第二章 §2.5 二次函数与幂函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.5　二次函数与幂函数 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点　(1,1)　和　(0,0)　，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点　(1,1)　，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　；当α为偶数时，y＝xα为 　偶函数　. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝　ax2＋bx＋c(a≠0)　. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为　(m，n)　. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的　零点　. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 对称轴 x＝－eq \f(b,2a) 顶点 坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递　减　； 在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递　增　 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递　增　； 在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递　减　 1．巧识幂函数y＝xα的图象和性质 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数是幂函数．(　×　) (2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　×　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　×　) 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于(　　) A.eq \f(1,2) 　　 B．1 C.eq \f(3,2)　　　 D．2 解析：C　[由幂函数的定义，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.)) 所以k＝1，α＝eq \f(1,2)，所以k＋α＝eq \f(3,2).] 3．函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　　) A．[0,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)，1)) C．[1,2] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)，2)) 解析：D　[f(x)＝2x2－x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq \f(9,8)， 因为－1≤x≤1，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))上单调递增， 又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2， 故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)，2)).] 4．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为　________________. 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 幂函数的图象与性质 [例1]　(1)下列命题中正确的是(　　) A．当m＝0时，函数y＝xm的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C．幂函数y＝xm图象不可能在第四象限内 D．若幂函数y＝xm为奇函数，则y＝xm是定义域内的严格增函数 [解析]　对A，当m＝0时，函数y＝xm的图象是一条直线除去点(0,1)，所以A项不正确； 对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过(0,0)，所以B项不正确； 对C，幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内，所以C项正确； 对D，当m＝－1时，幂函数y＝xm为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确； [答案]　C (2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a　　　　 B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c [解析]　由幂函数的图象可知在区间(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，在区间(1，＋∞)上幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴，由题图知a>b>c>d. [答案]　B (3)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a [解析]　幂函数f(x)＝xα中，2f(2)＝f(16)， 所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝eq \f(1,3)，所以f(x)＝，所以f(x)是定义域为R的单调增函数，又a＝f(log42)，b＝f(ln 2)， c＝，且log42＝eq \f(1,2)，ln 2>lneq \r(e)＝eq \f(1,2)， ＝eq \f(1,\r(5))<eq \f(1,2)，所以<log42<ln 2，即<f(log42)<f(ln 2)，所以b>a>c. [答案]　C 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 1．已知幂函数f(x)的图象过点(2,32)，若f(a＋1)＋f(－1)＞0，则a的取值范围为(　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：C　[设幂函数y＝f(x)＝xα，其图象过点(2,32)，所以2α＝32，解得α＝5，所以f(x)＝x5. 因为f(－x)＝(－x)5＝－f(x)，所以f(x)＝x5为奇函数，且在R上单调递增， 所以f(a＋1)＋f(－1)＞0可化为f(a＋1)＞－f(－1)＝f(1)， 可得a＋1＞1，解得a＞0，所以a的取值范围为(0，＋∞)．] 2．[多选]已知f(x)＝xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．当α＝－1时，f(x)的值域为R B．当α＝3时，f(π)＞f(3) C．当α＝eq \f(1,2)时，f(x2)是偶函数 D．当α＝eq \f(1,2)时，f2(x)是奇函数 解析：BC　[当α＝－1时，f(x)＝eq \f(1,x)，此时f(x)的值域为{y|y≠0}，故A错误， 当α＝3时，f(x)＝x3在R上单调递增，所以f(π)＞f(3)，B正确， 当α＝eq \f(1,2)时，∀x∈R，f(x2)＝f((－x)2)＝f(x2)，所以f(x2)是偶函数，C正确， 当α＝eq \f(1,2)时，f(x)＝，(x≥0)，则f2(x)＝x，(x≥0)，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误．] 二次函数的解析式 [例2]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解析]　法一：(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2). 所以m＝eq \f(1,2).又根据题意函数有最大值8， 所以n＝8， 所以f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8. 因为f(2)＝－1，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三：(利用零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即eq \f(4a－2a－1－a2,4a)＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 1．(2025·福建省福州格致中学期中)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)＝(　　) A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1 C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1 解析：B　[设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2a，,c＝b－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝1，))因此，f(x)＝x2＋2x＋1.] 2．(2025·陕西西安统考)写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：f(x)＝__________. ①f(x)的最小值为－1；②f(x)的一次项系数为－4；③f(0)＝3；④f(x)＝f(－x＋2)． 解析：第一种情况：f(x)具有①②③三个性质，由②③可设f(x)＝ax2－4x＋3(a≠0)，则根据①可得：eq \f(12a－16,4a)＝－1，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋3. 第二种情况：f(x)具有①②④三个性质，由①④可设f(x)＝a(x－1)2－1(a＞0)，则根据②可得：－2a＝－4，解得a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2－1 ＝2x2－4x＋1. 第三种情况：f(x)具有①③④三个性质，由①④可设f(x)＝a(x－1)2－1(a＞0)，则根据③可得：f(0)＝a－1＝3，解得：a＝4，所以f(x)＝4(x－1)2－1＝4x2－8x＋3. 第四种情况：f(x)具有②③④三个性质，由②③可设f(x)＝ax2－4x＋3(a≠0)，则根据④可得 －eq \f(－4,2a)＝1，解得a＝2，所以f(x)＝2x2－4x＋3. 答案：x2－4x＋3或2x2－4x＋1或4x2－8x＋3或2x2－4x＋3.(不唯一) 二次函数的图象与性质 ►[角度1]　二次函数的图象　 [例3－1]　[多选]函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) [解析]　因为f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝xa， 对于A，当a＝－1时，f(x)＝－x2－2x＋1，其图象开口向下，对称轴为x＝－1， g(x)＝x－1＝eq \f(1,x)，其图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上单调递减，故A满足要求； 对于B，当f(x)＝ax2－2x＋1开口向上时，a＞0， 此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝eq \f(1,2)x2－2x＋1，其图象开口向上，对称轴为x＝2， g(x)＝，其图象在[0，＋∞)上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当f(x)＝ax2－2x＋1开口向上时，a＞0， 此时其对称轴为x＝－eq \f(－2,2a)＝eq \f(1,a)＞0，故D不满足要求． [答案]　BD ►[角度2]　二次函数的单调性与最值　 [例3－2]　(1)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，求实数m的取值范围； (2)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1，求f(x)在区间[－1,2]上的最大值． [解]　(1)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c＝a(x－1)2－a＋c，其图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. ∴实数m的取值范围为[0,2]． (2)f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a. ①当－a<eq \f(1,2)，即a>－eq \f(1,2)时， f(x)max＝f(2)＝4a＋5； ②当－a≥eq \f(1,2)，即a≤－eq \f(1,2)时， f(x)max＝f(－1)＝2－2a. 综上，f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＋5，a>－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).)) 求解二次函数的单调性及最值的策略 (1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解． (2)解决二次函数最值的方法，抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，可用下面的思维流程图表示： 1．已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，0))，则m的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) 解析：B　[结合题意：函数y＝x2－3x－4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq \f(25,4) 所以图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝eq \f(3,2)， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq \f(25,4)，易知：f(－1)＝f(4)＝0， 由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，0))， 则m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).] 2．函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是________． 解析：解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4， 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]． 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调， 且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]， 所以b－a的最大值为4， 所以b－a的取值范围是[2,4]． 答案：[2,4] $$