第二章 §2.1 函数的概念及其表示-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.1　函数的概念及其表示 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复习策略—教师专享 复习本章时，要注意以下几个方面： 1．全面系统复习，深刻理解知识本质 (1)重视函数的概念和性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图象的作用． (2)重视对基本初等函数的研究：基本初等函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、幂函数与分段函数等)是考查知识的常见载体．复习时通过选择题和填空题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理． (3)重视幂的运算性质、对数的运算性质及其应用． 2．熟练掌握解决以下问题的方法规律 (1)函数图象的确定与应用问题． (2)函数性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、零点)的确定与应用问题． 3．重视思想方法的应用 函数问题中蕴含着十分丰富的数学思想方法，这也是高考重视函数考查的一个重要原因．函数、方程、不等式之间有着密切的联系，在复习时要关注这种联系，要善于从函数的角度理解方程和不等式问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数问题．函数与其他知识的交汇是高考命题的热点，数学思想是灵魂． (1)数形结合思想：函数的图象为解决与函数有关的问题提供了有利的图形保障，研究函数的性质、方程的根的个数、不等式的解集等问题，往往用到数形结合思想． (2)函数与方程思想：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究．函数与不等式的相互转化：对函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为f(x)>0，借助函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (3)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、最值等问题． ★[考试要求] 1．了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的　实数集　，如果对于集合A中的 　任意　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：　定义域　、　对应关系　、　值域　. (2)如果两个函数的　定义域　相同，并且　对应关系　完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有　解析法　、图象法和　列表法　. 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　) (2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　) (3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　) (4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,x2，x＜0))的定义域为R.(　√　) 2．函数f(x)＝eq \r(2x－3)＋eq \f(1,x－2)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))∪(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪(2，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞) 解析：D　[由函数的性质得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3≥0,x－2≠0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2),x≠2))，故函数定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)．] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx＋2，x＜1.,x2－1，x≥1.))则f(0)＝(　　) A．0　　 B．3 C．8　　 D．15 解析：B　[由题知f(0)＝f(2)＝22－1＝3.] 4．若f(eq \r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________. 解析：令eq \r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1. 答案：x2－2x，x≥1 函数的概念 [例1]　(1)[多选]下列说法正确的有(　　) A．式子y＝eq \r(x－1)＋eq \r(－x＋2)可表示y关于x的函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋4，　x≤0,x－4，　x＞0))，则f[f(0)]＝4 D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数 [解析]　对于A，由y＝eq \r(x－1)＋eq \r(－x＋2)有意义可得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0,－x＋2≥0))，所以1≤x≤2， 又对于任意的x∈[1,2]，存在唯一的y与之对应，所以A正确； 对于B，由函数的定义，在定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应， 所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确； 对于C，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋4，x≤0,x－4，x＞0))， 故f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝4－4＝0，故C错误； 对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t有相同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确． [答案]　ABD (2)已知函数f(x)的定义域为(1,3)，则函数g(x)＝eq \f(fx－1,\r(x－3))的定义域为________． [解析]　因为f(x)的定义域为(1,3)， 所以f(x－1)满足1＜x－1＜3，即2＜x＜4， 又函数g(x)＝eq \f(fx－1,\r(x－3))有意义，所以x－3＞0，即x＞3 所以函数g(x)＝eq \f(fx－1,\r(x－3))的定义域为(3,4)． [答案]　(3,4) 函数的含义及判断两个函数相同的方法 (1)函数的含义 ①A，B是非空的实数集． ②函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素在集合A中有无元素与之对应，有几个元素与之对应却无所谓． ③只有深刻理解函数的概念才能在解决此类问题时游刃有余． (2)判断两个函数相同的方法 ①构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． ②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数． 1．函数f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(1－x)的定义域是(　　) A．x＜1且x≠0　　　 B．x≤1且x≠0 C．(－∞，0)∪(0,1] D．(－∞，0)∪(0,1) 解析：C　[因为f(x)＝eq \f(1,x)＋eq \r(1－x)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x≥0,x≠0))，解得x≤1且x≠0， 所以函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0,1]．] 2．[多选]下列命题正确的是(　　) A．y＝eq \r(x2)与y＝x不是同一个函数 B．y＝eq \r(－x2－2x＋3)的值域为(－∞，2] C．函数y＝x＋eq \r(x－1)的值域为[0，＋∞) D．