第三章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第三章　一元函数的导数及其应用 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第三章　一元函数的导数及其应用 高考总复习 数学A版 复习策略—教师专享 1．处理好以下四个问题 (1)利用导数研究曲线的切线问题． (2)利用导数研究函数的单调性、极(最)值问题． (3)利用导数研究不等式恒成立或证明不等式问题． (4)利用导数研究复杂函数的零点问题． 2．注意以下四个思想方法的应用 (1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间有着密切的联系． (2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程、不等式问题转化为函数的极(最)值等问题． (3)数形结合思想：研究函数性质，方程根的个数、不等式的解集等问题． (4)分类讨论思想：研究函数的单调性等问题时，经常需要根据极值点的大小，极值点是否在定义域内进行分类讨论． ★[考试要求] 1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作　f′(x0)　或　　. (2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ eq \f(fx＋Δx－fx,Δx). 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的　斜率　，相应的切线方程为　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin x　 f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝　axln a　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝　eq \f(1,xln a)　 f(x)＝ln x f′(x)＝　eq \f(1,x)　 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； [f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝　cf′(x)　. 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝　y′u·u′x　，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　×　) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．(　×　) 2．若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝(　　) A．0　　 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,2)　　 D.eq \f(5,2) 解析：A　[f′(x)＝eq \f(1,x)－2，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－2＝0.] 3．已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x·ln 2－y－1＝0 D．x·ln 2－y＋1＝0 解析：D　[函数f(x)＝2x，求导得f′(x)＝2xln 2，则f′(0)＝ln 2，而f(0)＝1， 所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.] 4．已知函数f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝　________. 解析：因为f′(x)＝－eq \f(2,3－2x)－2sin 2x， 所以f′(0)＝－eq \f(2,3). 答案：－eq \f(2,3) 　导数的计算 [例1]　(1)[多选](2025·济南质检)下列求导运算正确的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,xln2x) B．(x2ex)′＝2x＋ex C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) [解析]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ln x)))′＝－eq \f(1,ln2x)·(ln x)′＝－eq \f(1,xln2x)，故A正确； (x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误； eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故C错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2)，故D正确． [答案]　AD (2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________. [解析]　f′(x)＝2x＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))cos x， ∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq \f(2π,3)＋eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))， ∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq \f(4π,3)， f(x)＝x2＋eq \f(4π,3)sin x， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3). [答案]　eq \f(π2,36)＋eq \f(2π,3) (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 1．[多选]下列求导数运算正确的是(　　) A．(2 025x)′＝x2 025x－1 B．(x2 025＋log2x)′＝2 025x2 024＋eq \f(1,xln 2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos x,sin x)))′＝eq \f(sin2x－cos2x,sin2x) D．(x23x)′＝2x3x＋x23xln 3 解析：BD　[(2 025x)′＝2 025xln 2 025，A错误；(x2 025＋log2x)′＝(x2 025)′＋(log2x)′＝2 025x2 024＋eq \f(1,xln 2)，B正确； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos x,sin x)))′＝eq \f(－sin x·sin x－cos x·cos x,sin2x)＝－eq \f(1,sin2x)，C错误；(x23x)′＝(x2)′·3x＋x2×(3x)′＝2x3x＋x23xln 3，D正确．] 2．已知函数f(x)＝e2x＋f′(0)ln(x＋4)，则f′(0)＝________. 解析：因为f′(x)＝2e2x＋eq \f(f′0,x＋4)，所以f′(0)＝2＋eq \f(f′0,4)，解得f′(0)＝eq \f(8,3). 