第二章 §2.6 指数与指数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.6　指数与指数函数 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子eq \r(n,a)叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)(eq \r(n,a))n＝　a　. 当n为奇数时，eq \r(n,an)＝　a　； 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂， (a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于　0　，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x<0时，　y>1　； 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是　增函数　 在(－∞，＋∞)上是　减函数　 1．指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． 2．函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 3．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝－ax是指数函数．(　×　) (2)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　√　) (3)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) (4)函数y＝ax＋2过定点(0,2)．(　×　) 2．化简的结果为(　　) A．－9　　　 B．7 C．－10　　　 D．9 解析：B　 3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2) 解析：A　[由a－2＝4，a＞0，得a＝eq \f(1,2)， ∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1)．] 4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(－1)＝　________　. 解析：由题意知eq \f(1,2)＝a2，所以a＝eq \f(\r(2),2)， 所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x，所以f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))－1＝eq \r(2). 答案：eq \r(2) 　指数幂的运算 [例1]　[多选]下列运算正确的是(　　) [解析]　对于A，＋(eq \r(5,π))0－2－1＝0.5＋1－eq \f(1,2)＝1，A错误； 对于B，－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,9)))0.5＋×eq \f(1,25)＋(π－1)0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2－eq \f(7,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－2×eq \f(1,25)＋1＝eq \f(4,9)－eq \f(7,3)＋25×eq \f(1,25)＋1＝eq \f(4,9)－eq \f(7,3)＋2＝eq \f(1,9)，B正确； 由(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝16，得x2＋x－2＝14， 所以eq \f(x＋x－1,x2＋x－2－2)＝eq \f(4,14－2)＝eq \f(1,3)，D正确． [答案]　BD 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． [多选]下列计算正确的是(　　) A.eq \r(12,－34)＝eq \r(3,－3) B. ＝－9a(a>0，b>0) C.eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3) D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 指数函数的图象及应用 [例2]　(1)[多选]下列选项正确的是(　　) A．函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝eq \f(1,2) B．函数f(x)＝ax的值域为R C．函数f(x)＝ax＋1的图象可以由f(x)＝ax向右平移一个单位得到 D．函数y＝a2x＋3－1恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0)) [解析]　对于A,2a2－3a＋2＝1且a＞0，a≠1，a＝eq \f(1,2)，A正确； 对于B，不论0＜a＜1，还是a＞1，值域都为R，B正确； 对于C，f(x)＝ax向左平移一个单位得到f(x)＝ax＋1，C错误； 对于D，令2x＋3＝0，则x＝－eq \f(3,2)，y＝0，所以函数y＝a2x＋3－1恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，故D正确． [答案]　ABD (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． [解析]　①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<eq \f(1,2). ②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是0<a<eq \f(1,2). [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 1．[多选](2025·济南调研)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，则下列关系式成立的是(　　) A．0<b<a　　　　　　 B．a<b<0 C．0<a<b D．a＝b 解析：ABD　[如图，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.] 2．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 解析：在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． 当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． 即实数b的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2) 指数函数的性质及应用 ►[角度1]　比较指数式的大小　 [例3－1]　 (2025·海南统考)下列大小关系不正确的是(　　) [答案]　C ►[角度2]　解简单的指数方程或不等式　 [例3－2]　(1)若x满足不等式，则函数y＝2x的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞) [解析]　将化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)). [答案]　B (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若 f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． [解析]　①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq \f(1,2)；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得4a－1＝2a－(1－a)，即22a－2＝22a－1，所以2a－2＝2a－1，无解．综上可知，a＝eq \f(1,2). [答案]　eq \f(1,2) ►[角度3]　指数函数性质的综合应用　 [例3－3]　(2025·内蒙古阿拉善盟校考期末)已知函数f(x)，奇函数g(x)和偶函数h(x)的定义域均为R，且满足f(x)＝g(x)－h(x)，若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． (1)求g(x)的解析式； (2)求h(x)在R上的最大值． [解]　(1)由f(x)＝g(x)－h(x)可知f(－x) ＝g(－x)－h(－x)，由g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，可知g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)， 则f(－x)＝－g(x)－h(x)， 则g(x)＝eq \f(fx－f－x,2)＝eq \f(ax－a－x,2). (2)由(1)得h(x)＝－eq \f(fx＋f－x,2)＝－eq \f(ax＋a－x,2)， 当a＞0，且a≠1时，ax＞0，则ax＋a－x＝ax＋eq \f(1,ax)≥ 2eq \r(ax.\f(1,ax))＝2，当且仅当ax＝1，即x＝0时取等号， 故h(x)＝－eq \f(ax＋a－x,2)在R上的最大值为－1. (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：D　[由题意易得，eq \f(a,2)≥1，所以a的取值范围是[2，＋∞)．] 2．[多选](2025·临沂模拟)已知函数f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 解析：ACD　[对于函数f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0， 所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确； 因为2x＞0，当2x－1＞0时，eq \f(2,2x－1)＞0，所以eq \f(2,2x－1)＋a＞a， 当－1＜2x－1＜0时，eq \f(2,2x－1)＜－2，所以eq \f(2,2x－1)＋a＜－2＋a， 综上可得f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误； 当a＝1时，f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋1＝eq \f(2x＋1,2x－1)，则f(－x)＝eq \f(2－x＋1,2－x－1)＝－eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)， 所以f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋1为奇函数，故C正确； 当a＝2时f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋2＝eq \f(2x＋1,2x－1)＋1， 则f(－x)＋f(x)＝eq \f(2－x＋1,2－x－1)＋1＋eq \f(2x＋1,2x－1)＋1＝2，故D正确．] $$