第二章 §2.7 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第二章　函数 §2.7　对数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 　 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第二章　函数 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底数N的　对数　， 记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1) loga1＝0，logaa＝1，＝　N　(a>0，且a≠1) 运算法则 loga (MN)＝　logaM　＋　logaN　 a>0，且a≠1 M >0，N>0 logaeq \f(M,N)＝　logaM　－　logaN　 logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝eq \f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) [注意]　在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：R 过定点　(1,0)　 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 [注意]　y＝logax(a>0且a≠1)的图象只在第一、四象限．在直线x＝0的右侧． 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 　y＝x　对称． 1．logab·logba＝1，. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)). 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　) (2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　) (3)函数y＝logaeq \f(1＋x,1－x)与函数y＝loga(1＋x)－loga(1－x)是同一个函数．(　×　) (4)函数y＝log2x与的图象重合．(　√　) 2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　) 解析：B　[若a＞1，则y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若0＜a＜1，则y＝ax是减函数，y ＝loga(－x)是增函数，排除A，C，D.由于y＝loga(－x)只能在y轴左侧，B正确．] 3．计算：(log29)·(log34)＝________. 解析：(log29)·(log34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4. 答案：4 4．若对数函数f(x)经过点(4,2)，则它的反函数g(x)的解析式为________． 解析：设f(x)＝logax，函数过(4,2)，即f(4)＝loga4＝2，即a＝2，f(x)＝log2x， 它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x. 答案：g(x)＝2x 　对数式的运算 [例1]　(1)[多选](2025·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) A.eq \f(lg 2＋lg 5－lg 8,lg 50－lg 40)＝1 B.eq \f(lg 4＋lg 5－1,2lg 0.5＋lg 8)＝2 C．lg 14－2lgeq \f(7,3)＋lg 7－lg 18＝0 D．(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5＝2 [解析]　eq \f(lg 2＋lg 5－lg 8,lg 50－lg 40)＝eq \f(lg\f(10,8),lg\f(50,40))＝1，A成立； eq \f(lg 4＋lg 5－1,2lg0.5＋lg 8)＝eq \f(lg 20－1,lg0.25＋lg 8)＝eq \f(1＋lg 2－1,lg 2)＝1，B不成立； lg 14－2lgeq \f(7,3)＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，C成立； (lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，D不成立． [答案]　AC (2) 已知1.8x＝3，y＝log0.23，则eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝________. [解析]　由题意：x＝log1.83，eq \f(1,x)＝eq \f(1,log1.83)＝log31.8，eq \f(1,y)＝log30.2，∴eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＝log31.8－log30.2＝log3eq \f(1.8,0.2) ＝log39＝2. [答案]　2 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 1．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1　　　　　　 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 解析：A　[由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，所以lgeq \f(E1,E2)＝10.1，所以eq \f(E1,E2)＝1010.1.] 2．[多选]已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝eq \f(5,2)，ab＝ba，则eq \f(a,b)＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2 解析：AD　[令t＝logab，则t＋eq \f(1,t)＝eq \f(5,2)， ∴2t2－5t＋2＝0， 即(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝eq \f(1,2)或t＝2， ∴logab＝eq \f(1,2)或logab＝2， ∴a＝b2或a2＝b， 又∵ab＝ba， ∴2b＝b2＝a或a2＝2a＝b， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4. ∴eq \f(a,b)＝2或eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).] 对数函数的图象及应用 [例2]　(1)[多选]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，若f(m)＝g(n)，则下列结论可能成立的为(　　) A．m＝n B．n＜m＜1 C．m＜1＜n D．1＜m＜n [解析]　根据题意在同一直角坐标系中画出f(x)＝ln x与g(x)＝lg x的图象，如图所示， 当x＝1时，此时f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，故m＝n＝1，故A正确； 当0＜x＜1时，此时f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，故n＜m＜1，故B正确； 当x＞1时，此时f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，故1＜m＜n，故D正确． [答案]　ABD (2)若方程4x＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为________． [解析]　若方程4x＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点， 由图象知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，))解得0<a≤eq \f(\r(2),2). [答案]　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 1．(2025·内蒙古呼和浩特统考期末)若0＜a＜1，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是(　　) 解析：D　[因为0＜a＜1，函数g(x)＝loga(|x|－1)满足|x|－1＞0，解得x＜－1或x＞1，即函数g(x)＝loga(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除A，B，又由g(－x)＝loga(|－x|－1)＝loga(|x|－1)＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴对称的偶函数，当x＞1时，函数g(x)＝loga(|x|－1)单调递减，排除C.] 2．(2025·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln(x2＋1)，＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 解析：D　[画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x，y＝ln x， y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示． 数形结合，知x2<x1<x3.] 对数函数的性质及应用 ►[角度1]　比较大小　 [例3－1]　设a＝log20.7，b＝log30.6，c＝log0.30.2，则(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a [解析]　a＝log20.7＜0，b＝log30.6＜0，c＝log0.30.2＞0，log20.7＜log2eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(1,2)＝log3eq \f(\r(3),3)＜log30.6， 所以a＜b，则a＜b＜c. [答案]　A ►[角度2]　解对数方程、不等式　 [例3－2]　 (2025·江苏统考模拟)已知对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，且logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＜logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))，则关于x的不等式loga(2x－3)＞0的解集为　________　. [解析]　[因为logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＜logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)))，当0＜a＜1时，则有eq \f(2,a)＞eq \f(3,a)，无解；当a＞1时，则有eq \f(2,a)＜eq \f(3,a)，解得：a＞1，所以a＞1，则对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，又关于x的不等式 loga(2x－3)＞0，所以2x－3＞1，解得：x＞2，所以关于x的不等式loga(2x－3)＞0的解集为(2，＋∞)．] [答案]　(2，＋∞) ►[角度3]　对数函数性质的综合应用　 [例3－3]　设函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) [解析]　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>－log2a)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,－log2－a>log2－a，)) 解得a>1或－1<a<0. [答案]　C ►[角度4]　利用对数函数单调性求参数的取值范围　 [例3－4]　(2025·东北师大附中模拟)已知函数f(x)＝ 对任意两个不相等的实数x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))都满足不等式eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞0，则实数a的取值范围为________． [解析]　由于f(x)满足：对任意两个不相等的实数x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))都满足不等式 eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞0，所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增． 在(0，＋∞)上单调递减； g(x)＝x2－ax－a的开口向上，对称轴为x＝eq \f(a,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥－\f(1,2)，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝\f(1,4)＋\f(1,2)a－a＝\f(1,4)－\f(1,2)a≥0，)) 解得－1≤a≤eq \f(1,2)， 所以a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). [答案]　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) (1)比较对数值的大小的方法 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论； ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法 ①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； ②形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1．(2025·咸阳调研)已知a＝log3eq \f(1,2)，b＝30.7，c＝sin 3，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 解析：D　[因为log3eq \f(1,2)＜log31＝0，所以a＜0， 因为30.7＞30＝1，所以b＞1， 因为eq \f(π,2)＜3＜π，所以0＜sin 3＜1，即0＜c＜1， 所以b＞c＞a.] 2．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0.则a2＋b2的最小值为(　　) A.eq \f(1,8)　　 B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2)　　 D．1 解析：C　[当x＜－a时x＋a＜0，当x＞－a时x＋a＞0，当x＜1－b时ln(x＋b)＜0， 当x＞1－b时ln(x＋b)＞0，所以要f(x)恒非负，必须－a＝1－b，即b－a＝1， 所以a2＋b2＝eq \f(a－b2＋a＋b2,2)≥eq \f(1,2)， 当且仅当a＝－eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)时取等号．] $$