专题14 等腰三角形中易错或多解问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题14 等腰三角形中易错或多解问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 3 类型三、有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 5 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 7 压轴能力测评（15题） 10 解题知识必备 1. 等腰三角形中易错或多解解题思路 （1）易错问题解题思路：认真审题，明确已知条件，注意区分腰和底边、顶角和底角，防止概念混淆导致错误。运用三角形三边关系及内角和定理进行验证，确保答案符合三角形的基本性质。 （2）多解问题解题思路：考虑等腰三角形的对称性，对顶角、底角以及腰长、底边进行分类讨论，不遗漏任何一种可能情况。根据不同情况，结合相关定理和公式进行计算，得出所有可能的解。 2. 等腰三角形中易错或多解解题思路 （1）易错问题解题技巧：标注已知条件和图形中的等量关系，清晰呈现解题思路，避免遗漏关键信息。遇到含参数的问题，可通过代入特殊值进行检验，增强答案的准确性。 （2）多解问题解题技巧：绘制准确的图形，直观展示各种可能情况，有助于分析和求解，减少思维漏洞。 建立表格或分类框架，有序列出不同情况，使解题过程更加条理清晰，防止重复或遗漏。 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·期末）等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 2．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 类型三、有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为 ． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西百色·期中）等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知是整数，，满足，用长度为，，的小木棒刚好可以围成一个等腰三角形，则这个三角形的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．7或8或9 4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）一个等腰三角形的两条边分别是7和15，这个三角形的周长是 ． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，的点在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ． 8．（2025·江西·模拟预测）如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知等腰中，，若边上的高与另一腰的夹角为，求顶角的度数． 10．（24-25八年级上·河北衡水·期中）在中，，上的中线把三角形的周长分为和的两个部分，求三角形的三边长． 11．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）一个等腰三角形的周长为． (1)若腰长是底边的2倍，求各边的长； (2)若其中一边的长为，求另两边的长． 12．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）已知，在中，，，的对边分别用，，表示，其中，满足． (1)请直接写出______，______； (2)若为等腰三角形，请求出的周长； 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知中，，，请画一条线段，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）     14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是腰上的中线． (1)若，则的周长与的周长之差为___________； (2)若的周长为，将分成周长差为的两部分，求的边长． 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数． 分析：都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________． 【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________． 【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 等腰三角形中易错或多解问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 1 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 3 类型三、有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 5 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 7 压轴能力测评（15题） 10 解题知识必备 1. 等腰三角形中易错或多解解题思路 （1）易错问题解题思路：认真审题，明确已知条件，注意区分腰和底边、顶角和底角，防止概念混淆导致错误。运用三角形三边关系及内角和定理进行验证，确保答案符合三角形的基本性质。 （2）多解问题解题思路：考虑等腰三角形的对称性，对顶角、底角以及腰长、底边进行分类讨论，不遗漏任何一种可能情况。根据不同情况，结合相关定理和公式进行计算，得出所有可能的解。 2. 等腰三角形中易错或多解解题思路 （1）易错问题解题技巧：标注已知条件和图形中的等量关系，清晰呈现解题思路，避免遗漏关键信息。遇到含参数的问题，可通过代入特殊值进行检验，增强答案的准确性。 （2）多解问题解题技巧：绘制准确的图形，直观展示各种可能情况，有助于分析和求解，减少思维漏洞。 建立表格或分类框架，有序列出不同情况，使解题过程更加条理清晰，防止重复或遗漏。 压轴题型讲练 类型一、等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·期末）等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ． 【答案】14 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论是解题关键．分当腰长为6和当腰长为2两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为6时，周长； ②当腰长为2时，三角形三边分别为6，2，2，不能组成三角形； 故答案为：14． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】12 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为 时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 当腰长为时，则底边长为：， 则，不符合三角形三边关系，构不成三角形， 故等腰三角形的腰长为． 故答案为：12． 2．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 类型二、等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错 例题：（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 类型三、有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错 例题：（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、解一元一次方程．解决本题的关键是根据等腰三角形中有两条边相等把几何问题转化为方程求解，本题中还要注意运用分类讨论的思想上，要分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论．当点在点的左侧时，根据可得方程，解方程求出值即可；当点在点的右侧时，根据，可知是等边三角形，所以也有，可得方程，解方程求出即可． 【详解】解：如下图所示， 当点在点的左侧时，设运动时是等腰三角形， ， ， 若是等腰三角形， 则有， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 如下图所示， 当点在点的右侧时，设运动时是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为 ． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，根据“倍长三角形”的定义得到另两边长，然后根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】解：一边长为4，三角形的另两边为,；,；,；,； ∵三角形的三边关系得到：,；,； 故答案为：或． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 类型四、三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错 例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西百色·期中）等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在中，，点D在边上，若直线将分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分三种情形，分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1中，当，时，满足条件． 