第三章 §3.3 导数与函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第三章　一元函数的导数及其应用 §3.3　导数与函数的极值、最值 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧　f′(x)<0　，右侧 f′(x)>0　，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧　f′(x)>0　，右侧 　f′(x)<0　，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为　极值点　，极小值和极大值统称为　极值　. 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　极值　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　端点处的函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　×　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　√　) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　×　) 2．[多选]如图是导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 B．(4,5)为函数y＝f(x)的单调递增区间 C．函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝4处取得极小值 解析：AC　[由图象可知，x∈(3,5)时，f′(x)＜0，所以(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间，故A正确；由图象可知，x∈(4,5)时，f′(x)＜0，所以(4,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间，故B错误；由图象可知，f′(3)＝0，且当x∈(0,3)时，f′(x)＞0，当x∈(3,5)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，故C正确；由图象可知，f′(4)≠0，故x＝4不是函数的极值点，故D错误．] 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e　　　　　　 B．－1 C．－e D．0 解析：B　[因为f′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.] 4．若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________. 解析：∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值， ∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意． 答案：－e2 利用导数求解函数极值问题 ►[角度1]　函数极值的判断　 [例1－1]　[多选]已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列结论不正确的是(　　) A．a，c分别是极大值点和极小值点 B．b，c分别是极大值点和极小值点 C．f(x)在区间(a，c)上是增函数 D．f(x)在区间(b，c)上是减函数 [解析]　由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间(a，＋∞)上是增函数． [答案]　ABD ►[角度2]　求已知函数的极值　 [例1－2]　(1)(2025·西安模拟)已知f(x)＝eq \f(3x,ex)，则f(x)(　　) A．在(－∞，＋∞)上单调递增 B．在(－∞，1)上单调递减 C．有极大值eq \f(3,e)，无极小值 D．有极小值eq \f(3,e)，无极大值 [解析]　∵f(x)＝eq \f(3x,ex)，∴f′(x)＝eq \f(3·ex－3x·ex,e2x)＝eq \f(31－x,ex)，当x>1时，f′(x)<0，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；当x<1时，f′(x)>0，f(x)在区间(－∞，1)上单调递增，故B错误；当x＝1时，f(x)＝eq \f(3x,ex)取得极大值eq \f(3,e)，无极小值，故C正确，D错误． [答案]　C (2)(2025·山西省省际名校联考)已知函数f(x)＝sin 2x－x，x∈(0，π)，则f(x)的极大值点为　________. [解析]　f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)>0，得0<x<eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)<x<π；令f′(x)<0，得eq \f(π,6)<x<eq \f(5π,6)，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递减，∴f(x)的极大值点为eq \f(π,6). [答案]　eq \f(π,6) ►[角度3]　已知函数的极值(点)求参数　 [例1－3]　(2025·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处有极小值，则c＝(　　) A．－6　　　　　　　 B．－2 C．－6或－2 D．－4 [解析]　由函数f(x)＝x(x－c)2，可得f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)， 因为函数在x＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，解得c＝－2或c＝－6， 当c＝－2时，令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞－eq \f(2,3)；令f′(x)＜0，解得－2＜x＜－eq \f(2,3)， 函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))单调递增， 所以f(x)在x＝－2处有极大值，不符合题意，舍去； 当c＝－6时，令f′(x)＞0，可得x＜－6或x＞－2；令f′(x)＜0，可得－6＜x＜－2， 函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)单调递增， 所以f(x)在x＝－2处有极小值，符合题意， 综上可得，c＝－6. [答案]　A 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值． (2)由函数极值求参数的值或范围． 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 1．(2025·长沙模拟)若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极大值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 解析：C　[因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 故可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]， 因为x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，故可得f′(1)＝0， 即2a＋2＝0，解得a＝－1. 此时f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x＋2)(x－1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝1， 由f′(x)>0可得x<－2或x>1； 由f′(x)<0可得－2<x<1， 所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增， 在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故f(x)的极大值点为x＝－2.则f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋2－1)e－3＝5e－3.] 