若函数f(x＋1)的定义域为[1,4]，则函数f(x)的定义域为[2,5] 解析：AD　[对于A，y＝eq \r(x2)，y＝x的定义域为R，y＝eq \r(x2)＝|x|与y＝x对应法则不相同， 故y＝eq \r(x2)与y＝x不是同一个函数，A正确； 对于B，y＝eq \r(－x2－2x＋3)，由－x2－2x＋3≥0，可得－3≤x≤1， 又－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，当x＝－1时，－x2－2x＋3取到最大值4， 故y＝eq \r(－x2－2x＋3)的值域为[0,2]，故B错误； 对于C，函数y＝x＋eq \r(x－1)的定义域为[1，＋∞)，且单调递增，此时eq \r(x－1)≥0， 故函数y＝x＋eq \r(x－1)的值域为[1，＋∞)，C错误； 对于D，函数f(x＋1)的定义域为[1,4]，即1≤x≤4，则2≤x＋1≤5， 即函数f(x)的定义域为[2,5]，D正确．] 函数的解析式 [例2]　已知f(x)满足下列条件，分别求f(x)的解析式． (1)f(eq \r(x)－1)＝x－2eq \r(x)； (2)f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2； (3)f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x－1. [解]　(1)方法一(配凑法)：∵x－2eq \r(x)＝(eq \r(x)－1)2－1， ∴f(eq \r(x)－1)＝(eq \r(x)－1)2－1，∵x≥0，∴eq \r(x)－1≥－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥－1)． 方法二(换元法)：设u＝eq \r(x)－1，则eq \r(x)＝u＋1(u≥－1)， ∴f(u)＝(u＋1)2－2(u＋1)＝u2－1(u≥－1)， 即f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. (3)(构造法)已知2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x－1，① 以eq \f(1,x)代替①中的x(x≠0)， 得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)－1，② ①×2－②，得3f(x)＝6x－eq \f(3,x)－1， 故f(x)＝2x－eq \f(1,x)－eq \f(1,3)(x≠0)． 函数解析式的求法 (1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)消去法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． (4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． 1．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为________． 解析：(换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t(t>1)，则x＝eq \f(2,t－1)，所以f(t)＝lgeq \f(2,t－1)(t>1)，所以f(x)＝lgeq \f(2,x－1)(x>1)． 答案：f(x)＝lgeq \f(2,x－1)(x>1) 2．已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________. 解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8，))所以f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8. 答案：2x＋eq \f(8,3)或－2x－8 3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1，则f(x)＝________. 解析：(解方程组法)在f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1中，将x换成eq \f(1,x)，则eq \f(1,x)换成x，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq \r(\f(1,x))－1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2fx·\r(\f(1,x))－1，)) 解得f(x)＝eq \f(2,3) eq \r(x)＋eq \f(1,3). 答案：eq \f(2,3) eq \r(x)＋eq \f(1,3) 　　　分段函数 [例3]　[多选]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1,x2，－1＜x＜2))，则关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(1)＝3 D．若f(x)＝1，则x的值为±1 [解析]　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确； 当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误； 当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1⇒x＝－1，当－1＜x＜2时，f(x)＝x2＝1⇒x＝1，故D正确． [答案]　BD (2)[多选](2025·朝阳模拟)函数D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∉Q，))称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　) A．D(D(2))＝D(D(eq \r(2))) B．D(x)的值域与函数f(x)＝eq \f(|x|＋x,2x)的值域相同 C．D(x)≠D(－x) D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x) [解析]　对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D(eq \r(2)))＝D(0)＝1，即A正确； 对于B，易知函数f(x)＝eq \f(|x|＋x,2x)的定义域为(－∞，0)∪(0，∞)， 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝eq \f(|x|＋x,2x)＝0； 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝eq \f(|x|＋x,2x)＝1； 即函数f(x)＝eq \f(|x|＋x,2x)的值域为{0,1}，所以B正确； 对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D(x)＝D(－x)＝1， 若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则D(x)＝D(－x)＝0，综上可得：D(x)＝D(－x)，故C错误； 对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1； 当x∉Q时，x＋1∉Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正确． [答案]　ABD 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 1．已知分段函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,x2－x－2，x＜0))，f(m)＝4，则实数m＝(　　) A．2 B．－2或3 C．－2或2 D．－2或2或3 解析：C　[当m≥0时，f(m)＝2m＝4，解得m＝2； 当m＜0时，f(m)＝m2－m－2＝4，解得m＝3(舍)或m＝－2， 所以m＝2或－2.] 2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋4\r(3－x)，x≤3,－2x＋4\r(x－3)＋12，x＞3))的值域为(　　) A．(－∞，8] B．(－∞，6] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 解析：A　[当x≤3时，设t＝eq \r(3－x)，t≥0，则x＝3－t2， f(x)＝g(t)＝2(3－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋8， 因t≥0，则f(x)＝g(t)≤8； 当x＞3时，设u＝eq \r(x－3)，u＞0，则x＝u2＋3， f(x)＝h(u)＝－2(u2＋3)＋4u＋12＝－2(u－1)2＋8 因u＞0，则f(x)＝h(u)≤8. 综上，函数f(x)的值域为(－∞，8]．] $$