第一章 §1.4 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学总复习大一轮课件PPT（A版）

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 §1.4　基本不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学A版 ★[考试要求] 1．了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　. (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时，等号成立． (3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的　算术平均数　，eq \r(ab)叫做正数a，b的　几何平均数　. 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值　2eq \r(P)　. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值　eq \f(1,4)S2　. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)． (4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　×　) (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2成立的条件是ab>0.(　×　) (3)“x>0且y>0”是“eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2”的充要条件．(　×　) (4)若a>0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值是2eq \r(a).(　×　) 2．已知x＞1，则x＋eq \f(1,x－1)的最小值为(　　) A．2　　 B．3　 C．4　　 D．5 解析：B　[因为x＞1，所以x－1＞0， 所以，x＋eq \f(1,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)时等号成立，即x＝2时等号成立， 所以，x＋eq \f(1,x－1)的最小值为3.] 3．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为　________. 解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2eq \r(x2·2y2)＝2eq \r(2)·eq \r(xy2)＝2eq \r(2)，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时，等号成立． 答案：2eq \r(2) 4．已知x，y∈(0，＋∞)，若2x＋3y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________． 解析：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(2x＋3y)＝5＋eq \f(3y,x)＋eq \f(2x,y)≥5＋2eq \r(\f(3y,x)·\f(2x,y))＝5＋2eq \r(6)， 当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝eq \f(\r(6)－2,2)，y＝eq \f(3－\r(6),3)时等号成立． 答案：5＋2eq \r(6) 利用基本不等式求最值 ►[角度1]　配凑法　 [例1－1]　(1)函数f(x)＝eq \f(x＋3,\r(x－1))的最小值为　________　. [解析]　函数f(x)＝eq \f(x＋3,\r(x－1))的定义域为(1，＋∞)，f(x)＝eq \f(x－1＋4,\r(x－1))＝eq \r(x－1)＋eq \f(4,\r(x－1))≥ ＝4，当且仅当eq \r(x－1)＝eq \f(4,\r(x－1))，即x＝5时取等号，故当x＝5时，f(x)取得最小值，且最小值为4. [答案]　4 (2)已知0＜x＜eq \f(\r(2),2)，则xeq \r(1－2x2)的最大值为　________　. [解析]　因为0＜x＜eq \f(\r(2),2)，所以1－2x2＞0，xeq \r(1－2x2)＝eq \f(\r(2),2)·eq \r(2)x·eq \r(1－2x2)≤eq \f(\r(2),2)·eq \f(2x2＋1－2x2,2)＝eq \f(\r(2),4)，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝eq \f(1,2)时等号成立． [答案]　eq \f(\r(2),4) ►[角度2]　常数代换法　 [例1－2]　[多选]已知a，b为正实数，且a＞1，b＞1，(a－1)(b－1)＝1，则(　　) A．ab的最大值为4 B．2a＋b的最小值为3＋2eq \r(2) C．a＋b的最小值为3－2eq \r(2) D.eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,b－1)的最小值为2 [解析]　对于A，∵(a－1)(b－1)＝1，∴ab＝a＋b， 因为ab＝a＋b≥2eq \r(ab)，eq \r(ab)≥2，ab≥4(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由ab＝a＋b，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(2a,b)＋eq \f(b,a)≥3＋2eq \r(2)(当且仅当a＝1＋eq \f(\r(2),2)，b＝1＋eq \r(2)时取“＝”)，B正确； 对于C，(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥4(当且仅当a＝b＝2时，取“＝”)，C错误； 对于D，∵(a－1)(b－1)＝1，∴eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,b－1)≥2eq \r(\f(1,a－1b－1))＝2(当且仅当a＝b＝2时，取“＝”)，D正确． [答案]　BD ►[角度3]　消元法　 [例1－3]　(1)已知x＞2，则eq \f(x2＋5,x－2)的最小值为(　　) A．6　　 B．10 C．12　　 D．14 [解析]　因为x＞2，令t＝x－2(t＞0)，则x＝t＋2， 所以eq \f(x2＋5,x－2)＝eq \f(t＋22＋5,t)＝eq \f(t2＋4t＋4＋5,t)＝t＋eq \f(9,t)＋4≥2eq \r(t·\f(9,t))＋4＝10， 当且仅当t＝eq \f(9,t)，即t＝3时，等号成立， 所以当x＝t＋2＝5时，eq \f(x2＋5,x－2)≥10，故eq \f(x2＋5,x－2)的最小值为10. [答案]　B (2)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为(　　) A．9 B．1 C.eq \f(9,4) D．3 [解析]∵x2－3xy＋4y2－z＝0， ∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均为正实数， ∴eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3) ≤eq \f(1,2\r(\f(x,y)×\f(4y,x))－3)＝1 (当且仅当x＝2y时取“＝”)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xy,z)))max＝1，此时x＝2y. ∴z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2， ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝eq \f(1,y)＋eq \f(1,y)－eq \f(1,y2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))2＋1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意． ∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为1. [答案]　B 基本不等式求最值的常用方法 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一配凑法；二将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三消元法． 1．[多选]设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最小值4 B.eq \r(ab)有最小值eq \f(1,2) C.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(7) D．a2＋b2有最小值eq \f(1,2) 解析：AD　[对于A，正实数a，b满足a＋b＝1， 所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4， 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，A正确； 对于B，因为eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号， 此时eq \r(ab)取得最大值eq \f(1,2)，B错误； 对于C，eq \r(a)＋eq \r(b)≤2×eq \r(\f(a＋b,2))＝eq \r(2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，C错误； 对于D，a2＋b2≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，D正确．] 