答案：eq \f(8,3) 导数的几何意义 ►[角度1]　求切线方程　 [例2－1]　曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________． [解析]　先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点坐标为(x0，y0)，则由y′＝eq \f(1,x)，得切线斜率为eq \f(1,x0)，又切线的斜率为eq \f(y0,x0)， 所以eq \f(1,x0)＝eq \f(y0,x0)，解得y0＝1， 代入y＝ln x，得x0＝e， 所以切线斜率为eq \f(1,e)，切线方程为y＝eq \f(1,e)x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－eq \f(1,e)x. 综上可知，两条切线方程为y＝eq \f(1,e)x，y＝－eq \f(1,e)x. [答案]　y＝eq \f(1,e)x　y＝－eq \f(1,e)x ►[角度2]　求参数的值(范围)　 [例2－2]　已知函数f(x)＝aln x(a≠0)，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切线l的斜率为________． [解析]　根据题意得，f′(x)＝eq \f(a,x)，设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝eq \f(a,x0)， 所以切线l的方程为y＝eq \f(a,x0)(x－x0)＋y0， 将点(0,0)代入，可得0＝eq \f(a,x0)(0－x0)＋y0，整理得y0＝a， 故aln x0＝a，解得x0＝e， 故f′(x0)＝eq \f(a,e)，即切线l的斜率为eq \f(a,e). [答案]　eq \f(a,e) ►[角度3]　切线的应用　 [例2－3]　(2025·南昌模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝eq \f(1,e)x上，则|PQ|的最小值为(　　) A.eq \f(1,\r(e2＋1))　　　　　 B.eq \f(2,\r(e2＋1)) C.eq \f(e,\r(e2＋1)) D.eq \f(3,\r(e2＋1)) [解析]　令y′＝ex＝eq \f(1,e)，得x＝－1，代入曲线y＝e－1＝eq \f(1,e)， 所以|PQ|的最小值即为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,e)))到直线y＝eq \f(1,e)x的距离d＝eq \f(2,\r(e2＋1)). [答案]　B 利用导数求切线方程的一般过程 已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，需分点P是切点和不是切点两种情况求解： 1．若P(x0，y0)是切点，则曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； 2．若P(x0，y0)不是切点，则分以下几个步骤： (1)设出切点坐标P′(x1，y1)． (2)写出过P′(x1，y1)的切线方程y－y1＝f′(x1)·(x－x1)． (3)将点P(x0，y0)的坐标代入切线方程求出x1. (4)将x1的值代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)得到所求切线方程． 1．若曲线y＝3(x2－x)ex－1在点(1,0)处的切线与y＝ax＋2平行，曲线y＝eq \f(ln x,x＋1)在点(1,0)处的切线与直线x－by＋1＝0垂直，则a＋b＝__________. 解析：设f(x)＝3(x2－x)ex－1，g(x)＝eq \f(ln x,x＋1). 则f′(x)＝3(2x－1)ex－1＋3(x2－x)ex－1＝3(x2＋x－1)ex－1，f′(1)＝3. 直线y＝ax＋2的斜率为k1＝a，由导数的几何意义可得，k1＝3，所以a＝3. 又g′(x)＝eq \f(\f(x＋1,x)－ln x,x＋12)＝eq \f(x＋1－xln x,xx＋12)，g′(1)＝eq \f(1,2). 直线x－by＋1＝0的斜率为k2＝eq \f(1,b)，由导数的几何意义可得，eq \f(1,2)k2＝－1，所以b＝－eq \f(1,2). 所以a＋b＝eq \f(5,2). 答案：eq \f(5,2) 2．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A.eq \f(1,6)　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2)　　 D.eq \f(2,3) 解析：A　[∵f(x)＝eq \f(ex＋2sin x,1＋x2)， ∴f′(x)＝eq \f(ex＋2cos x1＋x2－ex＋2sin x·2x,1＋x22) ＝eq \f(x－12ex＋21＋x2cos x－4xsin x,1＋x22)， 则f′(0)＝3， ∴y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0 令x＝0，得y＝1， 令y＝0，得x＝－eq \f(1,3)， ∴y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×1＝eq \f(1,6).] 　两曲线的公切线 [例3]　(1)已知点P是曲线y＝xex与曲线y＝ex2的公共点，则两曲线在点P处的公共切线方程是(　　) A．y＝0 B．2ex－y－e＝0 C．y＝0或2ex－y－e＝0 D．y＝0或ex－y－1＝0 [解析]　设P点的坐标为(x0，y0)， 对曲线y＝xex求导得y′＝ex＋xex， 对曲线y＝ex2求导得y′＝2ex， 得解得x0＝1， 得P点坐标为(1，e)，切线方程为2ex－y－e＝0. [答案]　B (2)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________． [解析]　由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax， 由y＝ex，得y′＝ex， 曲线C1∶y＝ax2(a>0)与曲线C2∶y＝ex存在公共切线， 设公切线与曲线C1切于点(x1，axeq \o\al(2,1))， 与曲线C2切于点， 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴当x＝2时，f(x)min＝eq \f(e2,4). ∴a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)). [答案]　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)) 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 已知曲线y＝ex在点(x1，y1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，y2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析：B　[根据常用函数的导数可知：y＝ex⇒y′＝ex，y＝ln x⇒y′＝eq \f(1,x)， 则两函数在点(x1，y1)和(x2，y2)处的切线分别为：y－y1＝ (x－x1)，y－y2＝eq \f(1,x2)(x－x2)，化简得y＝，y＝eq \f(1,x2)x＋lnx2－1 由题意可得：，化简得x1x2＋x2－x1＋1＝0⇒(x1＋1)(x2－1)＝－2.] $$