第二章 §2.4 函数的周期性与对称性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.4　函数的周期性与对称性 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解函数的周期性及其几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.3.会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　f(x＋T)＝f(x)　，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个　最小正数　就叫做f(x)的最小正周期． 2．奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 　(a,0)　对称． (3)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为　x＝a　；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为　(a,0)　. 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于　y轴　对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于　x轴　对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于　原点　对称． 1．函数的周期性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a＞0)． 2．函数图象的对称关系 (1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称； (2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期．(　√　) (2)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝1对称．(　√　) (3)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(1,0)对称．(　×　) (4)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)关于y轴对称．(　×　) 2．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于________对称(　　) A．x轴　　　　　　　 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定 解析：B　[函数y＝f(x)上的点(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)， ∵点(－x，y)在函数y＝f(－x)上，∴y＝f(x)与y＝f(－x)图象关于y轴对称．] 3．[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则(　　) A．f(－1)＜f(0) B．f(－1)＞f(0) C．f(0)＝f(2) D．f(0)＜f(2) 解析：BC　[因为定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)， 所以函数f(x)关于x＝1对称， 所以f(0)＝f(2)＝ln 2，故C正确，D错误； f(－1)＝f(3)＝ln 3，所以f(－1)＞f(0)，故A错误，B正确．] 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 026)＝________. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(2)＝0，所以f(2 026)＝f(2＋4×506)＝f(2)＝0. 答案：0 函数的周期性 [例1]　(1)(2025·武汉模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列是周期函数的是(　　) A．y＝f(x)－x　　　　 B．y＝f(x)＋x C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x [解析]　依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数． [答案]　D (2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(x)＝f(2－x)，若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 025)＝(　　) A．1 B．0 C．1 013 D．2 025 [解析]　由已知f(x)＝f(2－x)，且f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数， 可得f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)， 即f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋2)＝f(x－2)， 即函数的最小正周期为4，即f(4k＋x)＝f(x)，k∈Z， 又f(1)＝1，f(0)＝0， 所以f(2)＝f(2－2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0， f(3)＝f(2－(－1))＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 025) ＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(2 025) ＝f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1. [答案]　A 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)f(x)＝1，若f(0)∈(1,2)，则f(2 026)的取值范围为(　　) A．(－2，－1) B．[1,4] C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) 解析：C　[∵f(x＋2)f(x)＝1， ∴f(x＋2)＝eq \f(1,fx)， 即f(x＋4)＝eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,\f(1,fx))＝f(x)， 即f(x＋4)＝f(x)， 所以4是函数f(x)的一个周期， ∵f(0)∈(1,2)， ∴f(2 026)＝f(2)＝eq \f(1,f0)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).] 函数的对称性 ►[角度1]　轴对称　 [例2－1]　(1)下列函数与y＝ex关于x＝1对称的是(　　) A．y＝ex－1 B．y＝e1－x C．y＝e2－x D．y＝ln x [解析]　f(x)＝ex关于x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. [答案]　C (2)已知定义在R上的函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(2 025)＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．2　　 D．1 [解析]　由函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，可得f(x－1＋1)＝f(1－x－1)， 即f(x)＝f(－x)，f(x)为偶函数， 由f(x＋2)＝－f(x)＋2得f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＋2＝f(x)，即f(x)是以4为周期的偶函数， 所以f(2 025)＝f(1＋4×506)＝f(1)＝f(－1)， 由f(x＋2)＝－f(x)＋2，令x＝－1可得f(1)＝－f(－1)＋2⇒f(1)＝1， 所以f(2 025)＝1. [答案]　D ►[角度2]　中心对称　 [例2－2]　(1)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)为奇函数，f(2x＋4)＝f(2x)，则一定正确的是(　　) A．f(x)的周期为2 B．f(x)图象关于直线x＝1对称 C．f(x＋1)为偶函数 D．f(x＋3)为奇函数 [解析]　f(2x＋1)为奇函数，得f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0， 即f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，则f(x＋1)为奇函数，故C错误； 且f(x)图象关于点(1,0)中心对称，故B错误； f(2x＋4)＝f(2x)可知，函数f(x)周期为4，故A错误； f(x)＝f(x＋4)，又f(x)图象关于点(1,0)中心对称，知f(x)＝－f(2－x)， 所以f(x＋4)＝－f(2－x)，得f(x)关于点(3,0)对称， 则f(x＋3)关于点(0,0)对称，所以f(x＋3)为奇函数，故D正确． [答案]　D (2)[多选](2025·邯郸质检)函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数，下列结论正确的(　　) A．