2．已知a＞b＞0，则eq \f(b2＋a2,ab－b2)的最小值为(　　) A．2 B．1＋2eq \r(2) C．4 D．2＋2eq \r(2) 解析：D　[由a＞b＞0，得eq \f(a,b)＞1，令eq \f(a,b)＝t＞1， 则eq \f(b2＋a2,ab－b2)＝eq \f(t2＋1,t－1)＝eq \f(tt－1＋t－1＋2,t－1)＝t－1＋eq \f(2,t－1)＋2≥2eq \r(t－1·\f(2,t－1))＋2＝2＋2eq \r(2)， 当且仅当t－1＝eq \f(2,t－1)，即t＝1＋eq \r(2)时取等号， 所以eq \f(b2＋a2,ab－b2)的最小值为2＋2eq \r(2).] 利用基本不等式求参数的值或取值范围 [例2]　(1)若正实数x，y满足x＋y＝3，且不等式eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＞m2－2m＋3恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－3＜m＜1} B．{m|m＜－3，或m＞1} C．{m|－1＜m＜3} D．{m|m＜－1，或m＞3} [解析]　因x＋y＝3，由eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(8,y)))(x＋y) ＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋\f(2y,x)＋\f(8x,y)))≥eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10＋2\r(\f(2y,x)·\f(8x,y))))＝6，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(8x,y)时取等号， 即当x＝1，y＝2时，eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)取得最小值6. 因不等式eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＞m2－2m＋3恒成立，故m2－2m＋3＜6， 即m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. [答案]　C (2)若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋eq \f(y,4)＜m2－m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,2) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－2,1) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [解析]　由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，得eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝2， 则x＋eq \f(y,4)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,4))) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4x,y)＋\f(y,4x)))≥eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(4x,y)·\f(y,4x))))＝2， 当且仅当eq \f(4x,y)＝eq \f(y,4x)，即y＝4x＝4时取等号， 由不等式x＋eq \f(y,4)＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2， 所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [答案]　D 利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 (1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围． (2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解． 已知正数x、y满足(x－1)(y－2)＝2，不等式3x＋2y＞m恒成立．则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，4＋6eq \r(2)) B．(6＋4eq \r(2)，＋∞) C．(－∞，7＋4eq \r(3)) D．(8＋4eq \r(3)，＋∞) 解析：C　[因为(x－1)(y－2)＝2，x＞0，y＞0， 所以xy＝2x＋y，即eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝1， 所以由基本不等式可得3x＋2y＝(3x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝7＋eq \f(2y,x)＋eq \f(6x,y)≥7＋2eq \r(\f(2y,x)·\f(6x,y))＝7＋4eq \r(3)， 等号成立当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2y,x)＝\f(6x,y),x＞0，y＞0,x－1y－2＝2))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(2\r(3),3),y＝2＋\r(3)))， 综上所述，3x＋2y的最小值为7＋4eq \r(3). 因为不等式3x＋2y＞m恒成立， 所以实数m的取值范围是(－∞，7＋4eq \r(3))．] 基本不等式的实际应用 [例3]　数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本1 000万元；②材料成本eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x＋\f(x2,10)))万元，x为每月生产人形机器人的个数． (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(23＋\f(x,5)))万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本． [解]　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有y＝eq \f(1 000＋10x＋\f(x2,10),x)＝eq \f(1 000,x)＋eq \f(x,10)＋10≥2eq \r(\f(1 000,x)·\f(x,10))＋10＝30， 当且仅当eq \f(1 000,x)＝eq \f(x,10)，即x＝100时取等号． 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元． (2)设月利润为W万元，则有W＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(23＋\f(x,5)))－1 000－10x－eq \f(x2,10)＝eq \f(x2,10)＋13x－1 000， 由题知eq \f(x2,10)＋13x－1 000≥400，整理得x2＋130x－14 000≥0，解得x≥70. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元． 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,75)x2－130x＋4 900，x∈[50，80，,12－\f(x,60)，x∈[80，120].)) (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解：(1)当x∈[50,80)时，y＝eq \f(1,75)(x2－130x＋4 900)＝eq \f(1,75)[(x－65)2＋675]，当x＝65时，y有最小值，为eq \f(1,75)×675＝9；当x∈[80,120]时，函数y＝12－eq \f(x,60)单调递减，故当x＝120时，y有最小值，为10.因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低． (2)设总耗油量为l，由题意可知l＝y·eq \f(120,x)，当x∈[50,80)时，l＝y·eq \f(120,x)＝eq \f(8,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4 900,x)－130))≥eq \f(8,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x×\f(4 900,x))－130))＝16，当且仅当x＝eq \f(4 900,x)，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；当x∈[80,120]时，l＝y·eq \f(120,x)＝eq \f(1 440,x)－2为减函数，故当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.因为10＜16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少. $$