如图2中，当，时，可得， ∴． 如图3中，当，时，， ∴， 故答案为：或或． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题关键．先分顶角为和底角为两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：当它的顶角为时， 它的底角度数为：； 当它的底角为时， 它的底角度数为：； ∴它的底角度数是或． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知是整数，，满足，用长度为，，的小木棒刚好可以围成一个等腰三角形，则这个三角形的周长是（   ） A．7 B．8 C．7或8 D．7或8或9 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．先根据非负数的性质列式求出、的值，再分3是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 解：根据题意得，，， 解得，， ①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、2， ， 能组成三角形，周长， ②3是底边时，三角形的三边分别为3、2、2， ， 能组成三角形，周长， 所以，三角形的周长为7或8． 故选：C． 4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】分两种情况：为腰或为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k. 【详解】解：当腰时，则底边； 此时，优美比； 当为底边时，则腰为； 此时，优美比； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）一个等腰三角形的两条边分别是7和15，这个三角形的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟记三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；判断出该等腰三角形的腰为，进而根据三角形的周长计算方法解答即可． 【详解】解：， 所以，该等腰三角形的腰为， ， 即这个三角形的周长是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，的点在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，分三种情形：，，分别求解即可解决问题．解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：如图， 在中，， ①当时，当点在点左边，此时， ， ； 当点在点右边，此时； ②当时，此时； ③当时，此时， ； 综上所述，满足条件的的值为或或或． 8．（2025·江西·模拟预测）如图，在中 ，，，平分，M 为射线上的一动点． 当为等腰三角形时，的度数为 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，，根据角平分线的定义求出．分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， 即， 解得， ∴， ∵平分， ∴． ①如图，当时， ， ∴； ② 如图 ，当时， ∴； ③如图，当时， ∴． 综上分析可知：的度数为：或或 故答案为：或或． 三、解答题 9．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知等腰中，，若边上的高与另一腰的夹角为，求顶角的度数． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，理解题意，掌握等腰三角形的定义，数形结合分析是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当为锐角三角形时；当为钝角三角形时；结合等腰三角形的定义，边上的高与另一腰的夹角为，数形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，当为锐角三角形时， 由题意可知， ∴； 如图所示，当为钝角三角形时， 由题意可得， ∴， ∴. 综上所述，顶角的度数为或. 10．（24-25八年级上·河北衡水·期中）在中，，上的中线把三角形的周长分为和的两个部分，求三角形的三边长． 【答案】三角形的三边长为或 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】主要考查了等腰三角形的性质；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．分两种情况讨论：当，或，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为或． 【详解】解：设三角形的腰， 是边上的中线， ∴， 分两种情况讨论： （1）若， 则 ， ， ∴ ， ∴， ∵当三边长分别为时，能构成三角形， ∴三边长分别为； （2）若 ，则 ， ， ， ∴ ， ∴， ∵当三边长分别为时，能构成三角形， ∴三边长分别为； ∴三角形的三边长为或． 11．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）一个等腰三角形的周长为． (1)若腰长是底边的2倍，求各边的长； (2)若其中一边的长为，求另两边的长． 【答案】(1)底边长为5，腰长为 (2)另两边的长为 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键， （1）设底边长为，则腰长为，根据周长为，列出方程即可得到各边的长； （2）根据等腰三角形的性质分两种情况讨论：①腰长为时；②当底边长为时，再利用三角形三边关系验证即可得到答案． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，由题可得：， 解得：， ∴， ∴底边长为5，腰长为． （2）解：∵在等腰三角形中，一边的长为， ①当腰长为时，底边长为：， ∵，不符合三角形三边关系，故舍去， ②当底边长为时，底边长为：， ∴另两边的长都为：． 12．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）已知，在中，，，的对边分别用，，表示，其中，满足． (1)请直接写出______，______； (2)若为等腰三角形，请求出的周长； 【答案】(1)， (2)的周长为 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、绝对值非负性 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）由（1）得，，， 若是腰长，则三角形的三边长为：、、， ，不能组成三角形； 若是底边长，则三角形的三边长为：、、， ，能组成三角形， 的周长为． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知中，，，请画一条线段，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）     【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的定义；已知角度，要分割成两个等腰三角形，根据三角形内角和定理求出，故把的角分为和或和，然后画图即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 若为分割后其中一个等腰三角形的底角，即把分为和的两个角，如图： 若为分割后其中一个等腰三角形的顶角，即把分为和的两个角，如图： 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是腰上的中线． (1)若，则的周长与的周长之差为___________； (2)若的周长为，将分成周长差为的两部分，求的边长． 【答案】(1) (2)、、或、、 【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． （1）根据三角形中线的定义可得结论； （2）点把分为长度相等的两条线段．将的周长分成差为的两部分，则或，分别列等式可解答． 【详解】（1）解：是腰上的中线， ． ， 的周长与的周长之差为：． 故答案为：； （2）根据已知可得，，或，， 解得，或，， 所以的三边分别为、、或、、． 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数． 分析：都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________． 【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________． 【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号） 【答案】（1）；（2）、或；（3）见解析 【知识点】等腰三角形的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角、等边对等角等知识点，理解题意、弄清问题中对所作图形的要求成为解答本题的关键． （1）都可能是顶角或底角，因此需要分是顶角、为底角且为顶角、为底角且为底角三种情况解答； （2）都可能是底或腰，因此需要分为底、为腰且为腰、为腰且为底三种情况解答即可； （2）将一个边长为、、的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此画出图形即可． 【详解】解：（1）当为顶角时， 当为底角且为顶角时， 为底角且为底角时， 故答案为：或； （2）当为底边，为腰时，； 当为腰，为腰时，； 当为腰，为底边时，； 综上所述，的长度是、或， 故答案为：、或； （3）如图所示，共有6种情况． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$