第三章 §3.2 导数与函数的单调性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第三章　一元函数的导数及其应用 §3.2　导数与函数的单调性 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上　单调递增　 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上　单调递减　 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是　常数函数　 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的　定义域　； 第2步，求出导数f′(x)的　零点　； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正、负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　) (2)函数在某区间内单调递增，则一定有f′(x)＞0.(　×　) (3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　) 2．函数y＝x－ln x的单调递增区间是(　　) A．(0,1)　　　　 B．(0,2) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：D　[函数y＝x－ln x的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))， y′＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，所以y＝x－ln x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞))上y′＞0，函数单调递增．] 3．函数f(x)＝ex－2x在[1，e]上的最小值为________． 解析：因为f′(x)＝ex－2，当x∈[1，e]时，f′(x)＝ex－2＞0，所以f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝e－2. 答案：e－2 4．(2025·银川模拟)已知函数f(x)＝mx－cos x在R上单调递增，则m的最小值为__________． 解析：因为函数f(x)＝mx－cos x在R上单调递增， 所以f′(x)＝m＋sin x≥0在R上恒成立， 即m≥－sin x在R上恒成立， 所以m≥1. 答案：1 不含参函数的单调性 [例1]　(1)函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递减区间是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) [解析]　因为f(x)＝(2x－1)ex，所以f′(x)＝(2x＋1)ex，不等式f′(x)＜0，解得x＜－eq \f(1,2)，因此函数f(x)＝(2x－1)ex的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). [答案]　A (2)(2025·合肥模拟)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________． [解析]　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 令f′(x)＝xcos x＞0， 则其在区间(－π，π)上的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))) 和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， 即f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一不能漏掉求函数的定义域，二函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． (2025·武汉模拟)函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：C　[∵函数f(x)＝2x2－ln x，∴f′(x)＝4x－eq \f(1,x)＝eq \f(4x2－1,x)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))),x). 由f′(x)＜0，解得0＜x＜eq \f(1,2)， ∴函数的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).] 含参数的函数的单调性 [例2]　已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax. (1)当a＝eq \f(1,2)时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； [解]　(1)当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x，求导得f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－eq \f(1,2)， 则f′(1)＝eq \f(3,2)，f(1)＝0，即切点为(1,0)，切线的斜率为eq \f(3,2)， 所以切线方程为：y－0＝eq \f(3,2)(x－1)，即3x－2y－3＝0. (2)函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x2－ax的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a， 当a≤2时，f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a≥2－a≥0， 则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞2时，由f′(x)＝eq \f(1,x)＋x－a＝eq \f(x2－ax＋1,x)＝0，得x1＝eq \f(a－\r(a2－4),2)，x2＝eq \f(a＋\r(a2－4),2)， 由f′(x)＞0，得0＜x＜x1或x＞x2，由f′(x)＜0，得x1＜x＜x2， 因此函数f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减， 所以当a≤2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞2时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a－\r(a2－4),2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(a2－4),2)，＋∞)) 上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－4),2)，\f(a＋\r(a2－4),2)))上单调递减． (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x.若a>0，试讨论函数g(x)的单调性． 解：因为g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x， 所以g′(x)＝eq \f(2ax2－2a＋1x＋1,x) ＝eq \f(2ax－1x－1,x). 由题意知函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， 若eq \f(1,2a)<1，即a>eq \f(1,2)， 由g′(x)>0得x>1或0<x<eq \f(1,2a)， 由g′(x)<0得eq \f(1,2a)<x<1， 所以函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))，(1，＋∞)上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，1))上单调递减； 若eq \f(1,2a)>1，即0<a<eq \f(1,2)，由g′(x)>0得x>eq \f(1,2a)或0<x<1， 由g′(x)<0得1<x<eq \f(1,2a)， 所以函数g(x)在(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，＋∞))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上单调递减； 若eq \f(1,2a)＝1，即a＝eq \f(1,2)，则在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上可得，当0<a<eq \f(1,2)时，函数g(x)在(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，＋∞))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上单调递减； 当a＝eq \f(1,2)时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>eq \f(1,2)时，函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))，(1，＋∞)上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，1))上单调递减． 