第二章 §2.3 函数的奇偶性-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.3　函数的奇偶性 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用． 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于　原点　对称 函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数．(　×　) (4)若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是奇函数．(　√　) 2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x3　　　　　　 B．y＝eq \f(1,x) C．y＝|x| D．y＝eq \f(1,x2) 解析：D　[y＝－x3，y＝eq \f(1,x)都是奇函数，排除A，B. y＝|x|，y＝eq \f(1,x2)都是偶函数，y＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，y＝eq \f(1,x2)在(0，＋∞)单调递减．] 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－eq \f(1,3)　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2)　　 D．－eq \f(1,2) 解析：B　[显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3).] 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)＝________. 解析：f(x)是奇函数，则f(0)＝b＝0，即x≥0时，f(x)＝2x，所以f(1)＝2，从而f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 函数奇偶性的判断 ►[角度1]　判断函数的奇偶性　 [例1－1]　下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋x2 B．f(x)＝1＋eq \f(2,2x－1) C．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1) D．f(x)＝eq \f(ex＋e－x,2) [解析]　A．因为f(－x)＝－x3＋x2≠－f(x)，所以该函数不是奇函数； B．因为f(x)＋f(－x)＝1＋eq \f(2,2x－1)＋1＋eq \f(2,2－x－1)＝2＋eq \f(2,2x－1)＋eq \f(2·2x,1－2x)＝eq \f(－2·2x＋2－2＋2·2x,1－2x)＝0，所以该函数是奇函数； C．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＞0,x＋1＞0))⇒x＞1，该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数不是奇函数； D．因为f(－x)＝eq \f(e－x＋ex,2)＝f(x)，所以该函数是偶函数，不符合题意． [答案]　B ►[角度2]　抽象函数奇偶性的判断　 [例1－2]　[多选]已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有(　　) A．若满足f(x2)＝－f(－x2)，则f(x)是奇函数 B．满足2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)，且f(0)≠0，则y＝f(x)为奇函数 C．若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，则f(x)为偶函数 D．若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，则f(x)是奇函数 [解析]　对于A，若∀t∈R，当t＞0时，令t＝x2，因为f(x2)＝－f(－x2)， 所以f(t)＝－f(－t)，即f(－t)＝－f(t)； 当t＝0时，令t＝x2＝0，因为f(x2)＝－f(－x2)， 所以f(0)＝－f(－0)，即f(0)＝0； 当t＜0时，令t＝－x2，因为f(x2)＝－f(－x2)， 所以f(－t)＝－f(t)， 综上，∀t∈R，f(－t)＝－f(t)，所以f(x)是奇函数，所以A正确； 对于B，在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得2f2(0)＝2f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，显然不符合f(－x)＝－f(x)，故B错误； 对于C，令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0， 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， 即f(x)为奇函数，C错误； 对于D，对任意x，y∈R，总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，令x＝y＝0得f(0)＝0；令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0； 令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(－1)＝0； 令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故D正确． [答案]　AD 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 1．设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：B　[解法一：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数． 解法二：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq \f(1－x－1,1＋x－1)＝eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq \f(1－x＋1,1＋x＋1)＝eq \f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数．] 2．(2025·济宁模拟)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 024，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＋2 024是奇函数 D．f(x)＋2 024是偶函数 解析：C　[因为f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 024， 所以令x＝y＝0，可得f(0)＝－2 024， 令y＝－x，则f(0)－f(x)－f(－x)＝2 024， 所以f(－x)＝－f(x)－4 048， 则f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 且f(－x)＋2 024＝－[f(x)＋2 024]， 所以f(x)＋2 024是奇函数．] 函数奇偶性的应用 ►[角度1]　利用函数的奇偶性求值　 [例2－1]　已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(　　) A．－eq \f(1,4)　 B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(3,4)　 D．－eq \f(5,4) [解析]　因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－log2\f(1,2)))＝－eq \f(5,4). [答案]　D ►[角度2]　利用函数的奇偶性求解析式　 [例2－2]　已知f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x3＋2x＋1，则x＜0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－x3－2x－1(x＜0) B．f(x)＝－x3－2x＋1(x＜0) C．f(x)＝x3＋2x－1(x＜0) D．f(x)＝－x3＋2x＋1(x＜0) [解析]　因为知f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x3＋2x＋1， 令－x＞0，则f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＋1＝－f(x)⇒f(x)＝x3＋2x－1(x＜0)． [答案]　C ►[角度3]　利用函数的奇偶性求参数　 [例2－3]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－3x＋m，则f(1)＝________. [解析]　由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0， 而当x≤0时，f(x)＝2x2－3x＋m，则m＝f(0)＝0， 所以f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－3(－1)]＝－5. [答案]　－5 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出解析式． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值． 1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－ex＋1，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝(　　) A．x2－ex＋1 B．x2－e－x＋1 C．x2＋e－x＋1 D．－x2＋e－x－1 解析：B　[x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)， 则f(－x)＝(－x)2－e－x＋1＝x2－e－x＋1， 又f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)， 故f(x)＝x2－e－x＋1.] 2．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(2)＝4，则f(－2)＝(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析：B　[令g(x)＝ax3＋bx，则f(x)＝g(x)＋1. 由g(x)定义域关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)得g(x)为奇函数， ∵f(2)＝g(2)＋1＝4，∴g(2)＝3， ∴f(－2)＝g(－2)＋1＝－3＋1＝－2.] 3．设a∈R，函数y＝f(x)是奇函数．若f(1)＝ea－3，f(－1)＝1，则a＝________. 解析：因为函数y＝f(x)是奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)＝－(ea－3)＝1，解得：a＝ln 2. 答案：ln 2 $$