第二章 §2.9 函数的零点与方程的解-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.9　函数的零点与方程的解 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使　f(x)＝0　的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有　零点　⇔函数y＝f(x)的图象与　x轴　有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　f(a)·f(b)<0　，那么，函数y＝f(x)在区间　(a，b)　内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　f(c)＝0　，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且　f(a)·f(b)<0　的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近　零点　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数在零点两侧取值时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以图象连续且f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　√　) 2．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 解析：C　[根据零点存在性定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)＜0， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点．] 3．函数y＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))　　　　　　 B．(1,2) C．(2，e) D．(e，＋∞) 解析：C　[y＝f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－eq \f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－eq \f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－eq \f(2,e)＝1－eq \f(2,e)>0，所以f(2)·f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．] 4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,x2－1，x＞0，))则函数y＝f(x)－1的零点是________． 解析：要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝eq \r(2)(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和eq \r(2). 答案：0和eq \r(2) 函数零点所在区间的判定 [例1]　(1)(2025·梅州模拟)用二分法求方程log4 x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [解析]　令f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－eq \f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)>0，所以函数f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)． [答案]　B (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [解析]　函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． [答案]　A 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．已知x0是函数f(x)＝eq \r(x)＋log2(x＋1)－4的零点，则(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)的值(　　) A．为正数 B．为负数 C．等于0 D．无法确定正负 解析：B　[由题意可知f(x)单调递增且f(3)＝eq \r(3)＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，则x0∈(3,4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.] 2．已知函数f(x)＝20×3－x－x的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 解析：因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f(x)＝20×3－x－x为R上的减函数，又f(2)＝20×3－2－2＝eq \f(20,9)－2＝eq \f(2,9)>0，f(3)＝20×3－3－3＝eq \f(20,27)－3＝－eq \f(61,27)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2,3)上有唯一零点，结合题意可知k＝2. 答案：2 函数零点个数的判定 [例2]　(1)函数f(x)＝sineq \f(πx,2)－|log3x|的零点个数为(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 [解析]　函数f(x)＝sineq \f(πx,2)－|log3x|的零点个数， 即函数g(x)＝sineq \f(πx,2)与h(x)＝|log3x|的交点个数， 在坐标平面中画出两个函数的图象，如图所示： 则两个图象交点的个数为2. [答案]　B (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋4－3，x≤0，,2x2－7x＋4－ln x，x＞0，)) 的零点个数为________． [解析]　当x≤0时，由f(x)＝2x＋4－3＝0，得x＝log23－4，当x＞0时，由f(x)＝2x2－7x＋4－ln x＝0，得2x2－7x＋4＝ln x，则x＞0时，函数f(x)＝2x2－7x＋4－ln x零点的个数，即为函数y＝2x2－7x＋4，y＝ln x图象交点的个数，如图， 作出函数y＝2x2－7x＋4，y＝ln x的图象，由图可知，两函数的图象有2个交点，即当x＞0时，函数f(x)＝2x2－7x＋4－ln x有2个零点，综上所述，函数f(x)有3个零点． [答案]　3 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 1．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，作出y＝|log0.5x|和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．] 2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq \f(5,2)<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点．] 　　　函数零点的应用 ►[角度1]　根据函数零点个数求参数　 [例3－1]　[多选](2025·中山模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　) A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3＋x4＝4 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3x4的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2))) [解析]　令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)的图象如图， 由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0,1)，故B正确；若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此时x3，x4关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，故C正确；由C项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq \o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0,1)，故0<－4xeq \o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq \f(13,4)<－xeq \o\al(2,4)＋4x4<eq \f(7,2)，故D正确． [答案]　BCD ►[角度2]　根据函数零点的范围求参数　 [例3－2]　已知函数f(x)＝3x－eq \f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) C．(－∞，0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) [解析]　由f(x)＝3x－eq \f(1＋ax,x)＝0，可得a＝3x－eq \f(1,x)，令g(x)＝3x－eq \f(1,x)，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－eq \f(1,x)在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－eq \f(1,x)<3－1＋1＝eq \f(4,3)，又g(x)＝3x－eq \f(1,x)>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))). [答案]　B 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解． 1．(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋12，x≤0，,|lg x|，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0,1] B．[0,1] C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：A　[依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1,0]时，函数单调递增，y∈(0,1]；当x∈(0,1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象可知，实数b的取值范围为(0,1]．] 2．[多选](2025·沧州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋ln x，x＞0))，令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的增区间为(0，＋∞) B．当h(x)有3个零点时，k∈(－4，－3] C．当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1 D．当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点 解析：BD　[函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋ln x，x＞0))，结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的增区间为(－1,0]和(0，＋∞)，A选项错误； h(x)的零点是函数y＝f(x)和y＝k图象交点的横坐标， 由图象可知，当h(x)有3个零点时，k∈(－4，－3]，B选项正确； 解方程可知，当k＝－2时，h(x)有两个零点，－1－eq \r(2)和1，所有零点之和为－eq \r(2)，C选项错误； 当k∈(－∞，－4)时，函数y＝f(x)和y＝k的图象有1个交点，即h(x)有1个零点，D选项正确．] $$