第一章 §1.5 一元二次方程、不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 §1.5　一元二次方程、不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 　{x|x<x1或x>x2}　 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅　 　∅　　 2.分式不等式与整式不等式 (1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔　f(x)g(x)>0(<0)　； (2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔　f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0　. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为　(－∞，－a)∪(a，＋∞)　， |x|<a(a>0)的解集为　(－a，a)　. (1)一元二次不等式恒成立问题 ①不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； ②不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； ③若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． (2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． (3)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　√　) 2．不等式eq \f(x－1,x－3)≤0的解集是(　　) A．(－∞，1)∪[3，＋∞) B．(－∞，1]∪(3，＋∞) C．[1,3) D．[1,3] 解析：C　[eq \f(x－1,x－3)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1x－3≤0，,x－3≠0))⇔1≤x<3，所以不等式eq \f(x－1,x－3)≤0的解集为[1,3)．] 3．不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，则a＋b＝　________. 解析：由不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，知方程x2－ax－b＝0的解为2或3， 由韦达定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋3＝a,2×3＝－b))，解得a＝5，b＝－6， 所以a＋b＝－1. 答案：－1 4．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m2－4m<0，))解得0<m<4.综上知，实数m的取值范围是[0,4)． 答案：[0,4) 一元二次不等式的求解 ►[角度1]　不含参的不等式　 [例1－1]　[多选]下列选项中，正确的是(　　) A．不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式eq \f(2x＋1,x－2)≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“eq \f(x＋4,x－5)<0”的充分不必要条件 [解析]　因为方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，故A错误； 因为eq \f(2x＋1,x－2)－1≤0，即eq \f(x＋3,x－2)≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由eq \f(x＋4,x－5)<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“eq \f(x＋4,x－5)<0”的充分不必要条件，故D正确． [答案]　BD ►[角度2]　含参不等式　 [例1－2]　解不等式12x2－ax＞a2(a∈R)． [解]　原不等式可化为12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得x1＝－eq \f(a,4)，x2＝eq \f(a,3). 当a＞0时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＜0时，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，＋∞)). 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 解关于x的不等式： (1)eq \f(2x,1－x)≤3； (2)ax2－(2a－1)x－2≥0. 解：(1)由题意eq \f(2x,1－x)－3＝eq \f(5x－3,1－x)≤0， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－3x－1≥0,x－1≠0))，解得x≤eq \f(3,5)或x＞1， 所以不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,5)))∪(1，＋∞)． (2)不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0， 当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞)； 当a＞0时，不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－2)≥0，其解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,a)))∪[2，＋∞)； 当a＜0时，不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－2)≤0， (ⅰ)当－eq \f(1,a)＜2，即a＜－eq \f(1,2)时，不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，2))； (ⅱ)当－eq \f(1,a)＝2，即a＝－eq \f(1,2)时，不等式的解集为{2}； (ⅲ)当－eq \f(1,a)＞2，即－eq \f(1,2)＜a＜0时，不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,a))). 三个二次之间的关系 [例2]　[多选](2025·滨州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞4}，则下列说法正确的是(　　) A．a＞0 B．a＋b＜c C．bx＋c＞0的解集是{x|x＞－4} D．cx2－bx＋a＜0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,4)，或x＞\f(1,2))) [解析]　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞4}， 所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和4，且a＞0， 所以－2＋4＝－eq \f(b,a)，－2×4＝eq \f(c,a)，得b＝－2a，c＝－8a，所以A正确， 对于B，因为a＋b－c＝a＋(－2a)－(－8a)＝7a＞0，所以a＋b＞c，所以B错误， 对于C，因为b＝－2a，c＝－8a，所以bx＋c＞0可化为－2ax－8a＞0，因为a＞0，所以x＋4＜0，得x＜－4，所以bx＋c＞0的解集为{x|x＜－4}，所以C错误， 对于D，因为b＝－2a，c＝－8a，所以cx2－bx＋a＜0可化为－8ax2＋2ax＋a＜0，因为a＞0，所以8x2－2x－1＞0，(2x－1)(4x＋1)＞0，得x＜－eq \f(1,4)或x＞eq \f(1,2)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,4)，或x＞\f(1,2)))，所以D正确． [答案]　AD 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负． [多选](2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则(　　) A．a＞0 B．a＋b＋c＞0 C．bx＋c＞0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(5,6))) D．cx2－bx＋a＜0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞－\f(1,5)，或x＜－1)) 解析：CD　[由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0， 由韦达定理可得1＋5＝－eq \f(b,a)，1×5＝eq \f(c,a)， 得b＝－6a，c＝5a， 对于A，因为a＜0，故A错误；对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；对于C，不等式bx＋c＞0，即－6ax＋5a＞0，即6x－5＞0，得x＞eq \f(5,6)，∴不等式bx＋c＞0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞\f(5,6)))，故C正确；对于D，由不等式cx2－bx＋a＜0，得a(5x2＋6x＋1)＜0，即5x2＋6x＋1＞0，则(5x＋1)(x＋1)＞0，得x＞－eq \f(1,5)或x＜－1，即解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞－\f(1,5)或x＜－1))，故D正确．] 　一元二次不等式恒成立问题 [例3]　已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围． [解]　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时， 有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝[－m－1]2－4mm－2<0，)) 解得m<eq \f(3－2\r(3),3)， 综上所述，m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3－2\r(3),3))). (2)不等式f(x)≥0对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))恒成立， 因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0， 则不等式等价于m≥eq \f(1－x,x2－x＋1)对一切x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))恒成立， 由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))， 得eq \f(1－x,x2－x＋1)＝eq \f(1,\f(x2－x＋1,1－x))＝eq \f(1,－x＋\f(1,1－x)) ＝eq \f(1,1－x＋\f(1,1－x)－1)≤eq \f(1,2\r(1－x·\f(1,1－x))－1)＝1， 当且仅当1－x＝eq \f(1,1－x)，即x＝0时等号成立， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,x2－x＋1)))max＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)． (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0,2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞)． 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝x2－3x＋a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋a－eq \f(9,4)， 则f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝a－eq \f(9,4)， f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x)min＝a－eq \f(9,4)>0，故a>eq \f(9,4). 故实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞)). (2)f(x)＝x2－3x＋a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋a－eq \f(9,4)， f(x)在[－1,2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,2)))2＋a－eq \f(9,4)＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1,2)上满足f(x)<4＋a，故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]． $$