函数单调性的应用 ►[角度1]　比较大小或解不等式　 [例3－1]　(1)设a＝eq \f(1,e)，b＝eq \f(ln 2,2)，c＝eq \f(ln 3,3)，则(　　) A．b＜a＜c　　　　　　 B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a [解析]　设f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)， 令f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)＝0，则x＝e. 所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 又a＝eq \f(1,e)＝f(e)，b＝eq \f(ln 2,2)＝eq \f(ln 4,4)＝f(4)，c＝eq \f(ln 3,3)＝ f(3)，所以f(e)＞f(3)＞f(4)，即b＜c＜a. [答案]　D (2)(2025·邯郸模拟)已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)＞0，则实数a的取值范围为　________. [解析]　函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)， 所以f(x)＝3x－sin x为奇函数， 又f′(x)＝3－cos x＞0，所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增， 不等式f(a)＋f(a2－2)＞0，即f(a2－2)＞－f(a)＝f(－a)， 等价于a2－2＞－a，解得a＞1或a＜－2， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． [答案]　(－∞，－2)∪(1，＋∞) ►[角度2]　根据函数单调性求参数　 [例3－2]　已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上单调递增，则实数a的取值范围为________． [解析]　由题意知f′(x)＝x＋2a－eq \f(1,x)≥0在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上恒成立，即2a≥－x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上恒成立，∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,x)))max＝eq \f(8,3)，∴2a≥eq \f(8,3)，即a≥eq \f(4,3). [答案]　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) [延伸探究]　在本例中，把“f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上单调递增”改为“f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上存在单调递增区间”，求a的取值范围． [解]　f′(x)＝x＋2a－eq \f(1,x)，若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))上存在单调递增区间，则当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))时，f′(x)>0有解，即2a>－x＋eq \f(1,x)有解，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,x)))min＝－2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(3,2)，∴2a>－eq \f(3,2)，即a>－eq \f(3,4)，故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)). 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 1．(2025·安庆模拟)已知a＝eq \f(ln\r(2),4)，b＝eq \f(1,e2)，c＝eq \f(ln π,2π)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．a<b<c D．c<a<b 解析：C　[令f(x)＝eq \f(ln x,x2)，则f′(x)＝eq \f(1－2ln x,x3).令f′(x)<0，解得x>eq \r(e)，因此f(x)在(eq \r(e)，＋∞)上单调递减，因为a＝eq \f(ln\r(2),4)＝eq \f(ln 4,16)＝f(4)，b＝eq \f(1,e2)＝eq \f(ln e,e2)＝f(e)，c＝eq \f(ln π,2π)＝eq \f(ln\r(π),π)＝f(eq \r(π))，又因为4>e>eq \r(π)>eq \r(e)，所以f(4)<f(e)<f(eq \r(π))，即a<b<c.] 2．(2024·新课标Ⅱ卷，T11)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a＞1时，f(x)有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 解析：AD　[求导得f′(x)＝6x(x－a)，于是：A正确，当a＞1时，极大值f(0)＝1＞0，极小值f(a)＝1－a3＜0，所以必有三个零点；B错，a＜0时x＝0应为极小值点；C错，任何三次函数不存在对称轴；D正确，当a＝2时f(x)＝2(x－1)3－6(x－1)－3，关于(1，－3)中心对称．] 　上面2024年新课标Ⅱ卷T11源于人教A版选择性必修第二册P99拓广探索，T13 利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f(x)的图象如图所示．改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： (1)你能归纳函数f(x)图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ (2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间． 解：(1)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象大致是个“双峰”形状，类似“ INCLUDEPICTURE"D474A.TIF" ”或“”的形状．若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间． (2)因为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 分a＞0和a＜0两种情况： ①当a＞0且b2－3ac＞0时，设方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜x2. x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 当a＞0且b2－3ac≤0时，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0，f(x)在R上单调递增． ②当a＜0且b2－3ac＞0时，设方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜x2， 当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(x1，x2)上单调递增；当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减． 当a＜0且b2－3ac≤0时，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0， ∴f(x)在R上单调递减． $$