eq \f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1 [解析]　对于A，tan(π＋1)＝tan 1，故A正确；对于B，eq \f(sin－α,tan360°－α)＝eq \f(－sin α,－tan α)＝eq \f(sin α,\f(sin α,cos α))＝cos α，故B正确；对于C，eq \f(sinπ－α,cosπ＋α)＝eq \f(sin α,－cos α)＝－tan α，故C不正确；对于D，eq \f(cosπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝eq \f(－cos α·－tan α,－sin α)＝－eq \f(cos α·\f(sin α,cos α),sin α)＝－1，故D不正确． [答案]　AB (2)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)) 的值为(　　) A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3) [解析]　因为eq \f(π,4) ＋α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq \f(π,2)， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))) ＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3). [答案]　D 1．诱导公式用法的一般思路 (1)化负为正，化大为小，化到锐角为止． (2)角中含有加减eq \f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq \f(π,2)的整数倍． 2．常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等． (2)常见的互补的角：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ；eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等． 1．(2025·南昌模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3) 解析：C　[由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0. tan α－6sin β－1＝0， 联立上面两式得tan α＝3， 又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).] 2．设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sin α≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________. 解析：因为f(α)＝eq \f(－2sin α－cos α＋cos α,1＋sin2α＋sin α－cos2α) ＝eq \f(2sin αcos α＋cos α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cos α1＋2sin α,sin α1＋2sin α)＝eq \f(1,tan α)， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))) ＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 同角三角函数基本关系式和 诱导公式的综合应用 [例3]　已知α是第三象限角，且f(α) ＝eq \f(sinπ－α·cos2π－α·tanα＋π,tan－α－π·sin－α－π). (1)若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 注：(统一角：小角或已知角) [解]　f(α)＝eq \f(sin α·cos α·tan α,－tan α·sin α)＝－cos α. (1)∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝－sin α，∴sin α＝－eq \f(1,5). ∵α是第三象限的角， ∴cos α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5)， ∴f(α)＝－cos α＝eq \f(2\r(6),5). (2)f(α)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－60°)＝－eq \f(1,2). (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． 若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))＝eq \f(4,7)，tan α＜0，则cos(π－α)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·tan α＝(　　) A.eq \f(4－\r(33),7) B.eq \f(4＋\r(33),7) C.eq \f(－4＋\r(33),7) D.eq \f(－4－\r(33),7) 解析：B　[∵coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)＋α))＝eq \f(4,7)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝eq \f(4,7)， ∴sin α＝eq \f(4,7)，∵tan α＜0，∴cos α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))2) ＝－eq \f(\r(33),7)，∴cos(π－α)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·tan α ＝－cos α＋sin α＝eq \f(4＋\r(33),7).] $$