2．函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) 解析：B　[∵f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x>0)， ∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a， ∵函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax(x>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有且仅有一个极值点， ∴y＝f′(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上只有一个变号零点． 令f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a＝0，得a＝eq \f(1,x)＋x. 设g(x)＝eq \f(1,x)＋x，则g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2， 又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(5,2)，g(3)＝eq \f(10,3)， ∴当eq \f(5,2)≤a<eq \f(10,3)时，y＝f′(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上只有一个变号零点． ∴实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3))).] 利用导数求函数的最值 [例2]　已知函数f(x)＝eq \f(eax－1,x)＋ln x，a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)－x的最小值； (2)若函数eq \f(fx,x)的最小值为a，求a的最大值． [解]　(1)当a＝1时，令F(x)＝f(x)－x＝eq \f(ex－1,x)＋ln x－x，x∈(0，＋∞)， 则F′(x)＝eq \f(ex－1·x－ex－1,x2)＋eq \f(1,x)－1＝eq \f(ex－1x－1＋x1－x,x2)＝eq \f(x－1ex－1－x,x2)， 令g(x)＝ex－1－x，x∈R，则g′(x)＝ex－1－1， 易知g′(x)在R上单调递增，且g′(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，且g(x)＝ex－1－x＞g(1)＝0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，且g(x)＝ex－1－x＞g(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，F′(x)＝eq \f(x－1ex－1－x,x2)＜0， F(x)在区间(0,1)上单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＝eq \f(x－1ex－1－x,x2)＞0，F(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x＝1时，F(x)取得极小值，也是最小值，F(x)min＝F(1)＝eq \f(e1－1,1)＋ln 1－1＝0， ∴当a＝1时，函数f(x)－x的最小值为0. (2)由已知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 若函数eq \f(fx,x)的最小值为a，则有eq \f(fx,x)≥a， ∴f(x)≥ax，f(x)－ax≥0， 令h(x)＝f(x)－ax，即h(x)＝f(x)－ax＝eq \f(eax－1,x)＋ln x－ax的最小值为0， 由第(1)问知，当且仅当x＝1时，g(x)＝ex－1－x取最小值g(1)＝0，∴当且仅当ax－ln x＝1时，g(ax－ln x)取得最小值0， 又∵g(ax－ln x)＝eax－ln x－1－(ax－ln x)＝eq \f(eax－1,eln x)＋ln x－ax＝eq \f(eax－1,x)＋ln x－ax＝h(x)， ∴只需令ax－ln x＝1有解，即a＝eq \f(ln x＋1,x)有解， 令H(x)＝eq \f(ln x＋1,x)，x∈(0，＋∞)，则H′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x＋1,x2)＝－eq \f(ln x,x2)， 当x∈(0,1)时，H′(x)＝－eq \f(ln x,x2)＞0，H(x)在区间(0,1)上单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，H′(x)＝－eq \f(ln x,x2)＜0，H(x)在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴a＝eq \f(ln x＋1,x)＝H(x)≤H(1)＝1， 综上所述，若函数eq \f(fx,x)的最小值为a，则a的最大值为1. 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值 一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，利用图象求解． 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论． 1．已知函数f(x)＝x－eq \r(2)sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为________． 解析：由f(x)＝x－eq \r(2)sin x，x∈[0，π]可得f′(x)＝1－eq \r(2)cos x， 令f′(x)＝0可得cos x＝eq \f(\r(2),2)， 又x∈[0，π]，所以x＝eq \f(π,4)， 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，f′(x)＜0，此时f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递减， 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))时，f′(x)＞0，此时f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))上单调递增； 易知f(0)＝0，f(x)max＝f(π)＝π， f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq \f(π,4)－1，； 因此f(x)的最大值为π. 答案：π 2．(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝eq \f(a,x)＋ln x在区间[1，e]上的最小值为eq \f(3,2)，则a的值为(　　) A．1　　 B.eq \f(3,2) C.eq \f(e,2)　　 D.eq \r(e) 解析：D　[因为f(x)＝eq \f(a,x)＋ln x(x＞0)，所以f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(a,x2)＝eq \f(x－a,x2)， 当a≤0时，则f′(x)≥0，所以f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增， 此时函数最小值为f(1)＝a＋ln 1＝eq \f(3,2)，解得a＝eq \f(3,2)，不符合题意，舍去； 当a＞0时，令f′(x)＜0，得0＜x＜a；令f′(x)＞0，得x＞a； 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递减增， ①当0＜a≤1时，f(x)在区间[1，e]上单调递增， 所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意舍去； ②当1＜a＜e时，f(x)在[1，e]上先减后增， 所以最小值为f(a)＝1＋ln a＝eq \f(3,2)，解得a＝eq \r(e)； ③当a≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减， 所以最小值为f(e)＝eq \f(a,e)＋ln e＝eq \f(3,2)，解得a＝eq \f(1,2)e，不符合题意，舍去． 综上所述a＝eq \r(e).] $$