第二章 §2.2 函数的单调性与最值-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.2　函数的单调性与最值 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有　f(x1)<f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有　f(x1)>f(x2)　，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有　f(x)≤M　； (2)∃x0∈I，使得　f(x0)＝M　 (1)∀x∈I，都有　f(x)≥M　； (2)∃x0∈I，使得　f(x0)＝M　 结论 M为最大值 M为最小值 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若f(x)的定义域为R，且f(－3)<f(2)，则f(x)为R上的增函数．(　×　) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　) (3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．(　×　) (4)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) 2．[多选]下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0”的是(　　) A．f(x)＝－3x＋1　　　　 B．f(x)＝－eq \f(2,x) C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－eq \f(1,x) 解析：BCD　[函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0”，则有函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 函数f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，A不是； 函数f(x)＝－eq \f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，B是； 函数f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，C是； 函数f(x)＝x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，D是．] 3．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．m>eq \f(1,2) B．m<eq \f(1,2) C．m>－eq \f(1,2) D．m<－eq \f(1,2) 解析：B　[要使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<eq \f(1,2).] 4．函数y＝eq \f(2,x－1)在[2,3]上的最大值是________． 解析：该函数在[2,3]上单调递减，故当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2. 答案：2 确定函数的单调性 ►[角度1]　函数的单调性的理解　 [例1－1]　[多选](2025·南京模拟)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.eq \f(x2－x1,fx2－fx1)>0 [解析]　因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)． [答案]　ABD ►[角度2]　判断或证明函数的单调性　 [例1－2]　试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性． [解]　设－1<x1<x2<1， f(x)＝a·eq \f(x－1＋1,x－1)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))， 则f(x1)－f(x2)＝ aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq \f(ax2－x1,x1－1x2－1). 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 确定函数的单调区间的方法 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的升、降写出它的单调区间． (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间． 1．[多选]下列说法中，正确的是(　　) A．若对任意x1，x2∈I，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝2|x＋1|的递减区间是(－∞，－1] C．函数f(x)＝的单调递增区间为[1，＋∞) D．y＝2x＋2cos x在R上是增函数 解析：ABD　[对于A，若对任意x1，x2∈I，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，显然x1≠x2， 当x1＜x2时，则有f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2时，则有f(x1)＞f(x2)； 由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上是单调递增，故A正确． 对于B，作出函数y＝2|x＋1|的图象，如图所示， 由图象可知：函数y＝2|x＋1|的递减区间是(－∞，－1]，故B正确； 对于C，由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得单调递增区间为(－∞，1]，故C错误； 对于D，y′＝2－2sin x≥0，所以y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故D正确．] 2．函数f(x)＝ (2x2－3x－2)的单调递增区间为________． 解析：令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－eq \f(1,2)， 则f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) 函数单调性的应用 ►[角度1]　比较函数值的大小　 [例2－1]　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　　　 B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c [解析]　由题意知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x>1时，y＝f(x)单调递减，∵a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，∴f(2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>f(3)，即b>a>c. [答案]　D ►[角度2]　求函数的最值　 [例2－2]　函数y＝eq \f(1,x－1)－1＋x(x≥3)的最小值为________． [解析]　设t＝x－1，t≥2， 则y＝eq \f(1,x－1)－1＋x＝t＋eq \f(1,t)， 又函数y＝t＋eq \f(1,t)在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝2，即x＝3时， 函数y＝t＋eq \f(1,t)有最小值2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2). [答案]　eq \f(5,2) ►[角度3]　解不等式　 [例2－3]　函数f(x)是R上的单调函数且对任意的实数都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，f(4)＝5，则不等式f(1－2m)＜3的解集是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) C．(－∞，3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(2,3))) [解析]　∵对任意的实数都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1， ∴f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3， ∵f(2)＝3，f(4)＝5，函数f(x)是R上的单调函数， ∴函数f(x)是R上的单调增函数，∴f(1－2m)＜3＝f(2)， 即1－2m＜2，解得m＞－eq \f(1,2)， 即不等式f(1－2m)＜3的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). [答案]　B ►[角度4]　求参数的取值范围　 [例2－4]　定义在R上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [解析]　因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2， 所以函数f(x)在R上单调递增， 根据题设不等式关系，有2a－2＜a2－a， 即a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或a＜1. [答案]　A 函数单调性应用要点 (1)比较大小：可将n个自变量值化到同一单调区间上． (2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数： ①确定函数的单调区间，与已知区间比较； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋3，x≤1，,a－4x＋1，x＞1，))则“a＜4”是“f(x)在R上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋3，x≤1，,a－4x＋1，x＞1))在R上单调递减， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥1，,a－4＜0，,1－2a＋3≥a－4＋1，))解得1≤a≤eq \f(7,3)， 所以“a＜4”是“f(x)在R上单调递减”的必要不充分条件．] 2．[多选]函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在R上是单调递减函数 B．f(－5)＜f(0)＜f(1) C．f(0)＝0 D．f(2x－1)＜f(3－x)的解为x＜eq \f(4,3) 解析：BD　[由x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0， 因此f(x)在R上单调递增，A错误； 由－5＜0＜1，得f(－5)＜f(0)＜f(1)，B正确； 不一定有f(0)＝0，如f(x)＝2x在R上为增函数，f(0)＝1，C错误； 由f(2x－1)＜f(3－x)，得2x－1＜3－x， 解得x＜eq \f(4,3)，D正确．] $$