函数f(x)＝ax＋b没有对称中心 B．函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1)的对称中心为(－1,2) C．函数f(x)＝x3－2x2的对称中心的横坐标为eq \f(4,3) D．定义在[－3,3]的函数f(x)的图象关于点(0，－1)成中心对称．当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－3，则f(x)的值域为[－4,2] [解析]　由于y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)－b为奇函数， 对于A，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,a)))－2b＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,a)))＋b－2b＝ax， 所以g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,a)))－2b，满足g(－x)＝－g(x)，是奇函数， 故f(x)关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)，2b))对称，故A错误； 对于B，因为g(x)＝f(x－1)－2＝eq \f(2x－1＋1,x－1＋1)－2＝eq \f(2x－1,x)－2＝－eq \f(1,x)，定义域为{x|x≠0}，满足g(－x)＝eq \f(1,x)＝－g(x)，是奇函数， 所以点(－1,2)为f(x)的对称中心，故B正确； 对于C，设f(x)＝x3－2x2的对称中心为(a，b)， 设g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)＝－g(－x)， 即f(x＋a)－b＝－f(－x＋a)＋b， 即(x＋a)3－2(x＋a)2－b＝－(－x＋a)3＋2(－x＋a)2＋b， 所以(3a－2)x2＋a3－2a2－b＝0恒成立，即3a－2＝0， 所以a＝eq \f(2,3)，故函数f(x)＝x3－2x2的对称中心的横坐标为eq \f(2,3)，故C错误； 对于D，因为定义在[－3,3]上的函数f(x)的图象关于点(0，－1)成中心对称． 所以可得y＝f(x)＋1为奇函数， 设g(x)＝f(x)＋1，即g(x)是奇函数， 当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 所以f(x)∈[－4,0]，g(x)＝f(x)＋1∈[－3,1] x∈[－3,0]时，g(x)∈[－1,3]，所以f(x)＝g(x)－1∈[－2,2]， 所以x∈[－3,3]时，f(x)∈[－4,2]，故D正确． [答案]　BD (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称． 1．[多选]定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝f(x)＋f(－x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1,0]上是增函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)＝f(0) B．f(x)在[1,2]上单调递减 C．f(x)的图象关于点(－2,0)对称 D．f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：ABC　[对于A，由f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0， 又f(x＋2)＝－f(x)，则f(2)＝－f(0)＝f(0)，A正确， 对于B，由于f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，故f(x)是奇函数， 由f(x)在[－1,0]上单调递增可得f(x)在[0,1]上也单调递增 由f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，因此f(x)关于x＝1对称， 故f(x)在[1,2]上单调递减，B正确， 对于C，由f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)⇒f(x＋4)＋f(－x)＝0， 故f(x)关于(2,0)对称， 结合f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于(－2,0)对称，故C正确， 对于D，因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(3)＝－f(1)， 又f(x)在[1,2]上单调递减，所以f(1)＞f(2)＝0， 故f(3)＝－f(1)＜f(1)，即f(3)≠f(1)，则x＝2不是f(x)的对称轴，故D错误．] 2．(2025·绵阳模拟)已知函数y＝f(x＋1)与y＝g(x)的定义域均为R，且它们的图象关于x＝1对称，若奇函数g(x)满足g(x)＝g(2－x)，下列关于函数f(x)的性质说法不正确的有(　　) A．f(x)关于x＝2对称 B．f(x)关于点(4,0)对称 C．f(x)的周期T＝4 D．f(2 027)＝0 解析：B　[对于A，令(x，y)是函数y＝g(x)的图象上任意一点，则(2－x，y)在y＝f(x＋1)的图象上， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝gx,y＝f3－x))，则g(x)＝f(3－x)，由g(x)为奇函数，得g(－x)＋g(x)＝0， 则有f(3－x)＋f(3＋x)＝0，函数f(x)的图象关于点(3,0)对称， 又g(x)＝g(2－x)，则f(3－x)＝f(1＋x)，函数f(x)的图象关于x＝2对称，A正确； 对于C，f(3＋x)＝－f(1＋x)，即f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)的周期T＝4，C正确； 对于D，f(3)＝0，则f(2 027)＝f(506×4＋3)＝0，D正确； 对于B，由f(4－x)＝f(x)，得f(8－x)＝f(x)，函数f(x)的图象关于x＝4对称， 若f(x)图象关于点(4,0)对称，则f(8－x)＋f(x)＝0，即f(x)＝0， 而没有条件确保f(x)＝0恒成立，B错误．] 　两个函数图象对称 [例3]　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　　) A．直线x＝－1对称 B．直线x＝－2对称 C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称 [解析]　y＝f(1－x)是函数f(－x)的图象向右平移1个单位，由于y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，y＝f(x－3)是函数y＝f(x－1)向右平移2个单位，所以函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝2对称． [答案]　C 函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称 已知y＝f(x＋4)是定义域为R的奇函数，y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，且y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则(　　) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝g(x)是偶函数 C．y＝f(x)关于点(2,0)对称 D．y＝g(x)关于直线x＝4对称 解析：A　[由于y＝f(x＋4)是定义域为R的奇函数，则y＝f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， y＝g(x－2)是定义域为R的偶函数，则y＝g(x)的图象关于x＝－2对称， 因为y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则y＝f(x)的图象关于x＝2对称， 又y＝f(x)的图象关于(4,0)成中心对称， 所以y＝f(x)的图象关于(0,0)成中心对称， 故y＝f(x)为奇函数，A正确； 因为y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)， 由y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，可得f(x)＝g(－x)，g(x)＝f(－x)， 故g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)， 故y＝g(x)为奇函数，B错误； 由A的分析可知y＝f(x)的图象关于x＝2对称，故C错误； 由A的分析可知y＝f(x)的图象关于(4,0)成中心对称，y＝f(x)为奇函数， 则y＝f(x)的图象也关于(－4,0)成中心对称， 而y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称， 则y＝g(x)的图象关于(4,0)成中心对称，故D错误．] $$