第二章 §2.10 函数模型的应用-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.10　函数模型的应用 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 　 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上 的单调性 　增函数　 　增函数　 　增函数　 增长速度 　越来越快　 　越来越慢　 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与　y轴　接近平行 随x值增大，图象与　x轴　接近平行 随n值变化而不同 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． 3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　) (2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　×　) (3)幂函数增长比直线增长更快．(　×　) (4)不存在x0，使 (　×　) 2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　) A．y＝50　　　　　 B．y＝1 000 x C．y＝2ln x D．y＝eq \f(1,1 000)ex 解析：D　[依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的增长，y＝eq \f(1,1 000)ex增长速度最快．] 3．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.00 2.0 3.0 在四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋eq \f(b,x) 解析：C　[根据表中数据，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋logbx反映x，y函数关系．] 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件． 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案：18 　用函数图象刻画变化过程 [例1]　(1)[多选]血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 [解析]　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． [答案]　ABC (2)(2025·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为eq \f(7,3)米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝eq \f(1,2)t＋a；④y＝eq \r(t)＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米． [解析]　由散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,3)))，则后三个模型的解析式分别为②y＝eq \f(1,3)＋log2t；③y＝eq \f(1,2)t＋eq \f(1,3)；④y＝eq \r(t)＋eq \f(1,3)，当t＝1时，代入④中，得y＝eq \f(4,3)，与图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝eq \f(1,3)＋log28＝eq \f(10,3)(米)． [答案]　②　eq \f(10,3) 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合方法 (1)构建函数模型法：当由题意易构建函数模型时，可建立函数模型，结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． [多选]一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 根据图1，以下四个说法中正确的是(　　) A．在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 km C．大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹 解析：AD　[由图1知，在2.6 km到2.8 km之间，图象上升，故在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8 km到2.4 km之间，但直道加减速也有路程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．] 已知函数模型的实际问题 [例2]　(1)“喊泉”是一种地下水的毛细现象．人们在泉口吼叫或发出其他声音时声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lgeq \f(I,I0).取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m) 之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喊一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m,60 m．若甲同学大喊一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喊一声的声强，则n的值约为(　　) A．10　 B．100 C．200　 D．1 000 [解析]　设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgeq \f(I1,10－12)，120＝10lgeq \f(I2,10－12)，所以I1＝102，I2＝1，从而eq \f(I1,I2)＝100.所以n的值约为100. [答案]　B (2)[多选]漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,1 000)t2，0≤t<10，,mat，10≤t≤100，))，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后， 杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)可以是(参考数据：log23≈1.6)(　　) A．20小时 B．25小时 C．28小时 D．35小时 [解析]　由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10%＝ma10,20%＝ma40))， 所以a30＝2即，m＝eq \f(\r(3,4),20)，由题意可知当t＜10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t≥10时，则有eq \f(\r(3,4),20)at≤15%即eq \f(\r(3,4),20)≤15%，所以≤eq \f(3,2) eq \r(3,2)，所以eq \f(t,30)≤log2eq \f(3,2)＋log2eq \r(3,2)，解得t≤28. [答案]　ABC 1．求解已知函数模型解决实际问题的关注点． (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 2．利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． (2025·合肥模拟)声强级(单位：dB)由公式LI＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40 dB，现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10－7 W/m2,2×10－9 W/m2,5×10－10 W/m2,9×10－11W/m2，则这4人中达到班级要求的有(　　) A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 解析：C　[依题意，当I＝10－7W/m2时，LI＝10lgeq \f(10－7,10－12)＝10lg105＝50；当I＝2×10－9W/m2时，LI＝10lgeq \f(2×10－9,10－12)＝10lg(2×103)＝10(lg 2＋3)＝30＋10lg 2<30＋10lg 10＝40；当I＝5×10－10W/m2时，LI＝10lgeq \f(5×10－10,10－12)＝10lg(5×102)＝10(lg 5＋2)＝20＋10lg 5<20＋10lg 10＝30；当I＝9×10－11W/m2时，LI＝10lgeq \f(9×10－11,10－12)＝10lg(9×10)＝10(lg 9＋1)＝10＋10lg 9<10＋10lg 10＝20.所以这4人中达到班级要求的有3人．] 构造函数模型的实际问题 [例3]　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝eq \f(v2,20k)m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ [解]　(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋eq \f(v2,20k)＝30＋v＋eq \f(v2,20k)(0≤v≤33.3)． (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5,0.9]，30＋v＋eq \f(v2,20k)<90恒成立． 易知当v＝0时，满足题意； 当0<v≤33.3时，有eq \f(1,20k)<eq \f(60,v2)－eq \f(1,v)对任意的k∈[0.5,0.9]恒成立， 由k∈[0.5,0.9]，得eq \f(1,20k)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,18)，\f(1,10)))， 所以eq \f(60,v2)－eq \f(1,v)>eq \f(1,10)， 即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20， 所以0<v<20. 综上，0≤v<20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(　　) A．4　　 B．5 C．6　　 D．7 解析：C　[设石片第n次“打水漂”时的速率为vn， 则vn＝100×0.90n－1. 由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6， 则(n－1)ln 0.90<ln 0.6， 即n－1>eq \f(ln 0.6,ln 0.9)≈eq \f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为6.] $$